高考數(shù)學一輪復習(新教材新高考)第13講利用洛必達法則解決導數(shù)問題(高階拓展)專項練習(學生版+解析)

第13講利用洛必達法則解決導數(shù)問題（高階拓展）（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的選考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)問題2能用洛必達法則解決極限等問題【命題預測】洛必達法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應用是大學高等數(shù)學中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.知識講解洛必達法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達法則?？键c一、洛必達法則的直接應用1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中?？计谥校﹥蓚€無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．22．（2022·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．21．（2022·廣東韶關·校考模擬預測）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學?？茧A段練習）我們把分子，分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．4．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．考點二、利用洛必達法則解決函數(shù)綜合問題1．（全國高考）已知恒成立,求的取值范圍2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍3．（全國高考）恒成立,求的取值范圍1.（全國高考）恒成立,求的取值范圍2.（全國高考）恒成立,求的取值范圍.3.（全國高考）恒成立,求的取值范圍【能力提升】1．（2020秋·江蘇揚州·高三揚州市新華中學?？茧A段練習）已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.2．（2022秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，．(1)當時，證明在是增函數(shù)；(2)若，，求的取值范圍．4．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學校考開學考試）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.5．（2023春·陜西西安·高三西安建筑科技大學附屬中學?？计谥校┰O函數(shù)．(1)若在點處的切線斜率為，求a的值；(2)當時，求的單調區(qū)間；(3)若，求證：在時，．6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）用分別表示,；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．7．（2021春·江蘇揚州·高三揚州市江都區(qū)大橋高級中學?？茧A段練習）設函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若當時恒成立，求的取值范圍．8．（福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）已知函數(shù)=.（1）討論的單調性；（2）設，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）9．（吉林長春·高三東北師大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)（1）證明：當時，；（2）若當時，，求實數(shù)的取值范圍.10．（2022·河南信陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的最小值為0，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明.

第13講利用洛必達法則解決導數(shù)問題（高階拓展）（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的選考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)問題2能用洛必達法則解決極限等問題【命題預測】洛必達法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應用是大學高等數(shù)學中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.知識講解洛必達法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達法則?？键c一、洛必達法則的直接應用1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中?？计谥校﹥蓚€無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必達法則直接求解即可.【詳解】.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用洛必達法則直接求解即可【詳解】，故選：D1．（2022·廣東韶關·?？寄M預測）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】【分析】由洛必達法則，分別對分子和分母求導，代入即可求得該極限值.【詳解】由題意可得：．故答案為：.2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】2【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達法則，直接計算可求得答案.【詳解】由題意可得：,故答案為：2.3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學校考階段練習）我們把分子，分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．【答案】2【分析】根據(jù)題設對分子、分母分別求導再求極限即得.【詳解】由題可得.故答案為：2.4．（2023·全國·高三專題練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．【答案】/0.5【分析】依據(jù)洛必達法則去計算即可解決.【詳解】故答案為：考點二、利用洛必達法則解決函數(shù)綜合問題1．（全國高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調遞增,且所以時,時,即在上單調遞減,在上單調遞增所以所以分析上式中求用了洛必達法則當時,分子,分母,符合不定形式,所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,當時,單調遞減,所以即所以所以所以3．（全國高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則記則所以,在單調遞增,所以所以,在單調遞增,所以即在上,所以在上單調遞增所以所以1.（全國高考）恒成立,求的取值范圍解:則記則所以,當時,單調遞增,所以，即，所以所以所以2.（全國高考）恒成立,求的取值范圍.解:記,則記則所以,當時,單調遞增,所以,即,所以所以所以3.（全國高考）恒成立,求的取值范圍解：當時，;當時,不等式可化為.記,則,記,則,當時,;當時,.因為,并且,所以.這時符合題意.綜上可知,的取值范圍是.【能力提升】1．（2020秋·江蘇揚州·高三揚州市新華中學校考階段練習）已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.【答案】（I）見解析（II）【詳解】試題分析：（1）將問題轉化為證明與，從而令、，然后利用導數(shù)求得的單調性即可使問題得證；（2）由（1）中的結論得≥，從而令，通過多次求導得出其單調性即可求出的取值范圍．試題解析：（1）要證時，，只需證明.記，則，當時，，因此在上是增函數(shù)，故，所以.要證時，，只需證明，記，則，當時，，因此在上是增函數(shù)，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設，則，記，則，當時，，于是在上是減函數(shù)，從而當時，，故在上是減函數(shù)，于是，從而，所以，當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，.記，則，當時，，故在上是減函數(shù).于是在上的值域為.因為當時，，所以存在，使得此時，即在上不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.（解法二）先證當時，.記，則，記，則，當時，，于是在上是增函數(shù)，因此當時，，從而在上是增函數(shù)，因此.所以當時，.同理可證，當時，.綜上，當時，.因為當時，，所以當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，因為.所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2、不等式恒成立問題．【方法點睛】求證不等式，一種常見思路是用圖像法來說明函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方，但通常不易說明．于是通常構造函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)的性質，進而證明欲證不等式．2．（2022秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【分析】（1）求導，利用導數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的極值；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉化為，構造，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最大值.【詳解】（1）當時，，其定義域為，，令，得或，令，得，所以在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，所以的極大值為，極小值為.（2）由題意，得，因為對任意，恒成立，所以，即在上恒成立，即；令，，則，令，即，得，令，即，得，所以是的極大值，也是的最大值，則.【點睛】方法點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.3．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，．(1)當時，證明在是增函數(shù)；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)見解析，(2)【分析】（1）利用導數(shù)證明，即可求導，得，由此可證明，（2）根據(jù)和的兩種情況，分類討論求解的最值，即可求解.【詳解】（1）令則,當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，則，當時，，由于當時，，所以，所以在是增函數(shù)，（2），由于，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?，當時，，故對任意的，，于是單調遞增，故，符合題意，由得，當時，，故當時，，故此時單調遞減，故不符合要求，故舍去，綜上可知：4．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學校考開學考試）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的取值范圍是.【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求，令通過對的取值的討論，結合二次函數(shù)的知識，由導數(shù)的符號得到函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結果這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定的取值范圍.試題解析：函數(shù)的定義域為令，（1）當時，，在上恒成立所以，函數(shù)在上單調遞增無極值；（2）當時，①當時，，所以，，函數(shù)在上單調遞增無極值；②當時，設方程的兩根為因為所以，由可得：所以，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；因此函數(shù)有兩個極值點．（3）當時，由可得：當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；因此函數(shù)有一個極值點．綜上：當時，函數(shù)在上有唯一極值點；當時，函數(shù)在上無極值點；當時，函數(shù)在上有兩個極值點；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）當時，函數(shù)在上單調遞增，因為所以，時，，符合題意；（2）當時，由，得所以，函數(shù)在上單調遞增，又，所以，時，，符合題意；（3）當時，由，可得所以時，函數(shù)單調遞減；又所以，當時，不符合題意；（4）當時，設因為時，所以在上單調遞增，因此當時，即：可得：當時，此時，不合題意.綜上所述，的取值范圍是考點：1、導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用；2、分類討論的思想.5．（2023春·陜西西安·高三西安建筑科技大學附屬中學校考期中）設函數(shù)．(1)若在點處的切線斜率為，求a的值；(2)當時，求的單調區(qū)間；(3)若，求證：在時，．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）通過計算，可求解；（2）由（1）知：，討論導數(shù)的正負即可得到單調性；（3）通過變形，只需證明即可，利用不等式，即可證明.【詳解】（1）解：函數(shù)，則，因為在點處的切線斜率為，所以，解得.（2）由（1）知：，當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.（3），令，則，因為，所以，則在上單調遞增，又，所以恒成立，即；令，，時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，恒成立，即，所以，得證.6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）用分別表示,；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】試題分析：(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)借助題設條件運用導數(shù)的知識求解.試題解析：（1）因為，由題設，則有，解得.（2）由（1）知，，令，所以，當時，，或，①當時，有，當時，，是減函數(shù).又因為，所以時，，所以，故時，不恒成立；②當時，有當時，，則在上為增函數(shù)．所以，當時，，即.綜上所述，所求的取值范圍為.考點：導數(shù)在研究函數(shù)單調性和最值等方面的有關知識的綜合運用．【易錯點晴】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景,考查的是導數(shù)知識在研究函數(shù)單調性和極值等方面的綜合運用和分析問題解決問題的能力.本題的第一問是求參數(shù)之間的關系.求解時借助題設條件和導數(shù)的幾何意義,先求函數(shù)的導函數(shù),再運用函數(shù)與直線相切的關系求出；第二問的求解中借助導數(shù),先構造函數(shù)將問題等價轉化為函數(shù)的最小值是的問題.進而通過分類分析推證求得實數(shù)的取值范圍,從而使得問題簡捷巧妙獲解.7．（2021春·江蘇揚州·高三揚州市江都區(qū)大橋高級中學?？茧A段練習）設函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若當時恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)f(x)在(－∞，0)單調減少，在(0，＋∞)單調增加;(2)a的取值范圍為(－∞，].【分析】(1)a＝0時，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分別令f′(x)<0，f′(x)>0可求的單調區(qū)間；(2求導得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當且僅當x＝0時等號成立．故問題轉化為f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而對1－2a的符號進行討論即可得出結果.【詳解】(1)a＝0時，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)單調減少，在(0，＋∞)單調增加(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當且僅當x＝0時等號成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而當1－2a≥0，即a≤時，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是當x≥0時，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，從而當a>時，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故當x∈(0，ln2a)時，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是當x∈(0，ln2a)時，f(x)<0，綜上可得a的取值范圍為(－∞，]．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，屬中檔題.8．（福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）已知函數(shù)=.（1）討論的單調性；（2）設，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）【答案】（1）函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）2；（3）【詳解】（1）因為，當且僅當時等號成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因為=，所以=.當時,,等號僅當時成立，所以在R上單調遞增，而，所以對任意，；當時，若滿足，即時，，而，因此當時，，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，，當時，，；當時，，，，所以的近似值為.【易錯點】對第(Ι)問,函數(shù)單調性的判斷，容易;對第（2）問,考慮不到針對去討論；對第（3）問,找不到思路.考點：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、