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12.3角的平分線的性質(zhì)一、角的平分線的性質(zhì)和判定1.性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的

相等.

2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊的

的點(diǎn)在角的平分線上.二、證明幾何命題的步驟1.明確命題中的

和

.

2.根據(jù)題意,畫(huà)出圖形,并用

表示已知和求證.

3.經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑,寫(xiě)出

過(guò)程.

距離距離相等已知求證符號(hào)證明探究點(diǎn)一:角的平分線的性質(zhì)【例1】如圖AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,點(diǎn)E為垂足,DF⊥AC,點(diǎn)F為垂足,求證:DE=DF.【導(dǎo)學(xué)探究】1.欲證DE=DF,可證明∠BAD=

.

2.利用“SSS”證明△ABD≌

.

∠CAD△ACD證明:在△ABD和△ACD中,所以△ABD≌△ACD(SSS).所以∠BAD=∠CAD.因?yàn)镈E⊥BA,DF⊥AC,所以DE=DF.當(dāng)已知條件中有角的平分線及垂直時(shí),常考慮角平分線的性質(zhì).探究點(diǎn)二:角的平分線的判定【例2】如圖,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分別為E,F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD.求證:AD平分∠BAC.DE【導(dǎo)學(xué)探究】1.已知BE⊥AC,CF⊥AB,要證AD平分∠BAC,只需證DF=

.

2.利用AAS可證明△BDF≌

.

△CDE證明:因?yàn)锽E⊥AC,CF⊥AB,所以∠BFD=∠CED=90°.在△BDF與△CDE中,所以△BDF≌△CDE(AAS).所以DF=DE.因?yàn)镈F⊥AB,DE⊥AC,所以AD平分∠BAC.1。如圖,點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn),PD⊥OB,垂足為D,若PD=2,則點(diǎn)P到邊OA的距離是(

)(A)1 (B)2(C)(D)42.到三角形三條邊的距離相等的點(diǎn)是三角形(

)(A)三條角平分線的交點(diǎn)(B)三條高的交點(diǎn)(C)三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(D)三條中線的交點(diǎn)BA3.如圖,是一個(gè)風(fēng)箏骨架.為使風(fēng)箏平衡,須使∠AOP=∠BOP.我們已知PC⊥OA,PD⊥OB,那么PC和PD應(yīng)滿足

,才能保證OP為∠AOB角平分線.

PC=PD4.(2017徐州模擬)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD是△ABC的一條角平分線.若CD=2,則△ABD的面積為

.

8證明:因?yàn)锽D為∠ABC的平分線,所以∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB.所以DP平分∠ADC.因?yàn)镻M⊥AD,PN⊥CD,所以PM=PN.5.已知,如圖,BD是∠A

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