初中數(shù)學中考壓軸題專項訓練尖子生輔導

初中數(shù)學中考壓軸題專項訓練尖子生輔導

—.解答題（共30小題）

1.（2014?南安市一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，

OA=4,OC=2.點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動,

設點P運動的時間是t秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點D,點D隨點P的運動而運動，連

接DP、DA.

（1）請用含t的代數(shù)式表示出點D的坐標；

（2）求t為何值時，4DPA的面積最大，最大為多少？

（3）在點P從O向A運動的過程中，4DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值.若不能，請說明理由；

（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長.

考點：二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；直角三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

專題：壓軸題；動點型.

分析：（1）設出P點坐標，再求出CP的中點坐標，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點坐標；

（2）根據(jù)D點的坐標及三角形的面積公式直接求解即可；

（3）先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；

（4）根據(jù)點D的運動路線與OB平行且相等解答即可.

解答：解：（1）?.,點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，

/.OP=t,而OC=2,

AP（t,0）,

設CP的中點為F,

則F點的坐標為（上，1）,

2

二將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點D,其坐標為（t+1,1）；

(2)：D點坐標為(t+1,上)，0A=4,

2

SADPA--^APx_tA(4-t)(4t-t2)=->1(t-2)2+l,

222244

???當t=2時，S展大=1；

(3)能構(gòu)成直角三角形.

①當NPDA=90。時，PC〃AD,

由勾股定理得，PD2+AD2=AP2,

即(上)2+1+(4-t-1)2+(1)2=(4-t)2,

22

解得，t=2或t=-6(舍去).

**.t=2秒.

②當NPAD=90。時，此時點D在AB上，

可知，/XCOPS/XPAD,

.?總里，

"PDPA'

.?22

.丁同

PA=1,

即t+l=4,t=3秒.

綜上，可知當t為2秒或3秒時，4DPA能成為直角三角形.

(4)???根據(jù)點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2代,

點D運動路線的長為2代.

點評：此題比較復雜，是動點問題在實際生活中的運用，結(jié)合了二次函數(shù)、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，具有一定的

綜合性.

2.(2013?佛山)如圖①，已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點A(0,3),B(3,0),C(4,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求拋物線的頂點坐標和對稱軸；

(3)把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S(圖②

中陰影部分).

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換.

專題：壓軸題.

分析：(1)把點A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax?+bx+c利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標與對稱軸即可；

(3)根據(jù)頂點坐標求出向上平移的距離，再根據(jù)陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進行計算即

可得解.

解答：解：(1),拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點A(0,3),B(3,0),C(4,3),

(c=3

??,9a+3b+c=0?

16a+4b+c=3

解得，b=-4，

.c=3

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-4x+3；

(2)*.,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.?.拋物線的頂點坐標為(2,-1),對稱軸為直線x=2；

(3)如圖，:?拋物線的頂點坐標為(2,-1),

.??PP'=1,

陰影部分的面積等于平行四邊形A，APP的面積，

平行四邊形A，APP的面積=1x2=2,

.??陰影部分的面積=2.

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，(3)根據(jù)平移的

性質(zhì)，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵.

3.(2012?邵陽)如圖所示，已知拋物線Co的解析式為y=x?-2x

(1)求拋物線C()的頂點坐標；

(2)將拋物線Co每次向右平移2個單位，平移n次，依次得到拋物線Ci、C2、C3、…、Cn(n為正整數(shù))

①求拋物線Ci與x軸的交點Ai、A2的坐標；

②試確定拋物線Cn的解析式.(直接寫出答案，不需要解題過程)

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

專題：壓軸題.

分析：(1)把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后即可得到頂點坐標；

(2)①先求出原拋物線與x軸的交點坐標，再根據(jù)向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出交點AI、A2的坐

標即可；

②根據(jù)原拋物線的頂點坐標求出拋物線品的頂點坐標，然后利用頂點式解析式的形式寫出即可.

解答：解：(1)Vy=x2-2x=(x-1)2-1,

?'?拋物線C0的頂點坐標為(1,-1)；

(2)①當y=0時，貝I]有”-2x=0,解得：X|=0,x2=2,

則O(0,0),Ai(2,0),

?.?將拋物線C0向右平移2個單位，得到拋物線C,,

,此時拋物線Co與x軸的交點O(0,0)、A,(2,0)也隨之向右平移2個單位，

二拋物線Ci與x軸的交點A|、A2的坐標分別為：A](2,0)、A2(4,0)；

②拋物線Cn的頂點坐標為(l+2n,-1),

則拋物線M的解析式為：y=[x-(l+2n)]2-1,

即y=x2-(4n+2)x+4n2+4n.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用點的坐標的移動解答圖象的移動是解題的關(guān)鍵，平移規(guī)律為"左

加右減，上加下減”.

4.(2011?自貢)已知拋物線y=ax?+2x+3(aM)有如下兩個特點：①無論實數(shù)a怎樣變化，其頂點都在某一條直

線1上；②若把頂點的橫坐標減少上縱坐標增大工分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加工，縱坐標

aaa

增加工分別作為點B的橫、縱坐標，則A,B兩點也在拋物線y=ax?+2x+3(axO)上.

a

(1)求出當實數(shù)a變化時，拋物線y=ax?+2x+3(a*0)的頂點所在直線1的解析式；

(2)請找出在直線1上但不是該拋物線頂點的所有點，并說明理由；

(3)你能根據(jù)特點②的啟示，對一般二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a，0)提出一個猜想嗎？請用數(shù)學語言把你的猜想表

達出來，并給予證明.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

專題：壓軸題；開放型：函數(shù)思想.

分析：(1)取a=l和-1,求出兩點的坐標，用待定系數(shù)法求出直線1的解析式即可；

(2)求出拋物線y=ax?+2x+3的頂點P坐標為(-1,3-工)，根據(jù)其取值，即可得出不是該拋物線的

aa

頂點的坐標；

(3)猜想：對于拋物線y=ax?+bx+c(a*0),將其頂點的橫坐標減少二縱坐標增加工分別作為點A的橫、

aa

縱坐標；把頂點的橫坐標增加二縱坐標增加工分別作為點B的橫、縱坐標，則A,B兩點也在拋物線

aa

y=ax2+bx+c(a*0)上；求出其橫、縱坐標，把橫坐標代入函數(shù)式，驗證即可；

解答：解：(1)取a=l,得拋物線y=x?+2x+3,

其頂點為Pi(-1,2).

取a=-1,得拋物線y=-X2+2X+3,

其頂點為P2(1，4).

由題意有Pi、P2在直線1上，設直線1的解析式為y=kx+b,則("

Lk+b=4

解得：任口

lb=3

；?直線1的解析式為y=x+3.

(2)??,拋物線y=ax?+2x+3的頂點P坐標為(-工，3-工).

aa

顯然P(-—,3)在直線y=x+3上.

aa

又-工能取到除0以外的所有實數(shù)，

a

???在y=x+3上僅有一點(0,3)不是該拋物線的頂點.

(3)猜想：對于拋物線y=ax?+bx+c(a#0),將其頂點的橫坐標減少工，縱坐標增加工分別作為點A的橫、

aa

縱坐標；把頂點的橫坐標增加工縱坐標增加工分別作為點B的橫、縱坐標，則A,B兩點也在拋物線

aa

y=ax2+bx+c(a^O)上.證明如下：

2

?.?拋物線y=ax?+bx+c(awO)的頂點坐標為(-上，處一包),

2a4a

..?點A的坐標為T，J

2

點B的坐標為(等,處丁).

4ac-b2+4

x二一日&寸，y=ax2+bx+c=a（肝）2+b（步）+c=

2a2a2a4a

?,?點A（-左吆，但2在拋物線y=ax?+bx+c（a*0）,

2a4a

2

同理有B(士冬，4aC~b+4)也在拋物線上，故結(jié)論成立.

2a4a

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟記二次函數(shù)的頂點坐標公式及其性

質(zhì)，是正確解答的關(guān)鍵.

5.(2011?泰州)已知二次函數(shù)y=x?+bx-3的圖象經(jīng)過點P(-2,5)

(1)求b的值并寫出當1<XV3時y的取值范圍；

(2)設Pi(m,yi)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在這個二次函數(shù)的圖象上，

①當m=4時，yi、y2、y3能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；

②當m取不小于5的任意實數(shù)時，yi、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由.

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；三角形三邊關(guān)系.

專題：計算題；壓軸題.

分析：(1)把(-2,5)代入二次函數(shù)y=x?+bx-3,求出b,根據(jù)圖象的對稱軸即可得出y的范圍；

(2)①不能，因為代入求出yi=5,y2=12,y3=21,不符合三邊關(guān)系定理；②求出yi+y2-y3的值即可.

解答：解：(1)把(-2,5)代入二次函數(shù)y=x2+bx-3得：5=4-2b-3,

/.b=-2,

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

拋物線的開口方向向上，對稱軸是直線x=l,

把x=l代入得：y=-4,

把x=3代入得：y=0,

...當1<XS3時y的取值范圍是-4<yM),

答：b的值是-2,當1<XS3時y的取值范圍是-4<y8.

(2)①答：當m=4時，力、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長.

理由是當m=4時，P|(4,y])、P2(5,y2)、P3(6,y3),

代入拋物線的解析式得：yi=5,y2=12,y3=21,

V5+12<21,

???當m=4時，yi、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長.

②理由是：???把Pi(m,yi)>P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)代入y=x?-2x-3=(x-1)2-4得：

**.yi=(m-1)2-4,y2=(m+1-1)2-4,y3=(m+2-1)2-4,

，yi+y2~y3=(m-1)2-4+(m+l-1)2-4-[(m+2-1)2-4]=(m-2)2-8,

Vm>5,

/.(m-2)2-8>0,

/.yi+y2>y3,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊（也可求出兩小邊的和大于第三邊），

...當m取不小于5的任意實數(shù)時，yi、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長.

點評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，能正確根

據(jù)定理進行計算是解此題的關(guān)鍵.

6.（2010?鎮(zhèn)江）對非負實數(shù)x"四舍五入"到個位的值記為Vx>,

即：當n為非負整數(shù)時，如果n-/<x<n+W<x>=n.

如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,...

試解決下列問題：

（1）填空：①<Tt>=3（JT為圓周率）；

②如果<2x-1>=3,則實數(shù)x的取值范圍為—工4x<§_；

44

（2）①當xNO,m為非負整數(shù)時，求證：Vx+m>=m+Vx>；

②舉例說明<*+丫>=<*>+<丫>不恒成立；

（3）求滿足<x>=§x的所有非負實數(shù)x的值；

3

（4）設n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)尸*2-x+1的自變量x在Mx<n+1范圍內(nèi)取值時，函數(shù)值y為整數(shù)的個數(shù)

記為a,滿足<?>=n的所有整數(shù)k的個數(shù)記為b.求證：a=b=2n.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；一元一次不等式的應用；一次函數(shù)的性質(zhì).

專題：證明題；壓軸題.

分析：（1）H的十分位為1,應該舍去，所以精確到個位是3；如果精確數(shù)是3,那么這個數(shù)應在2.5和3.5之間，

包括2.5,不包括3.5,讓2.542X-1V3.5,解不等式即可；

（2）①分別表示出<x+m>和<x>,即可得到所求不等式；②舉出反例說明即可，譬如稍微超過0.5的

兩個數(shù)相加；

（3）芻為整數(shù)，設這個整數(shù)為k,易得這個整數(shù)應在應在k-工和k+工之間，包括k-1，不包括k+工，求

32222

得整數(shù)k的值即可求得X的非負實數(shù)的值；

（4）易得二次函數(shù)的對稱軸，那么可求得二次函數(shù)的函數(shù)值在相應的自變量的范圍內(nèi)取值，進而求得相應

的a的個數(shù)；利用所給關(guān)系式易得《的整數(shù)個數(shù)為2n,由此得證.

解答：解：（1）①3；

②由題意得：2.542x-1V3.5,解得：I<x<-;

44

（2）①證明：設<x>=n,則n—系x<n+=，京非負整數(shù)；

（n+ro）一（n+m）+=，且n+m為非負整數(shù)，

/?<x+m>=n4-m=m+<x>.

②舉反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2,而VO.6+O.7>=VL3>=1,

A<0.6>+<0.7>*<0.6+0.7>,

,Vx+y>=Vx>+Vy>不一定成立；

（3）Vx>0,9K為整數(shù)，設冬=k，k為整數(shù)，

33

則x^|k>

??<條>=k,

4

?，?k-k>0，

V0<k<2,

Ak=O,1,2,

***x=0,心，—.

42

112

(4)???函數(shù)尸J-x+1(x--)，n為整數(shù)，

42

當nSx<n+l時，y隨x的增大而增大，

,212121c

(n--)(n+1--),即(n-工)<y<(n+—),①

???/-nCdyCrAn+g6為整數(shù)，

44

.*.y=n2-n+1,n2-n+2,n2-n+3,…，n2-n+2n,共2n個y,

**.a=2n,(2)

Vk>0,<Vk>=n,

則；?(n-^)2Ck<(n+-j)2>③

比較①，②，③得：a=b=2n.

點評：解決本題的關(guān)鍵是理解：對非負實數(shù)x"四舍五入"到個位的值記為<x>,即：當n為非負整數(shù)時，如果

n--^<x<n+^則<x>=n.

7.(2010?紅河州)二次函數(shù)y=x2的圖象如圖所示，請將此圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位.

(1)畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖象，并寫出函數(shù)的解析式；

(2)求經(jīng)過兩次平移后的圖象與x軸的交點坐標，指出當x滿足什么條件時，函數(shù)值大于0?

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的圖象；拋物線與x軸的交點.

專題：壓軸題；開放型.

分析：(1)由平移規(guī)律求出新拋物線的解析式；

(2)令y=0,求出x的值，即可得交點坐標.拋物線開口向上，當x的值在兩交點之外y的值大于0.

解答：解：(1)國圖如圖所示：

依題意得：y=(x-1)2-2

=x2-2x+l-2

=x2-2x-1

，平移后圖象的解析式為：x2-2x-1

(2)當y=0時，x2-2x-1=0,即(x-1)2=2,

/.x-1=±^/2，即X]=1-板,x2=1+72

.??平移后的圖象與x軸交于兩點，坐標分別為(1-&，0)和(1+V2-0)

由圖可知，當x<1一加或x>1+J射，

二次函數(shù)y=(x-1)2-2的函數(shù)值大于0.

點評：主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標軸的交點坐標的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減,

上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.會利用方程求拋物線與坐標軸的交點.

8.(2010?青島)己知：把Rt/XABC和RL^DEF按如圖(1)擺放(點C與點E重合)，點B、C(E)、F在同一條

直線上.ZACB=ZEDF=90\ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.

如圖(2),^DEF從圖(1)的位置出發(fā)，以Icm/s的速度沿CB向^ABC勻速移動，在^DEF移動的同時，點P

從AABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當^DEF的頂點D移動到AC邊上時，^DEF

停止移動，點P也隨之停止移動、DE與AC相交于點Q,連接PQ,設移動時間為t(s)(0<t<4.5)解答下列問

題：

(1)當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

(2)連接PE,設四邊形APEC的面積為y(cn?),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t,使面積y最

小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；

(3)是否存在某一時刻3使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由.

圖(1)圖(2)

考點：二次函數(shù)的最值；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：壓軸題.

分析：(1)因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ,用含t的式子表示出這兩個線

段即可得解；

(2)作PM_LBC,將四邊形的面積表示為SAABC-S^BPE即可求解；

(3)假設存在符合條件的t值，由相似三角形的性質(zhì)即可求得.

解答：解：(1)???點A在線段PQ的垂直平分線上，

，AP=AQ；

VZDEF=45",NACB=90。，ZDEF+ZACB+ZEQC=180°,

ZEQC=45°；

NDEF=/EQC；

，CE=CQ；

由題意知：CE=t,BP=2t,

；.CQ=t；

/.AQ=8-t；

在RtZSABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

則AP=10-2t；

/.10-2t=8-t；

解得：t=2；

答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

(2)過P作PMJ-BE,交BE于M

，NBMP=90。；

在RtAABC和RtABPM中，.向二AJPM'

但AB-BP

?PM8

,,—=—;

2t10

；.PM=旦十；

5

*/BC=6cm,CE=t,/?BE=6-t；

111io

???y=SAABc-SABPE=-^BC'AC-^BE-PM=^X6X8--^x(67)X-￡t

=-1t2-^t+24=1(t-3)2量

5555

?a4>0，

，拋物線開口向上；

當t=3時，y母小="；

5

答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為區(qū)n?.

5

(3)假設存在某一時刻t,使點P、Q、F三點在同一條直線上；

過P作PNJ_AC,交AC于N

NANP=NACB=NPNQ=9O。；

,/ZPAN=ZBAC,

/.△PAN^ABAC；

?,PN_AP_AN.

"BC"AB'AC'

?PN10-2tAN.

10^8"

??邱=6-2，AN=8-§t；

55

VNQ=AQ-AN,

ANQ=8-t-(8--+)=-+

5T5

VZACB=90°,B、C、E、F在同一條直線上，

/.ZQCF=90",ZQCF=ZPNQ；

VZFQC=ZPQN,

/.△QCF^AQNP；

.63

這5

-.PN_NQ；

"FC=CQ'9-1t

A6

-53

V0<t<4.5,?----=—：

9-t5

解得：t=l；

答：當t=ls,點P、Q、F三點在同一條直線上.

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識，圖形較復雜，考

查學生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強，難度較大.

9.（2010?南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數(shù)），BC=8,E為線段BC上的動點（不與B、

C重合）.連接DE,作EF_LDE,EF與射線BA交于點F,設CE=x,BF=y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若m=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

（3）若丫=型，要使^DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

m

考點：二次函數(shù)的最值；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì).

專題：壓軸題；動點型.

分析：（1）利用互余關(guān)系找角相等，證明△BEFS/\CDE,根據(jù)對應邊的比相等求函數(shù)關(guān)系式;

（2）把m的值代入函數(shù)關(guān)系式，再求二次函數(shù)的最大值；

（3）VZDEF=90\只有當DE=EF時，Z^DEF為等腰三角形，把條件代入即可.

解答：解：⑴VEF1DE,

ZBEF=90°-ZCED=ZCDE,

又NB=NC=90°,

/.△BEF^ACDE,

...理里，即解得y=8x-x2；

CEDCxinin

2

(2)由(1)得y=8xX,

in

將m=8代入，得y=-A2+=-A(2-8x)=-1(x-4)2+2,

8XX8x8

所以當x=4時，y取得最大值為2；

(3)VZDEF=90°,，只有當DE=EF時，ZXDEF為等腰三角形，

/.△BEF^ACDE,

?'?BE=CD二m,

2

此時m=8-x,解方程128x-x,得*=6,或x=2,

mm

當x=2時，m=6,

當x=6時，m=2.

點評：本題把相似三角形與求二次函數(shù)解析式聯(lián)系起來，在解題過程中，充分運用相似三角形對應邊的比相等,

建立函數(shù)關(guān)系式.

10.(2010?臺州)如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=6,AC=8.點P,Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A

運動(不與點B重合)，點Q從A向B運動，BP=AQ.點D,E分別是點A,B以Q,P為對稱中心的對稱點，HQ±AB

于Q,交AC于點H.當點E到達頂點A時，P,Q同時停止運動.設BP的長為x,Z^HDE的面積為y.

(1)求證：ADHQ^AABC；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；

(3)當x為何值時，^HDE為等腰三角形？

考點：二次函數(shù)的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.

分析：(1)根據(jù)對稱性可得HD=HA,那么可得NHDQ=NA,加上已有的兩個直角相等，那么所求的三角形相似;

(2)分0<xs2.5；2.5<xS5兩種情況討論，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值即可求得

最大值；

(3)等腰三角形有兩邊相等，根據(jù)所在的不同位置再分不同的邊相等解答.

解答：(1)證明：：A、D關(guān)于點Q成中心對稱，HQ±AB,

...NHQD=NC=90。，HD=HA,

；.NHDQ=NA,

/?△DHQ^AABC.

(2)解：①如圖1,當0<x42.5時，

ED=10-4x,QH=AQtanA=A,

4

此時y=—(10-4x)x_?x=-衛(wèi)乂2+些x,

2424

當x=&f，最大值y=—.

432

②如圖2,當2.5<xV5時，

ED=4x-10,QH=AQtanA=Jx,

4

2

此時y=—(4x-10)x.^x=—x-_l§x=—(x--)--.

24242432

當2.5<x45時，y有最大值，

當x=5時，最大值為y=—,

4

(0<x<2.5)

.?.y與X之間的函數(shù)解析式為

(2.5<x<5)

則當2.5VXV5時，y有最大值，其最大值是y=但.

4

綜上可得，y的最大值為工5.

4

(3)解：①如圖1,當0<x<2.5時，

若DE=DH,VDH=AH==jx,DE=10-4x,

cosA4

.'?10-4x=—*，x=—.

421

,/ZEDH>90°,

；.EH>ED,EH>DH,

即ED=EH,HD=HE不可能；

②如圖2,當2.5<xS5時，

若DE=DH,4x-10=—Y,x=9^；

411

若HD=HE,此時點D,E分別與點B,A重合，x=5；

若ED=EH,則/ADH=/DHE,

又,點A、D關(guān)于點Q對稱，

NA=NADH,

/.△EDH^AHDA,

?ED_DHx_320

DHAD103

...當X的值為空，義，5,煞時，^HDE是等腰三角形.

2111103

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等問題，注意分不同位置，邊長相等的不同情

況探討三角形為等腰三角形的條件.

11.(2010?湘潭)如圖，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,ZD=90°,AC1BC,AB=10cm,BC=6cm,F點以2cm/

秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設運動時

間為t秒(0<t<5).

(1)求證：△ACDs/iBAC；

(2)求DC的長；

(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值.

考點：二次函數(shù)的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)由CD〃AB,得NDCA=/CAB,加上一組直角，即可證得所求的三角形相似.

(2)在Rt^ABC中，由勾股定理可求得AC的長，根據(jù)(1)題所得相似三角形的比例線段，即可求出

DC的長.

(3)分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由^ABC、ABEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可

得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值.

解答：解：(1)：CD〃AB,/.ZBAC=ZDCA

又?；ACJ_BC,ZACB=90°,，ND=NACB=90°,

/.△ACD^ABAC.

中，

(2)RtZViBCAC=1JAB2_BC2=8cm,

,/△ACD^ABAC,，匹=空，

ACAB

即史=_^_,解得：DC=6.4cm.

810

(3)過點E作AB的垂線，垂足為G,

VZACB=ZEGB=90°,NB公共，

/.△ACB^AEGB,

?EGBE即區(qū)J,故EG專

,?麗力'8-10

y=SAABC-SABEF

=1x6X8--^(10-2t)?Ut2-4t+24

2255

=1(t-^)2+19；

故當y的最小值為19.

2

點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)最值的應用等知識，能

夠?qū)⒚娣e問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解答（3）題的關(guān)鍵.

12.（2010?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,BC=6,AD=3,NDCB=30。.點E、F同時從B

點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動.己知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊

△EFG.設E點移動距離為x（x>0）.

（□△EFG的邊長是x（用含有x的代數(shù)式表示）,當x=2時，點G的位置在D；

（2）若4EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y,求：

①當0<xV2時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當2Vxs6時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探求（2）中得到的函數(shù)y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大

考點：二次函數(shù)的最值；梯形.

專題：壓軸題；分類討論.

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則AEFG的邊長是點E移動的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F

點移動速度是E點移動速度的2倍，即可分析出BF=4,此時等邊三角形的邊長是2,則點G和點D重合;

（2）①當0<xS2時，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；

②當2<x46時，分兩種情況：當2VxV3時和當34x46時，進行計算；

（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進一步比較取其中的最大值即可.

解答：解：（1）,?,點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動，且F點移動速度是E點移動速度的2倍,

；.BF=2BE=2x,

/.EF=BF-BE=2x-x=x,

/.△EFG的邊長是x；

過D作DH_LBC于H,得矩形ABHD及直角△CDH,連接DE、DF.

在直角^CDH中，VZC=30°,CH=BC-AD=3,

.?.DH=CH?tan3O°=3x2Z^=a.

3

當x=2時，BE=EF=2,

?.?△EFG是等邊三角形，且DHJ_BC交點H,

；.EH=HF=1

,',DE=DF=VDH2+EH2=2,

...△DEF是等邊三角形，

.?.點G的位置在D點.

故答案為X,D點；

②分兩種情況:

I.當2Vx<3時，如圖1,點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM,

VZFNC=ZFCN=30°,；.FN=FC=6-2X.；.GN=3x-6.

?.?在RtZ\NMG中,ZG=60°,GN=3X-6,

.'.GM=A(3X-6),

2

由勾股定理得：MN=Y5(3X-6),

2_

?"?SAGMN=^XGMXMN=^XA(3x-6)(3x-6)(3x-6)2

8_

9M.

x2'

圖1

II.當34x46時，如圖2,點E在線段BC上，點F在射線CH上,

△EFG與梯形ABCD重疊部分為AECP,

VEC=6-x,

(3)當0<x42時,

???丫=率2,在x>0時，y隨X增大而增大，

；.x=2時,y最大二V"^；

當2VxV3時，Vy=-生①咨在*=琢―艱大=延;

83^2277

當34X46時，?.、=堂*2-3乎X'H苧，在x<6時，y隨x增大而減小,

?'?x=3時，y

8_

綜上所述：當X』，丫城產(chǎn)組1

77

點評:此題是一道動態(tài)題，難度較大，注意不同的情況，能夠熟練求得二次函數(shù)的最值.

13.（2010?株洲）如圖，直角^ABC中，NC=90。,AB=2遙，sinB二零，點P為邊BC上一動點，PD〃AB,PD

5

交AC于點D,連接AP.

（1）求AC、BC的長；

（2）設PC的長為x,4ADP的面積為y.當x為何值時，y最大，并求出最大值.

考點：二次函數(shù)的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題.

分析：（1）在RtZ^ABC中，根據(jù)/B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的

長；

（2）由于PD〃AB,易證得△CPDS/M2BA,根據(jù)相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，

也就求出AD的表達式，進而可以AD為底、PC為高得出4ADP的面積，即可求出關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系

式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，可求出y的最大值及對應的x的值.

斛答：解：（1）在RtaABC中，sinB=近，AB=2遙，

5

得螞4,

AB-5

，AC=2,根據(jù)勾股定理得：BC=4：（3分）

（2）VPD^AB,.,.AABC^ADPC,

PCBC2

設PC=x,則AD=2-

22

“△仙p/T（2-1x）-x=-lx+x=--l（x-2）+l

...當x=2時，y的最大值是1.（8分）

點評：此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應用等知識.

14.（2010?福州）如圖，在aABC中，ZC=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分

別在AB、AC上，AD交EF于點H.

（1）求證：期里；

AD-BC

（2）設EF=x,當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合

時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與^ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

考點：二次函數(shù)的最值；矩形的性質(zhì)；梯形；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.

分析：（1）易證得△AEFS^ABC,而AH、AD是兩個三角形的對應高，EF、BC是對應邊，它們的比都等于相

似比，由此得證；

（2）此題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解；由（1）的結(jié)論可求出AH的表達式，進而可得到HD（即FP）

的表達式；已求得了矩形的長和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系

式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對應的X的值；

（3）此題要理清幾個關(guān)鍵點，當矩形的面積最大時，由（2）可知此時EF=5,EQ=4；易證得aCPF是等

腰RtA,貝iJPC=PF=4,QC=QP+PC=9；

一、P、C重合時，矩形移動的距離為PC（即4）,運動的時間為4s；

二、E在線段AC上時，矩形移動的距離為9-4=5,運動的時間為5s；

三、Q、C重合時，矩形運動的距離為QC（即9）,運動的時間為9s；

所以本題要分三種情況討論：

①當0勺<4時，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰RtZSFMN（設AC與FE、FP的交點為M、N）的面

積差，F(xiàn)M的長即為梯形移動的距離，由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；

②當44<5時，重合部分是個梯形，可用t表示出梯形的上下底，進而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)

關(guān)系式；

③當5a49時，重合部分是個等腰直角三角形，其直角邊的長易求得，即可得出此時S、t的函數(shù)關(guān)系式.

解答：（1）證明：?.?四邊形EFPQ是矩形，，EF〃QP

.'.△AEF^AABC

又入。_1_8（：,

/.AH±EF；

.?.他至

,?