高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第13講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題(高階拓展)專項(xiàng)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第13講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題2能用洛必達(dá)法則解決極限等問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)講解洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則?？键c(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）兩個(gè)無(wú)窮小之比或兩個(gè)無(wú)窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過(guò)對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．21．（2022·廣東韶關(guān)·校考模擬預(yù)測(cè)）年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問(wèn)題1．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍3．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍1.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍2.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍.3.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍【能力提升】1．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.2．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，證明在是增函數(shù)；(2)若，，求的取值范圍．4．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.5．（2023春·陜西西安·高三西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)．(1)若在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，求證：在時(shí)，．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）用分別表示,；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2021春·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．8．（福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）9．（吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2022·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的最小值為0，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明.

第13講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題2能用洛必達(dá)法則解決極限等問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)講解洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則?？键c(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）兩個(gè)無(wú)窮小之比或兩個(gè)無(wú)窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過(guò)對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可.【詳解】.故選：B.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用洛必達(dá)法則直接求解即可【詳解】，故選：D1．（2022·廣東韶關(guān)·校考模擬預(yù)測(cè)）年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】【分析】由洛必達(dá)法則，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，代入即可求得該極限值.【詳解】由題意可得：．故答案為：.2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】2【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達(dá)法則，直接計(jì)算可求得答案.【詳解】由題意可得：,故答案為：2.3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．【答案】2【分析】根據(jù)題設(shè)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限即得.【詳解】由題可得.故答案為：2.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則．【答案】/0.5【分析】依據(jù)洛必達(dá)法則去計(jì)算即可解決.【詳解】故答案為：考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問(wèn)題1．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時(shí),時(shí),即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以所以分析上式中求用了洛必達(dá)法則當(dāng)時(shí),分子,分母,符合不定形式,所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以即所以所以所以3．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則記則所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增所以所以1.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍解:則記則所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以，即，所以所以所以2.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍.解:記,則記則所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以,即,所以所以所以3.（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍解：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),不等式可化為.記,則,記,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因?yàn)?并且,所以.這時(shí)符合題意.綜上可知,的取值范圍是.【能力提升】1．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.【答案】（I）見解析（II）【詳解】試題分析：（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明與，從而令、，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性即可使問(wèn)題得證；（2）由（1）中的結(jié)論得≥，從而令，通過(guò)多次求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求出的取值范圍．試題解析：（1）要證時(shí)，，只需證明.記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以.要證時(shí)，，只需證明，記，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上是增函數(shù)，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設(shè)，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，于是，從而，所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，.記，則，當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù).于是在上的值域?yàn)?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以存在，使得此時(shí)，即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（解法二）先證當(dāng)時(shí)，.記，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，從而在上是增函數(shù)，因此.所以當(dāng)時(shí)，.同理可證，當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立，因?yàn)?所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式恒成立問(wèn)題．【方法點(diǎn)睛】求證不等式，一種常見思路是用圖像法來(lái)說(shuō)明函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方，但通常不易說(shuō)明．于是通常構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而證明欲證不等式．2．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為.（2）由題意，得，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，即在上恒成立，即；令，，則，令，即，得，令，即，得，所以是的極大值，也是的最大值，則.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，證明在是增函數(shù)；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)見解析，(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明，即可求導(dǎo)，得，由此可證明，（2）根據(jù)和的兩種情況，分類討論求解的最值，即可求解.【詳解】（1）令則,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，由于當(dāng)時(shí)，，所以，所以在是增函數(shù)，（2），由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故，當(dāng)時(shí)，，故對(duì)任意的，，于是單調(diào)遞增，故，符合題意，由得，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)單調(diào)遞減，故不符合要求，故舍去，綜上可知：4．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的取值范圍是.【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求，令通過(guò)對(duì)的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結(jié)果這一特殊性，通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論確定的取值范圍.試題解析：函數(shù)的定義域?yàn)榱?，?）當(dāng)時(shí)，，在上恒成立所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無(wú)極值；（2）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞增無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩根為因?yàn)樗裕煽傻茫核?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（3）當(dāng)時(shí)，由可得：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗裕瑫r(shí)，，符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，由，得所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，時(shí)，，符合題意；（3）當(dāng)時(shí)，由，可得所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；又所以，當(dāng)時(shí)，不符合題意；（4）當(dāng)時(shí)，設(shè)因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，即：可得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意.綜上所述，的取值范圍是考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.5．（2023春·陜西西安·高三西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)．(1)若在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，求證：在時(shí)，．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）通過(guò)計(jì)算，可求解；（2）由（1）知：，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到單調(diào)性；（3）通過(guò)變形，只需證明即可，利用不等式，即可證明.【詳解】（1）解：函數(shù)，則，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線斜率為，所以，解得.（2）由（1）知：，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3），令，則，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即；令，，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，恒成立，即，所以，得證.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）用分別表示,；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解.試題解析：（1）因?yàn)椋深}設(shè)，則有，解得.（2）由（1）知，，令，所以，當(dāng)時(shí)，，或，①當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).又因?yàn)?，所以時(shí)，，所以，故時(shí)，不恒成立；②當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)．所以，當(dāng)時(shí)，，即.綜上所述，所求的取值范圍為.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和最值等方面的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問(wèn)題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景,考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.本題的第一問(wèn)是求參數(shù)之間的關(guān)系.求解時(shí)借助題設(shè)條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再運(yùn)用函數(shù)與直線相切的關(guān)系求出；第二問(wèn)的求解中借助導(dǎo)數(shù),先構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值是的問(wèn)題.進(jìn)而通過(guò)分類分析推證求得實(shí)數(shù)的取值范圍,從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)捷巧妙獲解.7．（2021春·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加;(2)a的取值范圍為(－∞，].【分析】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分別令f′(x)<0，f′(x)>0可求的單調(diào)區(qū)間；(2求導(dǎo)得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而對(duì)1－2a的符號(hào)進(jìn)行討論即可得出結(jié)果.【詳解】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，從而當(dāng)a>時(shí)，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f(x)<0，綜上可得a的取值范圍為(－∞，]．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.8．（福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）【答案】（1）函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）2；（3）【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以=.當(dāng)時(shí),,等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對(duì)任意，；當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而，因此當(dāng)時(shí)，，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，，所以的近似值為.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)第(Ι)問(wèn),函數(shù)單調(diào)性的判斷，容易;對(duì)第（2）問(wèn),考慮不到針對(duì)去討論；對(duì)第（3）問(wèn),找不到思路.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、