高考數(shù)學一輪復習(新教材新高考)第01講函數(shù)及其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)專項練習(學生版+解析)

第01講函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第4題,5分復合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點的辨析2023年新Ⅱ卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的應用奇偶性求參數(shù)2022年新I卷，第12題,5分抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應用函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系2022年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的周期性的定義與求解2021年新Ⅱ卷，第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導數(shù)公式2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2020年新Ⅱ卷，第7題,5分復合函數(shù)的單調(diào)性對數(shù)函數(shù)單調(diào)性2020年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5分【備考策略】1.會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實際意義，會求簡單函數(shù)的最值3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關問題4.了解奇偶性的概念和意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性解決問題6.能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關問題.【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復習的重點內(nèi)容.知識講解函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見運算單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導數(shù)）復合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關于軸對稱③奇偶性的運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：考點一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值1．（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】按值對函數(shù)進行分類討論，再結合函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，①當時，函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；②當時，開口向下，對稱軸為，則，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；③當時，開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上單調(diào)遞減需滿足，因此．綜上所述，a的取值范圍是．故答案為：1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【分析】先求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在上單調(diào)遞增，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】化簡，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】先利用反比例函數(shù)的單調(diào)性得到在與上單調(diào)遞減，再利用參數(shù)分離法得到，從而得到關于的不等式組，解之即可.【詳解】因為在與上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：考點二、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.2．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.1．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于BCD，根據(jù)各個選項觀察均是向右平移兩個單位長度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以判斷平移后的單調(diào)區(qū)間，進而判斷上的單調(diào)性得到結論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.【詳解】對于選項：開口向上，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，故不符合題意.對于選項：是向右平移了兩個單位長度，所以在在上單調(diào)遞減，故不符合題意.對于選項：是向右平移了兩個單位長度，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以不符合題意.對于選項：是向右平移了兩個單位長度，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，符合題意.故選.2．（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B：在定義域上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C：定義域為，因為在上單調(diào)遞減且值域為，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：D3．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）下列四個函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷出A正確，C錯誤，再根據(jù)正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象即可得出BD錯誤.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知，定義域為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；即A正確；在其定義域，上分別單調(diào)遞減，即C錯誤；由正切函數(shù)圖像可知，為周期函數(shù)，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，B錯誤；由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，在上為單調(diào)遞減，所以D錯誤.故選：A考點三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．【答案】(0，1)【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】解：因為在R上遞減，在(－2，＋∞)上遞增，所以在定義域(－2，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴，解得0<a<1.故答案為：(0，1)2．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學?？级＃┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論與0、1的大小關系，寫出的解析式，解出不等式后，再求并集即為答案.【詳解】因為.①當時，.②當時，.③當時，.綜上所述：.故選：D.1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知有，即可求取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，滿足，所以，解得.故選：D2．（2023春·山西太原·高二太原五中?？茧A段練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.故選:A.考點四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關系1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函數(shù)解析式可知是上的減函數(shù)，可得出，，，然后即可得出，，的大小關系，進而得出，，的大小關系．【詳解】解：是上的減函數(shù)，是上的減函數(shù)，是上的減函數(shù)，，，，，．故選：．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，記，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得的大小，再利用的單調(diào)性可得答案【詳解】因為是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，因為是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故選：C.【點睛】比較大小的方法有：（1）根據(jù)單調(diào)性比較大?。唬?）作差法比較大??；（3）作商法比較大??；（4）中間量法比較大小.1．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解析式可判斷的定義域及其對應的單調(diào)區(qū)間，利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)判斷的大小關系，根據(jù)的區(qū)間單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.【詳解】，，∴，由函數(shù)解析式知：，即，又在上單調(diào)遞增，∴.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)，借助中間量得，進而在結合函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：由得，解得，所以，函數(shù)的定義域為，因為，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性得在上單調(diào)遞減，因為，，，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，所以，由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)得.故選：A考點五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】方法一：由偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值；方法二：由偶函數(shù)圖像關于軸對稱，求出二次函數(shù)對稱軸，列出方程求解即可．【詳解】方法一：因為，所以，由，得，解得；方法二：，因為是偶函數(shù)，所以圖像關于直線對稱，所以，解得，故選：D．2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為___________.【答案】/0.4【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解解析式，代入即可求解.【詳解】函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，,故答案為：3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______________．【答案】1【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可得到對均成立，從而求出參數(shù)的值.【詳解】由題設，，所以，得，得對均成立．所以，解得．經(jīng)檢驗，滿足要求.故答案為：4．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)m的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)，即可求解.【詳解】依題意，，即,所以，解得，當時，，定義域不關于原點對稱，故舍去，當時，，定義域為，符合要求，故，故答案為：考點六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應用1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】選項A：設，因為是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故A正確；選項B：，因為是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；選項C：設，因為，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；選項D：設，因為，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，因為是不恒為0的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是奇函數(shù)，，因為是不恒為0的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)，故D正確，故選：AD.2．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃ǘ噙x）已知不恒為0的函數(shù)，滿足，都有．則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】BD【分析】令和，即可判斷選項AB；令，即可判斷選項CD.【詳解】令，則，∴或1．令，則，若，則，與不恒為0矛盾，∴，∴選項B正確選項A錯誤；令，則，∴，∴為偶函數(shù)，∴選項D正確選項C錯誤.故選：BD．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域均為R，且滿足，，則下列關系式一定成立的是（

）A． B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及所給抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用換為可判斷A，利用賦值可判斷B，推理得出后賦值可判斷C，由條件推理可得，即可判斷D.【詳解】由，將換為知，故A對；，奇函數(shù)中，則，，由為偶函數(shù)，，故B錯；，，又，，，，故C錯，，則，即.，，，即，為偶函數(shù)，，①，②由①②知，故D對.故選：AD.4．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中學?？寄M預測）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)滿足（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上有最大值 D．的解集為【答案】AB【分析】由抽象函數(shù)滿足，令可得，利用奇偶性，單調(diào)性的定義可推導函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，利用單調(diào)性解不等式可得解集.【詳解】因為定義在R上的函數(shù)滿足，令，得，即，A正確，令，得，即，函數(shù)為奇函數(shù)，B正確，設，則，，由題，，即，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以C錯誤，不等式可化為，由在R上單調(diào)遞減，所以，即，不等式解集為，D錯誤.故選：AB.5．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知定義在上的函數(shù)，滿足：，，，則（

）A．函數(shù)一定為非奇非偶函數(shù)B．函數(shù)可能為奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．當時，，則在上單調(diào)遞增D．當時，，則在上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】對于AB：令，結合奇偶性的定義即可求解；對于CD：利用單調(diào)性的定義結合已知條件求解即可【詳解】對于AB：令，則，所以或，當時，令，則，則，所以此時既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故A錯誤，B正確；對于C：當時，，則，又，所以，則，設，則，則，所以，由于，取，得，所以，則當時，，則，所以，則在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：設，則，則，所以，則在上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：BC6．（2023·江蘇南通·海安高級中學?？家荒＃┒x在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__________.【答案】1【分析】根據(jù)為偶函數(shù)、為奇函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可得答案.【詳解】若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，，令，則，即，令，則，即，又因為，所以.故答案為：1.考點七、函數(shù)周期性的綜合應用1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．1．（2023·江蘇二模）定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且為奇函數(shù).當時，，則（

）A． B． C．2 D．0【答案】B【分析】首先根據(jù)題意，得到，，從而得到函數(shù)的周期為，再根據(jù)求解即可.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以關于對稱，即①.又因為為奇函數(shù)，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函數(shù)的周期為，所以，,因為時，，所以，又為奇函數(shù)，所以當時，，所以，故選：B.2．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列結論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為3 B．C． D．【答案】D【分析】由條件結合奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可得，，由此可得，再證明為周期為的函數(shù)，通過賦值可得，，由此判斷B，結合周期函數(shù)定義判斷A，根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)判斷CD.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，將代換為可得，，取可得，，取可得，，又，所以，因為為偶函數(shù)，所以，將代換為可得，，又所以，將代換為可得，，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4，由取可得，又，所以，B錯誤；，C錯誤；，D正確；因為，，所以函數(shù)不是周期為3的函數(shù)，A錯誤；故選：D.3．（2023·浙江模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，則=（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)所給的等式可得為奇函數(shù)且周期為2，再根據(jù)對數(shù)的運算求解即可.【詳解】由可得為奇函數(shù)，又，則，故，故周期為2.故.故選：D4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知函數(shù)的定義域都為為奇函數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】對A，根據(jù)令結合為奇函數(shù)推導即可；對B，根據(jù)結合為奇函數(shù)，再令推導即可；對C，求出判斷即可；對D，根據(jù)奇偶性與周期性可得，進而判斷即可.【詳解】對A，由，令可得，又為奇函數(shù)，故，，故A錯誤；對B，由及可得，又為奇函數(shù)，則，令則，故.故B正確；對C，由及可得，當時不成立，故C錯誤；對D，由AB可得且周期為2，故，故，故D正確；故選：BD5．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┖瘮?shù)，滿足，當，，則______.【答案】1【分析】根據(jù)可得周期為2，由可得答案.【詳解】因為滿足，所以的周期為，.故答案為：1.6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，若，則的值為________．【答案】1【分析】根據(jù)得的周期為4，且，再由可得答案.【詳解】因為，所以，所以的周期為4，所以，，，即，若，則，即，可得，所以.故答案為：1.7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則_____；_____．【答案】【分析】①利用是奇函數(shù)，求出即可；②結合是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，以及條件求出函數(shù)為周期函數(shù)，再利用賦值法，結合，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值，進而利用周期求出即.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以即，由，又，所以，又是偶函數(shù)，，即，，，由，所以，①即，②②①：，所以函數(shù)的周期為4，所以由，則令時，，再令時，，所以，由，所以由所以，故答案為：；.考點八、函數(shù)對稱性的綜合應用1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.【詳解】可以為負，所以A錯；關于原點對稱；故B錯；關于直線對稱，故C錯，D對故選：D【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關系式從而解題.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．1．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)與的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，則下面判斷錯誤的是(

)A．的圖象關于點中心對稱B．與均為周期為4的周期函數(shù)C．D．【答案】C【分析】由為偶函數(shù)可得函數(shù)關于直線軸對稱，結合和可得的周期為4，繼而得到的周期也為4，接著利用對稱和周期算出對應的值即可判斷選項【詳解】因為為偶函數(shù)，所以①，所以的圖象關于直線軸對稱，因為等價于②，又③，②+③得④，即，即，所以，故的周期為4，又，所以的周期也為4，故選項B正確，①代入④得，故的圖象關于點中心對稱，且，故選項正確，由，可得，且，故，故，因為與值不確定，故選項錯誤，因為，所以，所以，故，故，所以選項D正確，故選:.2．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）（多選）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】AD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷得答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關于點對稱，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關于直線對稱.故選：AD.3．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）（多選）設函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論正確的是（

）A．B．在上是減函數(shù)C．為奇函數(shù)D．方程僅有6個實數(shù)解【答案】ACD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，推出函數(shù)的一個周期為、的圖象關于點對稱、關于直線對稱，再根據(jù)這些性質(zhì)可判斷A正確，B正確，C錯誤；作出與的大致圖象，結合圖像可判斷D正確.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以，即，因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，即函數(shù)的一個周期為.在中，令，得，在中，令，得，又，所以，故A正確；因為在區(qū)間上是增函數(shù)，且的一個周期為，所以在上單調(diào)遞增，在上不為減函數(shù).故B錯誤；因為，所以，所以，從而為奇函數(shù)，故C正確；因為為奇函數(shù)，所以的圖象關于點對稱，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，又當時，，作出與的大致圖象，如圖所示.其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個交點，故方程僅有6個實數(shù)解，故D正確.故選：ACD.4．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預測）（多選）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則（

）A．關于對稱 B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)對稱中心和對稱軸定義結合得出周期判斷A,B,D選項，結合單調(diào)性得出C選項.【詳解】為偶函數(shù)，所以，所以，所以關于點對稱，A錯誤；又，所以，B正確；因為在上是增函數(shù)，所以，故C正確；因為，所以，而的值不確定，故D錯誤.故選:BC．5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）（多選）已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關于對稱B．函數(shù)是周期函數(shù)C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得的圖象關于對稱，結合函數(shù)變換可推出函數(shù)是周期為的函數(shù)，結合對稱性與周期性逐項判斷即可得答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，所以，則函數(shù)的圖象關于對稱，故A正確；因為①，②，則①+②得：，即③，②-①得：，即④，由③得代入④得，所以，則，則函數(shù)是周期為的函數(shù)，故B正確；由于的圖象關于對稱，是周期為的函數(shù)，無法確定是否關于點對稱，故C不正確；將③代入①可得，所以，，，，，，，，累加得：，故可得，所以，故D正確.故選：ABD.6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關于對稱，則（

）A．的圖象關于對稱 B．是的一個周期C． D．【答案】ACD【分析】由函數(shù)的圖象關于對稱，可得，即可判斷A；先求出最小正周期為，再推出由可判斷B；令，求出可判斷C；求出，可判斷D.【詳解】對于A，由函數(shù)的圖象關于對稱，可推得，令等價于，則，的圖象關于對稱，所以A正確.對于B，令由，，所以，，所以關于對稱.由，所以，所以，，所以，關于對稱.令等價于，則，又因為，所以令等價于，所以，所以可得出最小正周期為.，，所以不是的周期，所以B錯誤.對于C，令，則，所以，所以C正確.

對于D，因為圖象關于對稱，所以，因為，，因為最小正周期為，所以，所以，，有，選項D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：令是解題的關鍵，通過研究的對稱性和周期性得到的性質(zhì)，即可求解.7．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知函數(shù)、定義域均為，且，為偶函數(shù)，若，則下面一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件判斷關于中心對稱和軸對稱，可求出是函數(shù)的周期，利用函數(shù)的對稱性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由可得函數(shù)關于中心對稱，且，又因為為偶函數(shù)，所以，令等價于，所以可知函數(shù)關于軸對稱，再令替換，所以，所以知，，，所以，即是函數(shù)的周期，由，令，則，故A正確；因為，由已知條件無法求出，故C不正確；由可得，所以B不正確；由可得與關于中心對稱，所以是函數(shù)的周期，，故D正確.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)條件判斷函數(shù)，的對稱性和周期性，利用函數(shù)的對稱性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解時解決本題的關鍵.考點九、函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應用1．（全國·高考真題）設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點位置，精準運算得到解決．【詳解】時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B．

【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側擴大到2倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括、數(shù)學建模能力．1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函數(shù)的周期為，再結合為偶函數(shù)，可得也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.【詳解】由，得，即，所以，所以函數(shù)的周期為，又為偶函數(shù)，則，所以，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.2．（2023浙江·統(tǒng)考一模）已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，函數(shù)關于對稱，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，知函數(shù)關于對稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，知，作出函數(shù)的圖象，如下：由圖可知，當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；所以不等式的解集為：或，故選：C3．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，.則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，代入原式可得，列出等式，，，，再利用累加法計算即可.【詳解】令，，因為，，得，即，因為，，，，，，，，將上述個式子累加得，，.故選：D【點睛】求解本題的關鍵是通過賦值法，令，，將原式轉(zhuǎn)化為，列出等式，利用累加法計算即可.4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，值域為，若，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，求出、、、的值，結合周期性可求得的值.【詳解】由可得，①對任意的，，所以，，②由①②可得，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)．因為為偶函數(shù)，則，因為，由可得，且，由可得，因為，所以，，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為，則，所以，，由可得，因為，所以，.故選：B.5．（2023·全國模擬）已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，，當時，（且），且.則（

）A．40 B．32 C．30 D．36【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性，求出參數(shù)a的值，即可求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，用代替可得：，所以，所以函數(shù)關于直線對稱，又因為，所以，所以，所以關于點中心對稱，所以函數(shù)的周期為，因為當時，（且），且，所以，解得：或，因為且，所以.所以當時，，所以，，，，，，，所以，所以，故選：D6．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預測）（多選）設函數(shù)的定義域為R，且滿足，當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．D．若，則有【答案】BCD【分析】根據(jù)題中條件可判斷的對稱性以及周期性，即可判斷A,結合已知區(qū)間上的解析式即可畫出函數(shù)圖象，即可判斷B,C,D.【詳解】由可知的圖象關于對稱，由的圖象關于對稱，故，所以是周期函數(shù)且周期為8，結合函數(shù)的性質(zhì)以及時，，有：，故A錯誤；由且周期為8，有，可知B正確；由函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)圖象（如圖），由圖象可知，，故C正確；由在一個周期內(nèi)的圖象可知，在有且僅有，1，3，5這幾個零點，結合函數(shù)周期為8，可知，函數(shù)在R上的所有零點為全體奇數(shù)，即，故D正確，故選：BCD．【基礎過關】一、單選題1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意推出函數(shù)的周期以及滿足等式，賦值求得，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以的周期為6，又為奇函數(shù)，所以，所以，令，得，所以,所以，故選：C.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】B【分析】方法一：可得，即可得到函數(shù)關于對稱，從而得到為偶函數(shù)；方法二：求出的解析式，即可判斷.【詳解】方法一：因為，所以，所以函數(shù)關于對稱，將的函數(shù)圖象向左平移個單位，關于軸對稱，即為偶函數(shù).方法二：因為，，則，所以為偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù)；又，故，，所以，，故為非奇非偶函數(shù).故選：B3．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意作函數(shù)圖像，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性求解.【詳解】依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖：因為是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，則當或時，；當時，，不等式化為或，所以或或，解得或或，即或，即原不等式的解集為；故選：C.4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結合已知等式可得，聯(lián)立可得，即得答案.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，故，即，將該式和相減可得，則，故選：C5．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可解.【詳解】已知是定義在上的偶函數(shù)，則，又對任意，且，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：等價為或，即或，解得或，即不等式的解集為.故選：.6．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃┮阎瘮?shù)的定義域為，且的圖象關于點成中心對稱.當時，，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和抽象函數(shù)圖象的對稱性可得的圖象關于原點中心對稱，為奇函數(shù)，結合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為將的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖象且的圖象關于點成中心對稱，所以的圖象關于原點成中心對稱，則在上是奇函數(shù)，所以.故選：C.二、多選題7．（2023·全國·模擬預測）已知定義域為的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的圖像關于直線對稱 D．在[0，10]上有6個零點【答案】AB【分析】通過給題中恒成立的等式賦值，求函數(shù)值，判斷奇偶性、對稱性和零點.【詳解】選項A：對于，令，得，對于，令，得，所以，則，A正確；選項B：由得，由得，所以，是奇函數(shù)，B正確；選項C：由，得，所以12是的一個周期，又是奇函數(shù)，所以的圖像關于點對稱，因為不恒為零，所以的圖像不關于直線對稱，C錯誤；選項D：由A知，對于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零點為0，2，3，4，6，8，9，10，共8個，D錯誤．故選：AB．8．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A．B．在定義域上單調(diào)遞增C．的導函數(shù)D．【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，結合選項即可逐一求解,【詳解】由得，由于函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，因此，對于A,,故A錯誤，對于B，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，故B正確，對于C，當且僅當時取等號，而，所以C錯誤，對于D，，當且僅當時取等號，所以D正確，故選：BD三、填空題9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足：為偶函數(shù)；當時，．寫出的一個單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)關于直線對稱，結合圖象分析判斷.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關于直線對稱，結合題意可得函數(shù)的圖象，如圖所示：可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故答案為：.10．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）定義在R上的奇函數(shù)滿足R，，且當時，，則_________．【答案】1012【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，且，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．所以，令,可得，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)且周期為4，所以，則，則．故答案為:1012.【能力提升】一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當時，，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)是偶函數(shù)和得到是的一個周期，然后利用周期性求函數(shù)值即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，則，因為，所以，則是的一個周期，因為，所以，，.故選：C.2．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列結論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為3 B．C． D．【答案】D【分析】由條件結合奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可得，，由此可得，再證明為周期為的函數(shù)，通過賦值可得，，由此判斷B，結合周期函數(shù)定義判斷A，根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)判斷CD.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，將代換為可得，，取可得，，取可得，，又，所以，因為為偶函數(shù)，所以，將代換為可得，，又所以，將代換為可得，，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4，由取可得，又，所以，B錯誤；，C錯誤；，D正確；因為，，所以函數(shù)不是周期為3的函數(shù)，A錯誤；故選：D.二、多選題3．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預測）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則（

）A．關于對稱 B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)對稱中心和對稱軸定義結合得出周期判斷A,B,D選項，結合單調(diào)性得出C選項.【詳解】為偶函數(shù)，所以，所以，所以關于點對稱，A錯誤；又，所以，B正確；因為在上是增函數(shù)，所以，故C正確；因為，所以，而的值不確定，故D錯誤.故選:BC．4．（2023·河北·校聯(lián)考一模）設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱，當時，，若方程在上恰有個實數(shù)解，則（

）A．的周期為4 B．在上單調(diào)遞減C．的值域為 D．【答案】AD【分析】由對稱性與奇偶性得到函數(shù)的周期性，即可判斷A、B，結合所給函數(shù)解析式求出函數(shù)的值域，即可判斷C，畫出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結合，即可判斷D.【詳解】由的圖象關于對稱可得，再由為偶函數(shù)可得，故，即的周期為4，即A正確；當時，由，可得在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，即B錯誤；又，，故的值域為，即C錯誤；在同一坐標系下畫出函數(shù)與的圖象如圖所示.

由圖可知，要使與在上恰有個不同交點，只需，即，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：AD5．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知符號函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當時，，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的周期性及給定函數(shù)，求出函數(shù)的值域，再結合符號函數(shù)逐項判斷作答.【詳解】當時，，而是偶函數(shù)，則當，，因此當時，，其取值集合為，又，即是周期為2的函數(shù)，于是函數(shù)的值域為，的部分圖象，如圖，

當時，，A錯誤；，B錯誤；當時，，C正確；當時，取，則，此時，D錯誤.故選：ABD6．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）設函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論正確的是（

）A．B．在上是減函數(shù)C．為奇函數(shù)D．方程僅有6個實數(shù)解【答案】ACD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，推出函數(shù)的一個周期為、的圖象關于點對稱、關于直線對稱，再根據(jù)這些性質(zhì)可判斷A正確，B正確，C錯誤；作出與的大致圖象，結合圖像可判斷D正確.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以，即，因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，即函數(shù)的一個周期為.在中，令，得，在中，令，得，又，所以，故A正確；因為在區(qū)間上是增函數(shù)，且的一個周期為，所以在上單調(diào)遞增，在上不為減函數(shù).故B錯誤；因為，所以，所以，從而為奇函數(shù)，故C正確；因為為奇函數(shù)，所以的圖象關于點對稱，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，又當時，，作出與的大致圖象，如圖所示.其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個交點，故方程僅有6個實數(shù)解，故D正確.故選：ACD.7．（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）已知是周期為4的奇函數(shù)，且當時，.設，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B．函數(shù)的最大值為1C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象有對稱中心也有對稱軸【答案】BCD【分析】根據(jù)判斷判斷奇函數(shù)，判斷周期性，求出在的解析式，根據(jù)圖象平移寫出在上解析式并判斷奇偶性，進而可得解析式，結合周期性判斷B、C，最后利用、判斷D.【詳解】由，令，則，故；令，則，故；所以，綜上，一個周期內(nèi)，由，而，故不是奇函數(shù)，但周期為4，A錯；所以，是將圖象右移一個單位，故在一個周期圖象如下：由圖象平移知：，且為偶函數(shù)，所以，故的最大值為1，B對；由周期性知：在上單調(diào)性同區(qū)間，即單調(diào)遞減，C對；由，由，注意：根據(jù)周期性有、，綜上，關于中心對稱、關于軸對稱，D對.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：利用奇函數(shù)、周期性判斷的奇偶性、周期性，再應用奇偶性求解析式，結合圖象寫出解析式，最后求出在一個周期內(nèi)的解析式關鍵.8．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎瘮?shù)，在R上的導函數(shù)分別為，，若為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是R上的奇函數(shù) D．是R上的奇函數(shù)【答案】AD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，以及原函數(shù)與導函數(shù)的奇偶性，即可判斷各選項正誤.【詳解】解：已知為偶函數(shù)，可知關于對稱，所以關于對稱，因為是奇函數(shù)，可知關于對稱，所以關于對稱，又因為，則，即，所以與關于對稱，因為關于對稱的點為，直線關于對稱的直線為，所以關于對稱，關于直線對稱，是偶函數(shù)，而關于對稱，，又，則，，，即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項錯誤；由關于直線對稱，，關于對稱，，則，，所以，即是周期為4的偶函數(shù)，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時求導，可得，所以是周期為4的奇函數(shù)，同理，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，等號兩邊同時求導，可得，是周期為4的奇函數(shù)，所以與均是周期為4的奇函數(shù)，故D選項正確；由于關于對稱，，，則，所以，故A選項正確；，故B選項錯誤；故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的對稱性得到函數(shù)的奇偶性及周期性，再利用復合函數(shù)的導數(shù)可得導函數(shù)的性質(zhì)進而即得.9．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┳尅ぐ推盏偎埂ぜs瑟夫·傅里葉，法國歐塞爾人，著名數(shù)學家、物理學家．他發(fā)現(xiàn)任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示，如定義在R上的函數(shù)，當時，有，則（

）．A．函數(shù)的最小正周期為B．點是函數(shù)圖象的對稱中心C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的表達式結合余弦函數(shù)的最小正周期可判斷A；由已知推出可判B；根據(jù)函數(shù)的周期性以及時，有可判斷C；令代入函數(shù)表達式求值，判斷D.【詳解】由于，且的最小正周期為，則也是的周期,故的最小正周期為，A錯誤；，故，即點是函數(shù)圖象的對稱中心，B正確；由題意知是偶函數(shù)，且當時，有，故，C正確；由于，令，則，即，所以，D正確，故選：BCD三、雙空題10．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關于點對稱，則______，______.【答案】1－2021【分析】分析函數(shù)的對稱性，由構造，由周期性和對稱性即可求解.【詳解】因為關于對稱，所以有.令，則，的圖象關于對稱，所以.由題設條件得，令，有，則的圖象于對稱，因為，有，即，則的圖象關于對稱.所以，又，所以，，所以，所以為的一個周期，，所以.故答案為：1；－2021.【真題感知】一、單選題1．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，其關于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．故選：A．【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.4．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎題.5．（2021·全國·高考真題）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵.6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當時，利用復合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關系得到結論；判斷單調(diào)性的關鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復合函數(shù)“同增異減”性得到結論.9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.【詳解】可以為負，所以A錯；關于原點對稱；故B錯；關于直線對稱，故C錯，D對故選：D【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.10．（2020·海南·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.11．（高考真題）已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，若，通過圖像可分析出，將，代入即可求解.【詳解】解：已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，，而，若為遞減函數(shù)，如圖遞增函數(shù)同理可得，，即，則，解得，故選：A.12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．二、填空題13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：114．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）

第01講函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第4題,5分復合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點的辨析2023年新Ⅱ卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的應用奇偶性求參數(shù)2022年新I卷，第12題,5分抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應用函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系2022年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的周期性的定義與求解2021年新Ⅱ卷，第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導數(shù)公式2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2020年新Ⅱ卷，第7題,5分復合函數(shù)的單調(diào)性對數(shù)函數(shù)單調(diào)性2020年新Ⅱ卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5分【備考策略】1.會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實際意義，會求簡單函數(shù)的最值3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關問題4.了解奇偶性的概念和意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性解決問題6.能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關問題.【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復習的重點內(nèi)容.知識講解函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見運算單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導數(shù)）復合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關于軸對稱③奇偶性的運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：考點一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值1．（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______．1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為________．3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．考點二、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．1．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）下列四個函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．考點三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．2．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學?？级＃┮阎瘮?shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山西太原·高二太原五中?？茧A段練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關系1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則（

）A．B．C．D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，記，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．1．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，設，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，，，則（

）A． B．C． D．考點五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則________．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．22．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為___________.3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______________．4．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則實數(shù)m的值為__________.考點六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應用1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)2．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃ǘ噙x）已知不恒為0的函數(shù)，滿足，都有．則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域均為R，且滿足，，則下列關系式一定成立的是（

）A． B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．4．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中學校考模擬預測）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)滿足（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上有最大值 D．的解集為5．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知定義在上的函數(shù)，滿足：，，，則（

）A．函數(shù)一定為非奇非偶函數(shù)B．函數(shù)可能為奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．當時，，則在上單調(diào)遞增D．當時，，則在上單調(diào)遞減6．（2023·江蘇南通·海安高級中學?？家荒＃┒x在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__________.考點七、函數(shù)周期性的綜合應用1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．1．（2023·江蘇二模）定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且為奇函數(shù).當時，，則（

）A． B． C．2 D．02．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列結論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為3 B．C． D．3．（2023·浙江模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，則=（

）A． B． C．1 D．4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知函數(shù)的定義域都為為奇函數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┖瘮?shù)，滿足，當，，則______.6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，若，則的值為________．7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則_____；_____．考點八、函數(shù)對稱性的綜合應用1．（2020·全國·統(tǒng)