2024-2025學年湖南省益陽市萬源教育集團八年級（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省益陽市萬源教育集團八年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知aba+b=23，bcb+c=65A.116 B.113 C.1152.計算x?3x2?4÷A.x?2 B.1x?2 C.x?2x+2 3.如果a=(?99)0，b=(?0.1)?1，c=(13)?2，那么aA.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a4.已知a是方程x2?2x?2=0的根，則(1?1a+1A.16 B.12 C.195.《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”(粟指帶売的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”.問題：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為(

)A.6

升 B.8

升 C.16

升 D.18

升6.如圖，將四邊形紙片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P//AB，C′R//AD.若∠B=120°，∠D=50°，則∠C=(

)A.85°B.95°

C.90°D.80°7.給出下列命題：

①等邊三角形是等腰三角形；

②三角形的重心是三角形三條中線的交點；

③三角形的外角等于兩個內角的和；

④三角形的角平分線是射線；

⑤三角形相鄰兩邊組成的角叫三角形的內角；

⑥三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內就在三角形外．

其中正確命題的個數(shù)有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為(

)A.50° B.130° C.50°或130° D.65°或130°9.如圖，DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，若AC=8，AB=6，BC=4，則△ADB的周長為(

)A.14 B.13 C.12 D.1010.如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=30°，連接AC，BD交于點M，AC與OD相交于E，BD與OA相交于F，連接OM.則下列結論中：

①AC=BD；②∠AMB=30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．

正確的個數(shù)有(

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.函數(shù)y=x+3x?5中自變量x12.已知x為整數(shù)，且分式4x+4x2?1的值為正整數(shù)，則x13.華為Mate60Pro于2023年8月29日開售，該款手機搭載的是華為自主研發(fā)的麒麟9000s芯片，該款芯片達到了7納米工藝水平，1納米=0.000000001米，7納米用科學記數(shù)法表示為：______米.14.當1a?1b=215.為響應承辦“綠色奧運”的號召，九年級(1)班全體師生義務植樹300棵.原計劃每小時植樹x棵，但由于參加植樹的全體師生植樹的積極性高漲，實際工作效率提高為原計劃的1.2倍，結果提前20分鐘完成任務.列方程______．16.如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，若動點P以2cm/秒的速度從點A出發(fā)沿A→B→A方向運動設運動時間為t秒，連接PQ，當△APQ是等腰三角形時，則t的值為______秒.17.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，點P是BC上一點，BD⊥AP交AP延長線于點D，連接CD，若圖中兩陰影三角形的面積之差為32(即，S△ACP?S△PBD=32?)，則CD=18.方程x2?6x+8=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形周長是______．三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題7分)

先化簡再求值：(2a+1+a+220.(本小題7分)

先化簡，再求值：(x?1+11?x)÷x3?4x21.(本小題8分)

小明發(fā)現(xiàn)爸爸和媽媽的加油習慣不同，媽媽每次加油都說“師傅，給我加200元油”(油箱未加滿)，而爸爸則說：“師傅，幫我把油箱加滿!”小明很好奇：現(xiàn)實生活中油價常有變動，爸爸媽媽不同的加油方式，哪種方式會更省錢呢？現(xiàn)以兩次加油為例來研究．設爸爸媽媽第一次加油油價為x元/升，第二次加油油價為y元/升，

(1)求媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價格．(用含x，y的代數(shù)式表示)

(2)爸爸和媽媽的兩種加油方式中，誰的加油方式更省錢？用所學數(shù)學知識說明理由．22.(本小題8分)

“節(jié)能減排，綠色出行”，越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為60000元，今年該自行車每輛售價比去年降低100元.若該自行車今年的銷售總額與去年相同，那么今年的銷售總量需要比去年增加20%.請解答以下問題：

(1)A型自行車今年每輛售價為多少？

(2)該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共80輛，且B型進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的3倍.A型車和B型車每輛的進價分別為400元和500元，B型車每輛的售價為700元，該自行車行應如何組織進貨才能使這批自行車獲利最多？獲利最多是多少？23.(本小題9分)

?ABCD中，點E在AD上，DE=CD，請僅用無刻度的直尺，按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)

(1)在圖1中，畫出∠C的角平分線；

(2)在圖2中，畫出∠A的角平分線．

24.(本小題9分)

如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點D．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作AD的垂直平分線分別與AB、AC、AD交于點E、點F、點H.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)所作的圖形中，連接DE、DF，完成下面證明HE=HF的過程．

證明：∵∠BAC的角平分線交BC于點D，

∴∠BAD=①______．

∵EF垂直平分AD，

∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=②______，AE=DE．

∴③______．

∴∠CAD=∠ADE．

∴△AHF≌④______(ASA)．

∴HE=HF．25.(本小題9分)

如圖，點C在線段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．

(1)證明：△ADC≌△BCE；

(2)若CF=3，DF=4，求△DCE的面積．26.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標系中，點A(4,0)，點B(0,?2)，將線段AB沿y軸向上平移4個單位，得到線段CD．

(1)寫出點C，D的坐標；

(2)若點E在x軸上，求出點E坐標，使得S△CDE=32S△AOB；

(3)線段AB沿y軸向下平移得線段A′B′，x軸上是否存在點P，使得△A′B′P為等腰直角三角形？若存在請直接寫出點B′坐標，并寫出求其中一個點答案解析1.A

【解析】解：∵aba+b=23，bcb+c=65，aca+c=34，

∴a+bab=32，b+cbc=56，a+cac=43，

∴1b2.B

【解析】解：x?3x2?4÷x?3x+2

=x?3(x+2)(x?2)?x+2x?33.B

【解析】解：a=(?99)0=1，

b=(?0.1)?1=?10，

c=(13)?2=9，

4.B

【解析】解：原式=a+1?1a+1?(a+1)2a3

=aa+1?(a+1)2a3

=a+1a2，

∵a是方程x2?2x?2=0的根，

∴a2?2a?2=05.D

【解析】解：根據(jù)題意得：

3×10÷(50÷30)

=30÷53

=30×35

=18(升)．

答：可以換得的糲米為18升．

故選：D．

先將單位換成升，根據(jù)“50單位的粟，可換得30單位的糲米6.B

【解析】解：∵將紙片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，

∴∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，

∵C′P/?/AB，C′R/?/AD，∠B=120°，∠D=50°，

∴∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，

∴∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，

∴∠C=180°?∠CRP?∠CPR=95°，

故選：B．

根據(jù)折疊得出∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，根據(jù)平行線的性質得出∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，求出∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，即可得出答案．

本題考查了折疊的性質，平行線的性質，能正確運用性質和定理進行推理是解此題的關鍵．7.C

【解析】解：①等邊三角形是等腰三角形，正確，符合題意；

②三角形的重心是三角形三條中線的交點，正確，符合題意；

③三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和，故原命題錯誤，不符合題意；

④三角形的角平分線是線段，故原命題錯誤，不符合題意；

⑤三角形相鄰兩邊組成的角叫三角形的內角，正確，符合題意；

⑥三角形的高所在的直線交于一點，這一點還可能是直角頂點，故原命題錯誤，不符合題意．

正確的命題有3個，

故選：C．

利用等腰三角形及等邊三角形的定義、三角形的有關定義及性質分別判斷后即可確定正確的選項．

本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解有關的定義及定理，難度不大．8.C

【解析】解：①如圖1，等腰三角形為銳角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD=40°，

∴∠A=50°，

即頂角的度數(shù)為50°．

②如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA=40°，

∴∠BAD=50°，

∴∠BAC=130°．

故選：C．

首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為50°.另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為130°．

本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理，此題難度適中，解題的關鍵在于正確的畫出圖形，結合圖形，利用數(shù)形結合思想求解．9.A

【解析】解：∵MN是線段BC的垂直平分線，

∴CD=BD，

∴△ADB的周長是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+8=14，

故選：A．

根據(jù)線段垂直平分線定理求出CD=BD，代入△ADB的周長公式(BD+AD+AB=AC+AB)，求出即可．

本題考查了線段的垂直平分線定理的應用，關鍵是根據(jù)定理推出△ADB的周長等于AC+AB，題型較好，難度不大．10.B

【解析】解：∵∠AOB=∠COD=30°，

∴∠AOC=∠BOD，

∵OA=OB，OC=OD，

∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴AC=BD，所以①正確；

∴∠OAC=∠OBD，

而∠AFM=∠BFO，

∴∠AMF=∠BOF=30°，所以②正確；

∵OC<OA，

∴∠OCA>∠OAC，

∵∠OEM=∠OCE+30°，∠OFM=∠OBF+30°=∠OAM+30°，

∴∠OEM>∠OFM，

∴△OEM與△OFM不可能全等，所以③錯誤；

作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如圖，

∵△AOC≌△BOD，

∴OH=OG，

∴MO平分∠BMC，所以④正確．

故選：B．

根據(jù)“SAS”判斷△AOC≌△BOD得到AC=BD，則可對①進行判斷；根據(jù)全等三角形的性質得到∠OAC=∠OBD，則根據(jù)三角形內角和得到∠AMF=∠BOF=30°，于是可對②進行判斷；利用OC<OA得到∠OCA>∠OAC，則根據(jù)三角形外角性質得到推出∠OEM>∠OFM，所以△OEM與△OFM不可能全等，于是可對③進行判斷；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如圖，根據(jù)三角形全等的性質得到OH=OG，然后根據(jù)角平分線的性質定理的逆定理可對④進行判斷．

本題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質等知識．11.x≥?3且x≠5

【解析】解：由題意得，x+3≥0且x?5≠0，

解得x≥?3且x≠5．

故答案為：x≥?3且x≠5．

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．

本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：

(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．12.2，3，5

【解析】解：4x+4x2?1

=4(x+1)(x+1)(x?1)

=4x?1，

∵x為整數(shù)，且分式4x+4x2?1即4x?1的值為正整數(shù)，

∴x可取的值有2，3，5，

故答案為：213.7×10【解析】解：7納米=0.000000007米=7×10?9米．

故答案為：7×10?9．

用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪．

本題主要考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×1014.15【解析】解：當1a?1b=2時，

3a+5ab?3ba?3ab?b=3(a?b)+5ab)(a?b)?3ab=?6ab+5ab?2ab?3ab=15，

故3a+5ab?3ba?3ab?b的值是15.300x【解析】解：原計劃每小時植樹x棵，實際工作效率提高為原計劃的1.2倍，故每小時植1.2x棵，由題意得：

300x?2060=3001.2x，

故答案為：300x?2060=3001.2x．

原計劃每小時植樹x棵，實際工作效率提高為原計劃的1.2倍，故每小時植1.2x棵，原計劃植16.1或3

【解析】解：如圖，連接PQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∵△APQ是等腰三角形，

∴△APQ是等邊三角形，

又∵Q是AC的中點，

∴AQ=AP=2cm，

分兩種情況：

①當點P由A向B運動時，t=AP2=22=1(秒)；

②當點P由B向A運動時，t=AB+BP2=4+22=3(秒)；

綜上所述，當△APQ是等腰三角形時，則t的值為1或3秒．

故答案為：1或3．

依據(jù)等邊三角形的性質即可得到∠A17.8

【解析】解：如圖，過點C作CH⊥CD，交AD于H，

∴∠HCD=∠ACB=90°，

∴∠ACH=∠BCD，

∵∠ACP=∠ADB=90°，∠APC=∠BPD，

∴∠CAH=∠CBD，

又∵AC=BC，

∴△ACH≌△BCD(ASA)，

∴CH=CD，S△ACH=S△BCD，

∵S△ACP?S△PBD=32，

∴S△ACH+S△CHP?S△PBD=32，

∴S△CHD=32，

∴118.10

【解析】解：解方程x2?6x+8=0，得x1=2，x2=4，

當2為腰，4為底時，不能構成等腰三角形；

當4為腰，2為底時，能構成等腰三角形，周長為4+4+2=10．

故答案為19.解：原式=[2(a?1)(a+1)(a?1)+a+2(a+1)(a?1)]?a+1a

=3a(a+1)(a?1)?a+1【解析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將a的值代入計算即可．

本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．20.解：(x?1+11?x)÷x3?4x2+4xx?1

=(x?1?1x?1)÷x(x?2)2x?1

=(x?1)2?1x?1?x?1x(x?2)2

=x2?2x+1?1x?1?x?1x(x?2)2

=x2?2xx?1?x?1x(x?2)2

=x(x?2)x?1?x?1x(x?2)2

=1x?2，

要使分式(x?1+1【解析】先根據(jù)分式的加減法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出x=?2或?1，再代入化簡后的結果，即可求出答案．

本題考查了分式的化簡求值和不等式組的整數(shù)解，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵，注意運算順序．21.解：(1)由題意可得，

媽媽兩次加油的總量是：200x+200y=200y+200xxy(升)，

媽媽兩次加油的平均價格是：400200y+200xxy=2xyx+y(元/升)，

即媽媽兩次加油的總量是200y+200xxy升，媽媽兩次加油的平均價格是2xyx+y元/升；

(2)設爸爸每次加滿油箱的油是a升，

則爸爸兩次加油的平均價格是ax+ay2a【解析】本題考查分式的加減，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的計算方法．

(1)根據(jù)題意，可以用含有x、y的代數(shù)式表示出媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價格；

(2)根據(jù)題意，可以用x、y的代數(shù)式表示出爸爸兩次加油的平均價格，然后和媽媽兩次加油的平均價格作差，然后比較大小，即可解答本題．22.解：(1)設A型自行車今年每輛售價為x元，則去年每輛售價為(x+100)元，根據(jù)題意得，

60000x+100×(1+20%)=60000x，

解得：x=500，

經(jīng)檢驗，x=500是原方程的解，

答：A型自行車今年每輛售價為500元；

(2)解：設購進A型車a輛，則購進B型車共(80?a)輛，

依題意，80?a≤3a，

解得：a≥20，

根據(jù)題意，A型車和B型車每輛的進價分別為400元和500元，A型自行車今年每輛售價為500元；B型車每輛的售價為700元，

設利潤為y元，則y=(500?400)a+(700?500)(80?a)，

即y=16000?100a，

∵?100<0，

∴當a=20時取得最大值，最大值為16000?100×20=14000(元)，

∴購進A型車20輛，購進B型車共60【解析】(1)設A型自行車今年每輛售價為x元，則去年每輛售價為(x+100)元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；

(2)設購進A型車a輛，則購進B型車共(80?a)輛，求得a≥20，設利潤為y元，根據(jù)題意，列出函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質即可求解．

本題考查了分式方程的意義，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意找到等量關系，列出方程與不等式是解題的關鍵．23.解：(1)如圖1，CE為所作；

(2)如圖2，

【解析】本題考查了基本作圖，平行四邊形的性質，等腰三角形的性質.熟練掌握平行四邊形的性質以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．

(1)連結CE，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD//BC得∠DEC=∠BCE，則∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD；

(2)連結AC、BD，它們相交于點O，延長EO交BC于F，根據(jù)平行四邊形中心對稱的性質易證△DOE≌△BOF，則DE=BF=AB，同理由(1)可得AF平分∠BAD，則AF為所作．24.∠CAD

DH

∠BAD=∠ADE

△DHE

【解析】解：(1)如圖，即為所求作；

(2)解：證明：∵∠BAC的角平分線交BC于點D，

∴∠BAD=∠CAD，

∵EF垂直平分AD，

∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=DH，AE=DE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴∠CAD=∠ADE，

∴△AHF≌△DHE(ASA)，

∴HE=HF．

故答案為：①∠CAD；②DH；③∠BAD=∠ADE；④△DHE．

(1)分別以A、D為半徑畫弧，交于兩點，這兩點所在的直線即為AD的垂直平分線，再標注交點字母即可；

(2)由角平分線的定義，得到∠BAD=∠CAD，再由垂直平分線的性質和等邊對等角的性質，得出∠CAD=∠ADE，可證△AHF≌△DHE(ASA)，即可得出結論．

本題考查了作圖?基本作圖，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握垂直平分線的作法和性質是解題關鍵．25.(1)證明：∵AD/?/BE，

∴∠A=∠B，

在△ACD和△BEC中，

AC=BE∠A=∠BAD=BC，

∴△ACD≌△BEC(SAS)；

(2)解：由(1)知△ADC≌△BCE，

∴DC=CE，

又∵CF平分∠DCE，

∴CF⊥DE，DF=EF，

∴CF垂直平分DE，

∵CF=3，DF=4．

∴DE=2DF=8，

∴S△DCE=DE?CF2=【解析】(1)根據(jù)AD/?/BE，可以得到∠A=∠B，然后根據(jù)SAS即可證明結論成立；

(2)根據(jù)(1)中的結果和等腰三角形的性質，可以得到DE的長