2022-2023學(xué)年上海九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練第11講解直角三角形的應(yīng)用(含詳解)

第11講解直角三角形的應(yīng)用

r仰角俯角

知識(shí)梳理-一方位角

坡度、破角

-利用仰角俯角解直角三角形

T方位角中解直角三角形問(wèn)題

題型探究一

-坡度有關(guān)的解三角形問(wèn)題

綜合運(yùn)用

課后作業(yè)

知識(shí)一、仰角俯角

在測(cè)量過(guò)程中，常常會(huì)遇到仰角和俯角.如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所

成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.

網(wǎng)【例4（1）（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)8處的仰角是.（用

“4/2,/3或/4”表示）

鉛垂線

（2）（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）己知A,8兩點(diǎn)，若A對(duì)B的仰角為a,

則8對(duì)A的俯角為（)

A.aB.900-aC.180。一aD.900+a

【例2】（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小明在教學(xué)樓AB的樓頂A測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)

大樓8的頂端C的仰角為a,底部。的俯角為夕，如果教學(xué)樓的高度為加米，那么兩

棟教學(xué)樓的高度差CH為米.

c

H

BD

L【例3】（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）七寶琉璃玲瓏塔（簡(jiǎn)稱七寶塔），位于上海市七

寶古鎮(zhèn)的七寶教寺內(nèi)，塔高47米，共7層.學(xué)校老師組織學(xué)生利用無(wú)人機(jī)實(shí)地勘測(cè)，如

果無(wú)人機(jī)在飛行的某一高度時(shí)傳回?cái)?shù)據(jù)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0。，塔底的俯角為45。，那么

此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度為米.（結(jié)果保留根號(hào)）

L【例4】（2021.天津九年級(jí)其他模擬）如圖，建筑物BC上有一旗桿從與BC相距

40m的D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為50°,觀測(cè)旗桿底部B的仰角為45°,求旗桿的高度（結(jié)

果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan50%1.2.

嘰【例5】（（2021.安徽九年級(jí)一模）如圖，甲、乙兩棟樓的高度均為90m.冬至日正午,

太陽(yáng)光線與水平面所成的角為30。，甲樓在乙樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽(yáng)光

線與水平面所成的角為53。，甲樓在乙樓墻面上的影高為AD.已知CD=40m,若每層樓的

高度均為3m,求點(diǎn)C位于第幾層.（參考數(shù)據(jù)：sin5330.80,cos53°=0.60,tan53°~1.33,

>/3~1.73,五=1.41）

舉一反三

1.（2021.上海九年級(jí)一模）如果視線與水平線之間的夾角為36。，那么該視線與鉛垂線之間

的夾角為度.

2.（2021?上海）如果從某一高處甲看低處乙的俯角為36度，那么從低處乙看高處甲的仰角

是______度.

3.（2020?上海九年級(jí)月考）在南海閱兵式上，某架“直-8”型直升飛機(jī)在海平面上方1200米

的點(diǎn)A處，測(cè)得其到海平面觀摩點(diǎn)B的俯角為60。，此時(shí)點(diǎn)A、B之間的距離是

米.

4.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A,8兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到8地須

經(jīng)C地沿折線A-C-8行駛，全長(zhǎng)68加.現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車直接沿直線行駛.已知

NA=30。，/B=45。，則隧道開(kāi)通后，汽車從A地到8地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精

確到0.1而）（參考數(shù)據(jù):72?1.4,73-1.7）

5.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）已知：如圖，樓頂有一根天線，為了測(cè)量樓的高度，

在地面上取成一條直線的三點(diǎn)E、D、C,在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端A的仰角為60。，從點(diǎn)C

走到點(diǎn)D,CD=6米，從點(diǎn)D處測(cè)得天線下端B的仰角為45°.又知A、B、E在一條線上，

AB=25米，求樓高BE.

知識(shí)二、方位角

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角叫做方位角.

如圖：北偏東30。，北偏西70。，南偏東50。，南偏西45。.

【例6】（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30。方向,

海監(jiān)船C在燈塔3的正東方向5海里處，此時(shí)海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海

監(jiān)船C與貨輪A的距離是（）

海里

A.10海里B.5外海里C.5海里D.gg

1【例7】（2019?上海）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40后海里的A

處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪行

駛的路程AB為海里（結(jié)果保留根號(hào)）.

北

I

B

吼【例8】（2020.上海九年級(jí)一模）如圖，海中有一個(gè)小島A,該島的四周10海里的范圍內(nèi)

有暗礁，有一貨輪在海面上由西向東航行，到達(dá)B處時(shí)，該貨輪位于小島南偏西60。的方向

上，再往東行駛20海里后到達(dá)小島的南偏西30。的方向上的C處，如果貨輪繼續(xù)向東航行，

是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：

舉一反三

1.（2019?上海）如圖所示，為了測(cè)量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N

兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹(shù)P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30。的方向，則

河的寬度是（）.

皿m

A.200gmB.C.100V3mD.100m

3

2.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是江北岸濱江路一段，長(zhǎng)為3千米，C為南岸一

渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋，測(cè)量得A在C北偏西30。方向，B在C

的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

3.（2018?上海市致遠(yuǎn)中學(xué)）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從

港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時(shí)30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測(cè)得小島B在它的

南偏東15。方向，求小島3離深水港口A的距離（精確到0.1千米）.參考數(shù)據(jù)：72?1.4B

Cp2.45,sin15°?0.26,cos15°六0.97,tan15°?0.27.

知識(shí)三、坡度

坡度（坡比）、坡角

在修路、挖河、開(kāi)渠等設(shè)計(jì)圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度.

如圖，坡面的鉛垂高度/7和水平寬度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i,即i=:

坡度通常寫成1:機(jī)的形式，如，=1:1.5.

坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a.

.h

坡度i與坡角a之間的關(guān)系:i=—=tana

I

L【例9】

（1）（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時(shí)，水平寬度為

___

（2）（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）若某斜面的坡度為1：耳，則該坡面的坡角為.

(3)(2021.上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖，斜坡的坡度z,=l:3,該斜坡的水平距離AC=6

米，那么斜坡A3的長(zhǎng)等于米.

CA

(4)(2018?上海)如果一個(gè)滾筒沿斜坡向正下直線滾動(dòng)13米后，其水平高度下降了5米,

那么該斜坡的坡度i=

（5）（2020?上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，AC是高為30米的某一建筑，在水塘

的對(duì)面有一段以為坡面的斜坡，小明在A點(diǎn)觀察點(diǎn)。的俯角為30。，在A點(diǎn)觀察點(diǎn)5的

俯角為45。，若坡面8。的坡度為1:百，則3。的長(zhǎng)為

■D

我

L1例10](1)(2020?上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABC，

壩頂寬DC是10米，壩底寬AB是90米，背水坡AO和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,那

么這個(gè)水庫(kù)大壩的壩高是米.

(2)(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖，梯形ABCD是某水庫(kù)大壩的橫斷面，其壩頂寬5

米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是ii=l:2,背水坡的坡度i2=2:3,求：水壩橫截面的面積.

舉一反三

1.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）修筑一坡度為3：4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為。，

那么Na的正切值是（)

3434

A.B.一c.D.

5547

2.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,它把物體從地

面點(diǎn)A處送到離地面3米高的B處，則物體從A到8所經(jīng)過(guò)的路程為（)

傳送帶

A.3亞米B.2亞米C.加米D.9米

3.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)物體從A點(diǎn)出發(fā)，在坡度為1：7

和斜坡上直線向上運(yùn)動(dòng)到B,當(dāng)AB=30米時(shí)，物體升高（）

A.?米B.”米

C.3亞米D.以上都不對(duì)

O

4.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果一段斜坡的坡角是30。，那么這段斜坡的坡度是

.（請(qǐng)寫成1：m的形式）.

5.（2021.上海九年級(jí)一模）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1:0.75,那

么該大壩迎水坡A3的長(zhǎng)度為米.

瓦后作業(yè)

1.（2021?上海九年級(jí)一模）如果小麗在樓上點(diǎn)A處看到樓下點(diǎn)8處小明的俯角是35。，那

么點(diǎn)5處小明看點(diǎn)A處小麗的仰角是（

A.35°B.45°C.55°D.65°

2.（2020?上海九年級(jí)一模）直角梯形ABC。如圖放置，AB.8為水平線，BCLAB,如果

ZBCA=67°,從低處A處看高處C處，那么點(diǎn)C在點(diǎn)A的（

A.俯角67。方向B.俯角23。方向

C.仰角67。方向D.仰角23。方向

3.（2018?上海中考模擬）已知飛機(jī)離水平地面的高度為5千米，在飛機(jī)上測(cè)得該水平地面

上某觀測(cè)目標(biāo)A的俯角為a,那么這時(shí)飛機(jī)與目標(biāo)A的距離為（)

55

A.B.5sinaC.D.5cosa

sinacosa

4.（2021?上海九年級(jí)二模）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔塔尖點(diǎn)P的仰角為60。，

沿山坡向上走200米到達(dá)B處，在8處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為15。.已知山坡A8的坡度i=l：

出,且"A、2、尸在同一平面內(nèi)，那么電視塔的高度尸》為米.（結(jié)果

保留根號(hào)形式）

5.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度力=1:3,那么這段

斜坡的鉛垂高度為米.

6.（2020?東莞市東莞中學(xué)初中部九年級(jí)二模）如圖，斜面AC的坡度（C￡＞與AD的比）為

1：2,坡頂有一旗桿8C,頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連，已知CO=3米，A8=10米,

則旗桿BC的高度為米.

7.（2020?上海）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度，-1：，麗，如果它把物體送到離地面

3米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為米.

8.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直大樹(shù)樹(shù)干A3（假定樹(shù)干AB垂

直于水平地面）被刮傾斜7。（即/A4夕=7。）后折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好接觸到地面。

處，測(cè)得/CD4=37。，AO=5米，求這棵大樹(shù)AB的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：

sin37ko.6,cos37=0.8,tan37ko.75)

B,B'

37°z

AD

9.（2021.山東九年級(jí)期末）如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一古塔A3,在塔的一側(cè)有一建筑物，當(dāng)光

線與水平面的夾角是30。時(shí)，塔在建筑物的墻上留下了高為4米的影子而當(dāng)光線與地

面的夾是45。時(shí)，塔尖A在地面上的影子E與建筑物的距離EC為10米（B,E,C在一條

直線上），求塔A3的高度（結(jié)果保留到01米）.（72=1.41,V3-1.73）

10.（2017?上海青浦區(qū).九年級(jí)一模）某校興趣小組想測(cè)量一座大樓AB的高度.如圖，大樓

前有一段斜坡BC,已知BC的長(zhǎng)為12米，它的坡度i=l：6在離C點(diǎn)40米的D處，用

測(cè)角儀測(cè)得大樓頂端A的仰角為37°,測(cè)角儀DE的高為L(zhǎng)5米，求大樓AB的高度約為多

少米？（結(jié)果精確到01米）

（參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,四=1.73.）

DC

11.（2021?河南九年級(jí)二模）一漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在點(diǎn)8處測(cè)得北偏東60。方向

上有一海島A,航行10海里后到達(dá)C處，又測(cè)得海島A位于北偏東53。方向上.

(1)求C處到海島A的距離(結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù)：sin53°?O.8O,cos53°?0.60,

tan530?1.33,退。1.73);

(2)已知海島A的周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁，若漁船繼續(xù)由西向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)?

說(shuō)明理由.

12.（2021?湖北中考真題）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞.一市民騎自行車由

A地出發(fā)，途經(jīng)8地去往C地，如圖.當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45。方向有一信

號(hào)發(fā)射塔P.他由A地沿正東方向騎行4近km到達(dá)B地，此時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)塔尸在他的北偏東

15。方向，然后他由8地沿北偏東75。方向騎行12km到達(dá)C地.

（1）求A地與信號(hào)發(fā)射塔尸之間的距離;

（2）求C地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離.（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

13.（2021?江西中考真題）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2

是其側(cè)面示意圖，其中槍柄2C與手臂MC始終在同一直線上，槍身54與額頭保持垂直量

得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP

的長(zhǎng)度），槍身BA=8.5cm.

D

圖

（1）求NABC的度數(shù);

(2)測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測(cè)得=68.6°,

小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并

說(shuō)明理由.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)

(參考數(shù)據(jù)：sin66.4°-0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6°?0.40,正=1.414)

14.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1為放置在水平桌面I上的臺(tái)燈，底座的高AB為5cm,

長(zhǎng)度均為20cm的連桿BC、CD與AB始終在同一平面上.

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿8C,CD,使/BCD成平角，ZABC=150°,如圖2,求連桿端點(diǎn)。離桌面

I的高度DE.

（2）將（1）中的連桿再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，如圖3,當(dāng)/88=150。

時(shí)臺(tái)燈光線最佳.求此時(shí)連桿端點(diǎn)D離桌面/的高度比原來(lái)降低了多少厘米?

圖1圖2圖3

第11講解直角三角形的應(yīng)用

r仰角俯角

知識(shí)梳理—方位角

坡度、破角

-利用仰角俯角解直角三角形

~方位角中解直角三角形問(wèn)題

題型探究一

-坡度有關(guān)的解三角形問(wèn)題

綜合運(yùn)用

課后作業(yè)

知識(shí)一、仰角俯角

在測(cè)量過(guò)程中，常常會(huì)遇到仰角和俯角.如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所

成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.

網(wǎng)【例4（1）（2020?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)8處的仰角是.（用

“4/2,/3或/4”表示）

鉛垂線

【答案】Z4

【解析】

由仰角的定義：在點(diǎn)A處測(cè)得2處的仰角是N4；

故答案為N4.

(2)(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知A,2兩點(diǎn)，若4對(duì)B的仰角為a,

則5對(duì)A的俯角為（）

A.aB.90°-ccC.180。一。D.90。+。

【答案】A

【解析】

解：如圖,

對(duì)B的仰角為a,

???2對(duì)A的俯角為a.

故選A.

網(wǎng)【例2】（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小明在教學(xué)樓AB的樓頂A測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)

大樓CO的頂端C的仰角為。，底部。的俯角為夕，如果教學(xué)樓A3的高度為小米，那么兩

棟教學(xué)樓的高度差CH為米.

C

H

BD

mtancjf

【答案】

tan.

【解析】

連接AC,

由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m,

在RtAADH中，NDAH=P,tanADAH=—

AH

,m

'TT=tan/?'

CH

在RtAACH中，ZCAH=?,tanZCAH

~AH

IIImtancr

CH=tan。-----

tanBtanB

mtanor

故答案為:

tan/?

c

L【例3】（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）七寶琉璃玲瓏塔（簡(jiǎn)稱七寶塔），位于上海市七

寶古鎮(zhèn)的七寶教寺內(nèi)，塔高47米，共7層.學(xué)校老師組織學(xué)生利用無(wú)人機(jī)實(shí)地勘測(cè)，如

果無(wú)人機(jī)在飛行的某一高度時(shí)傳回?cái)?shù)據(jù)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0。，塔底的俯角為45。，那么

此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度為米.（結(jié)果保留根號(hào)）

4773-47

【答案】

2

【解析】

如圖，A點(diǎn)為塔頂，B點(diǎn)為塔底，C點(diǎn)為無(wú)人機(jī)的位置，過(guò)點(diǎn)C作CD，A3交AB于點(diǎn)D,

則BD的長(zhǎng)度即為所求.

設(shè)=x,

ZBCD=45°,ZBDC=90°,

CD=BD=x.

在放"0。中,

AD=CD-tan60°=上x(chóng)

A/3X+x=47

解得.勺,

.?.“7a47

2

即此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度為T米,

故答案為：吟已

L【例4】（2021.天津九年級(jí)其他模擬）如圖，建筑物BC上有一旗桿A8,從與8C相距

40%的D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為50°,觀測(cè)旗桿底部B的仰角為45°,求旗桿的高度（結(jié)

果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan50。旬.2.

【答案】8m

【解析】

解：在RdACD中，AC=CD?toH50°=40x1.2=48(m),

在RtABCD中,ZBDC=ZDBC=45°,BC=CD=40(m).

：.AB=AC-BC=48-40=8(m).

答：旗桿的高度AB約為8s.

電【例5】（（2021.安徽九年級(jí)一模）如圖，甲、乙兩棟樓的高度均為90m.冬至日正午,

太陽(yáng)光線與水平面所成的角為30。，甲樓在乙樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽(yáng)光

線與水平面所成的角為53。，甲樓在乙樓墻面上的影高為AD.已知CD=40m,若每層樓的

高度均為3m,求點(diǎn)C位于第幾層.（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80,cos53°=0.60,tan53°=1.33,

V3-1.73,V2-1.41）

【答案】點(diǎn)C位于第20層

【解析】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE，依于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)F,

則/CEP=/Z)FP=90°.

設(shè)樓間距為x九

VZPCE=30°,NPDF=53。,

PE=CEtan30°=^-xm,PF=DFtan53°~1.33xm.

3

?；EF=CD=40m,

：.PF-PE=40m.

即1.33--走x=40,

3

解得,53.1,

:.PE=BF366(m),

3

：.AC=BE=PB-PE=90-30.6=59A(m).

?.?每層樓高為3加，59.4+3=198,

.?.點(diǎn)C位于第20層.

舉一反三

1.（2021.上海九年級(jí)一模）如果視線與水平線之間的夾角為36。，那么該視線與鉛垂線之間

的夾角為度.

【答案】126?；?4。

【解析】

解：當(dāng)仰角是36。時(shí)，如下圖所示

格垂線

由圖可知：該視線與鉛垂線之間的夾角為36。+90。=126。；

當(dāng)俯角是36。時(shí)，如下圖所示

水平線

,視線

，垂線

由圖可知：該視線與鉛垂線之間的夾角為90。―36。=54。；

綜上：該視線與鉛垂線之間的夾角為126?；?4。

故答案為：126?；?4。.

2.（2021.上海）如果從某一高處甲看低處乙的俯角為36度，那么從低處乙看高處甲的仰角

是度.

【答案】36

【解析】

解：如圖所示:

;甲處看乙處為俯角NDBA=36。，AC//BD,

.?.乙處看甲處為：仰角NCAB=/DBA=36。.

故答案為：36.

3.（2020?上海九年級(jí)月考）在南海閱兵式上，某架“直-8”型直升飛機(jī)在海平面上方1200米

的點(diǎn)A處，測(cè)得其到海平面觀摩點(diǎn)B的俯角為60。，此時(shí)點(diǎn)A、B之間的距離是

【答案】8004

【解析】

分析：過(guò)A作AC，3C于C,由題意可知，在直角三角形中，已知角的對(duì)邊AC求斜邊AB,

可以用60。正弦函數(shù)來(lái)計(jì)算即可.

解析：根據(jù)題意得：AC=1200米，/ABC=60。,

點(diǎn)48之間的距離是A8=M=8。。石米.

故答案為800A/L

4.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A,B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地須

經(jīng)C地沿折線A-C-B行駛，全長(zhǎng)68切z.現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車直接沿直線行駛.已知

ZA=30°,ZB=45°,則隧道開(kāi)通后，汽車從A地到8地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精

確到O.lhw）（參考數(shù)據(jù)：72~1-4,V3=1.7）

【答案】14.0千米

【解析】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作垂足為。，設(shè)CZ)=X.

CDCD

在RtAACD中，sinNA=,AC=----------=2x,

ACsin30°

CDCD

在RtABCD中，sinN3=----,BC—.......=拒x,

BCsin450”

\9AC+BC=2x+五x=68,

68?68

=20,

—2+加~2+1.4

在RtAACD中，tanNA=----,AD=-----------=20^3,

ACtan30°

4,CDCD

在Rt2kBC￡)中，tanZB=-----,BD=----------=20,

BDtan45°

A5=20后+20=54,

AC+BC-AB=6S-54=14.0(km).

答：隧道開(kāi)通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走14.0千米.

D

5.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）已知：如圖，樓頂有一根天線，為了測(cè)量樓的高度，

在地面上取成一條直線的三點(diǎn)E、D、C,在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端A的仰角為60。，從點(diǎn)C

走到點(diǎn)D,CD=6米，從點(diǎn)D處測(cè)得天線下端B的仰角為45°.又知A、B、E在一條線上，

AB=25米，求樓高BE.

【答案】|（7+19班）米

【解析】解：???從點(diǎn)D處測(cè)得天線下端B的仰角為45。,

???DE=BE.

設(shè)BE=x米，則AE=(x+25)米，CE=(x+6)米,

??,在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端A的仰角為60°,

AE

tanC

~CE

.x+25

=\/3，

x+6

.,.X=y（7+19班），即樓高BE=；（7+19班）米.

答：樓高BE為3（7+19班）米.

知識(shí)二、方位角

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角叫做方位角.

如圖:北偏東30。，北偏西70。，南偏東50。，南偏西45。.

例6】（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知海面上一艘貨輪A在燈塔5的北偏東30。方向,

海監(jiān)船C在燈塔8的正東方向5海里處，此時(shí)海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海

監(jiān)船C與貨輪A的距離是（）

A.10海里B.5石海里C.5海里D.海里

【答案】B

【解析】根據(jù)題意建立如圖所示RtAABC,其中NC=90。，ZB=60°,BC=5,

AC=BC-tanB=5xtan60°=5A/3,

故選：B.

網(wǎng)【例7】（2019?上海）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40亞海里的A

處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪行

駛的路程AB為海里（結(jié)果保留根號(hào)）.

北

【答案】40+406

【解析】

解：在RtAAPC中，；AP=400,ZAPC=45°,；.AC=PC=40.

在RtABPC中，VZPBC=30。,：.BC=PCcot30°=40x陋=40g,

AB=AC+BC=40+40A/3（海里）.

故答案為40+40店.

期【例8】（2020.上海九年級(jí)一模）如圖，海中有一個(gè)小島A,該島的四周10海里的范圍內(nèi)

有暗礁，有一貨輪在海面上由西向東航行，到達(dá)B處時(shí)，該貨輪位于小島南偏西60。的方向

上，再往東行駛20海里后到達(dá)小島的南偏西30。的方向上的C處，如果貨輪繼續(xù)向東航行，

是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：

【答案】不會(huì)，見(jiàn)解析

【解析】

過(guò)A作AH垂直于BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H；

由題意可得NBA"=60。，ZCAH=30°；

ZABH=30°,ZACH=60°

AH/-

設(shè)S=在HTaACH中，tan60°=—=V3

AH=6CH=氐

在AT△ABH中，tan30°=—=—

BH3

BH=3x

/BC=20

...BH=BC+CH=2b+x

.".20+x=3x,x=10

AH=瓜=106海里＞10海里

所以，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).

舉一反三

1.（2019?上海）如圖所示，為了測(cè)量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N

兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹(shù)P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30。的方向，則

河的寬度是（）.

MN

A.200V3mB.20°立mC.100V3mD.100m

3

【答案】A

【解析】

由題意可得PM_LMN,ZMPN=ZPNG=30°,

在直角APMN中，tan3(r=22

PM

，PM=20073m.

故選A.

2.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是江北岸濱江路一段，長(zhǎng)為3千米，C為南岸一

渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋，測(cè)量得A在C北偏西30。方向，B在C

的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】9-3〉

2

【解析】

解：過(guò)點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)。，8就是連接兩岸最短的橋.

DB

設(shè)CD=x千米.

?.?3在C的東北方向，A在C北偏西30。方向,

.-.ZBCD=45°,ZAC￡>=30°

，在直角三角形BCD中，有BD=CD,

二.在直角三角形ACD中，AD=CD^tanACD=xg:an30?~^~x,

AD+DB=AB,

??X+丸=3,

3

T（千米）.

3.（2018?上海市致遠(yuǎn)中學(xué)）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從

港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時(shí)30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測(cè)得小島8在它的

南偏東15。方向，求小島3離深水港口A的距離（精確到0.1千米）.參考數(shù)據(jù)：72?1.4B

Cp2.45,sin15°?0.26,cos15°六0.97,tan15°?0.27.

【答案】38.6千米

【解析】

2

由題意可得AC=30x-=20千米,

過(guò)點(diǎn)C作CDLAB,垂足為D,

在RtAADC中，ZADC=90°,ZCAD=45°,

.\AD=ACcos45o=10V2千米，CD=ACsin45o=10應(yīng)千米,

在RtABDC中，ZBDC=90°,ZB=90o-45°-15o=30°,

CD

BD=---------=1。&千米,

tan300

AB=AD+BD=10(V2+A/6)-38.6(千米),

答：小島B離深水港口A的距離約為38.6千米.

知識(shí)三、坡度

坡度（坡比）、坡角

在修路、挖河、開(kāi)渠等設(shè)計(jì)圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度.

如圖，坡面的鉛垂高度/7和水平寬度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i,即i=:

坡度通常寫成1:機(jī)的形式，如，=1:1.5.

坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a.

.h

坡度i與坡角a之間的關(guān)系:i=—=tana

I

網(wǎng)[例9](1)(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時(shí),

水平寬度為一米

【答案】9

【解析】

解：；斜坡的坡度為1:3,其鉛垂高度為3米,

，這個(gè)斜坡的水平寬度為：3義3=9米,

故答案為：9.

(2)(2021.上海九年級(jí)專題練習(xí))若某斜面的坡度為1:道，則該坡面的坡角為

【答案】30°

【解析】

Vtan30°=^p=V3

，坡面的坡角為30。

故答案為：30。

(3)(2021.上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖，斜坡的坡度z,=l:3,該斜坡的水平距離AC=6

米，那么斜坡A3的長(zhǎng)等于米.

CA

【答案】；

【解析】

:斜坡AB的坡度i=l：3,

BC1

AC3

???該斜坡的水平距離AC=6米,

BCI

63

解得:BC=2,

則斜坡AB的長(zhǎng)為：招+*=25(m).

故答案為2碗.

(4)(2018?上海)如果一個(gè)滾筒沿斜坡向正下直線滾動(dòng)13米后，其水平高度下降了5米,

那么該斜坡的坡度i=

【答案】1:2.4

【解析】

分析：根據(jù)題意建立圖形，利用勾股定理求得另一直角邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)坡度的概念求解可

得.

解析:

如圖，根據(jù)題意知AB=13米、AC=5米,

BC

則BC=4AB1-AC1=V132-52=12（米），

二斜坡的坡度2.4,

oC12

故答案為1：2.4.

（5）（2020?上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，AC是高為30米的某一建筑，在水塘

的對(duì)面有一段以為坡面的斜坡，小明在A點(diǎn)觀察點(diǎn)。的俯角為30。，在A點(diǎn)觀察點(diǎn)8的

俯角為45。，若坡面3。的坡度為1:石，則3。的長(zhǎng)為

D

B

【答案】30-10A/3

【解析】

解：延長(zhǎng)CB、AD交于F點(diǎn)，作班'

V小明在A點(diǎn)觀察點(diǎn)D的俯角為30。，在A點(diǎn)觀察點(diǎn)B的俯角為45°

ZAFC=30°,ZABC=45°

AC=30m=BC

???在Rt^ACF中，CF=30s/3m,BF=(30/-30)相

又坡面8。的坡度為1:石

則tan/。防=，="

出3

..ZDBF=30°

設(shè)。石=工，則BE=&=",BD=2x

BF=2百%

2氐=30百-30

解得：X=15-5A/3

...BD=2X=30-1073（米）

故答案為：30-1073.

匕【例10](1)(2020?上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形ABC。,

壩頂寬。C是10米，壩底寬AB是90米，背水坡AO和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,那

么這個(gè)水庫(kù)大壩的壩高是米.

【答案】16.

【解析】

如圖所示：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)作CNLAB于點(diǎn)N,設(shè)DM=CN=x.

??,背水坡AO和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,，AM=BN=2.5x,AB=AM+BN+MN=5x+10=90,

解得：x=16,即這個(gè)水庫(kù)大壩的壩高是16米.

故答案為16.

MNB

（2）（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD是某水庫(kù)大壩的橫斷面，其壩頂寬5

米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是ii=l:2,背水坡的坡度i2=2:3,求：水壩橫截面的面積.

【答案】水壩橫截面的面積為152平方米

?；ii=l:2,背水坡的坡度i2=2:3

設(shè)AE=DF=2x米，則BE=4x米，CF=3x米

VAD=5米

；.EF=5米

VBC=33米

4%+5+3x=33

x=4

；.AE=8米

水壩橫截面的面積為(5+33)x8x1=152平方米.

舉一反三

1.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）修筑一坡度為3：4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為a，

那么的正切值是（)

4

ABD.-

-1-?-13

【答案】C

【解析】由題意的:

3

tana=—

4

故選：c

2.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,它把物體從地

面點(diǎn)A處送到離地面3米高的3處，則物體從A到8所經(jīng)過(guò)的路程為（

傳送帶B

A.3M米B.2廂米C.9米D.9米

【答案】A

【解析】解：設(shè)BC，AC,垂足為C,

Vi=BC：AC=1：3

???3：AC=1:3,

，AC=9,

在RtAACB中，由勾股定理得,

AB=VAC2+BC2=V92+32=3而

...AB=3ViU米.

故選：A.

3.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)物體從A點(diǎn)出發(fā)，在坡度為1：7

和斜坡上直線向上運(yùn)動(dòng)到B,當(dāng)AB=30米時(shí)，物體升高（）

A.費(fèi)米B.六米

C.3五米D.以上都不對(duì)

O

【答案】C

【解析】

解：如圖，設(shè)3C=X,AC=7無(wú)，貝ljAB=50x,

?.?AB=30米,

\5缶=30,

\x=3近，

BC=3應(yīng),

故選：c.

4.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果一段斜坡的坡角是30。，那么這段斜坡的坡度是

.（請(qǐng)寫成1：m的形式）.

【答案】1:73.

【解析】

試題分析：因?yàn)樾逼碌钠陆鞘?0。，所以這段斜坡的坡度=tan3（T=若：3=1：石.

故答案為：1:^3.

5.（2021.上海九年級(jí)一模）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1:0.75,那

么該大壩迎水坡AB的長(zhǎng)度為米.

【答案】15

【解析】

過(guò)點(diǎn)B作BCLAC于C,

;迎水坡的坡度為1:0.75,

,…BC4

??tanNBAC=——

AC3

???BC=12米,

???AC=9米,

；?AB=7AC2+BC2=A/92+122=15（米）,

故答案為：15.

義作業(yè)

1.（2021?上海九年級(jí)一模）如果小麗在樓上點(diǎn)A處看到樓下點(diǎn)B處小明的俯角是35。，那

么點(diǎn)B處小明看點(diǎn)A處小麗的仰角是（)

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【解析】

解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的仰角與俯角構(gòu)成的兩條水平線夾角的內(nèi)錯(cuò)角相等，可知，點(diǎn)5處小明

看點(diǎn)A處小麗的仰角是35°,

故選：A.

2.（2020.上海九年級(jí)一模）直角梯形ABCD如圖放置，A3、CD為水平線，BCLAB,如果

ZBCA=67°,從低處A處看高處C處，那么點(diǎn)C在點(diǎn)A的（

A.俯角67。方向B.俯角23。方向

C.仰角67。方向D.仰角23。方向

【答案】D

【解析】

VBC±AB,ZBCA=67°,

：.ZBAC=90°-ZBCA=23°,

從低處A處看高處C處，那么點(diǎn)。在點(diǎn)A的仰角23。方向;

故選：D.

3.（2018?上海中考模擬）已知飛機(jī)離水平地面的高度為5千米，在飛機(jī)上測(cè)得該水平地面

上某觀測(cè)目標(biāo)A的俯角為a,那么這時(shí)飛機(jī)與目標(biāo)A的距離為（）

55

A.B.5sinaC.D.5cosa

sinacosa

【答案】A

【解析】

分析：已知直角三角形的一個(gè)銳角和銳角所對(duì)的直角邊，求斜邊，運(yùn)用三角函數(shù)定義解答.

解析：如圖：5C為飛機(jī)離地面的高度，所以在RSA3C中，ZBAC=a,BC=5,則

BC5

sin^BACsina

故選A.

4.（2021?上海九年級(jí)二模）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔塔尖點(diǎn)尸的仰角為60。，

沿山坡向上走200米到達(dá)B處，在B處測(cè)得點(diǎn)尸的仰角為15。.已知山坡AB的坡度i=l：

上,且瓜A、3、尸在同一平面內(nèi)，那么電視塔的高度刊/為米.（結(jié)果

保留根號(hào)形式）

【答案】100g

【解析】

解：過(guò)B作于M,過(guò)8作2N〃AM

則NAMB=90。，ZABN=ZBAM,

由題意得：48=200米，NPBN=15。,

;山坡AB的坡度i=l：6,

tanZBAM=1：退=

：.ZBAM=30°,

：.ZABN=30°,

：.ZPAB=1800-ZPAH-ZBAM=90°,ZABP=ZABN+ZPBN=450,

是等腰直角三角形,

.?.B4=AB=200米,

PH_73

在RtARUf中，smZPAH

PA-V

:.PH=BpA=100■耳，

2

故答案為：100班.

5.（2021.上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度力=1:3,那么這段

斜坡的鉛垂高度為米.