(易錯(cuò)題)高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第三單元《立體幾何初步》檢測(cè)題(有答案解析)

一、選擇題1．設(shè)，是不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，則.④若，，，則；其中正確命題的序號(hào)是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④2．設(shè)m，n是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A．，且，則B．，，，，則C．，，，則D．，且，則3．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（）A． B． C． D．4．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．5．如圖,是正方體中上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題：①；②與所成的角是60°；③為定值；④平面；⑤二面角的平面角為45°．其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．在正四面體中，異面直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直D．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直8．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線，直線，則a∥αD．若直線a∥b，，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線9．三棱錐A－BCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為2，且球?yàn)槿忮F的外接球，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面截球得到的截面面積為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．將表面積為36π的圓錐沿母線將其側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A．18 B．18 C．12 D．2412．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A．與是異面直線 B．平面C．AE，為異面直線，且 D．平面13．邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折疊使得垂直于底面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．14．已知半徑為的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為和，則兩平行截面間的距離是()A． B．C．或 D．或二、解答題15．如圖，為圓的直徑，為圓周上異于、的一點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求三棱錐的體積．16．如圖，在四棱錐中，底面梯形ABCD中，，平面平面ABCD，是等邊三角形，已知，.（1）求證：平面平面SAC；（2）求直線AD與平面SAC所成角的余弦值.17．如圖所示的四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，AE＝EB＝BC＝2，AD⊥平面ABE，且CE上的點(diǎn)F滿足BF⊥平面ACE.（1）求證：AE∥平面BFD；（2）求三棱錐C-AEB的體積.18．如圖所示，在四面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，，，，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面.19．如圖，已知三棱臺(tái)中，平面平面ABC，是正三角形，側(cè)面是等腰梯形，，E為AC的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求證；（Ⅱ）求直線與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離.21．是正三角形，線段和都垂直于平面.設(shè)，且F為的中點(diǎn)，如圖.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.22．如圖在中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，.若將沿折起到的位置，使得.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由.23．如圖，四面體中，，分別是?的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若為上的一點(diǎn)，且，求證：平面.24．在斜三棱柱中，，平面，且，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．25．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，.（1）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使平面；（2）證明：平面平面；（3）當(dāng)時(shí)，求幾何體的體積.26．在如圖所示的圓錐中，是圓錐的高，是底面圓的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且，．（1）試在上確定一點(diǎn)，使得面，并說(shuō)明理由；（2）求點(diǎn)到面的距離．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)和判定定理判斷或舉出反例說(shuō)明.【詳解】對(duì)①，根據(jù)垂直于兩個(gè)平行平面中一個(gè)平面的直線與另一個(gè)平面也垂直，以及垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故①正確；對(duì)②，設(shè)三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別為，其中兩條側(cè)棱為，顯然，但與不平行，故②錯(cuò)誤.對(duì)③，當(dāng)三個(gè)平面兩兩垂直時(shí)，顯然結(jié)論不成立，故③錯(cuò)誤.對(duì)④，∵，當(dāng)時(shí)，，故④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題目.2．D解析：D【分析】對(duì)每一個(gè)命題逐一判斷得解.【詳解】對(duì)于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說(shuō)明m、n是分別在平行平面內(nèi)的直線，它們的位置關(guān)系應(yīng)該是平行或異面或相交，故A不正確；對(duì)于B，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β＝l，所以B不成立．對(duì)于C，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l，也可能α⊥β，故C不正確；對(duì)于D，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過(guò)平移使得m與n相交，且設(shè)m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因?yàn)棣痢挺?，所以m與n所成的角為90°，故命題D正確．故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行與垂直，面面垂直的性質(zhì)和判斷的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和空間想象能力.3．D解析：D【分析】先保證截面圓與內(nèi)切，記圓的半徑為，由等面積法得，解得．由于三棱柱高為，此時(shí)可以保證球在三棱柱內(nèi)部，球的最大半徑為，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，由題意可知，球的體積要盡可能大時(shí)，球需與三棱柱內(nèi)切．先保證截面圓與內(nèi)切，記圓的半徑為，則由等面積法得，所以，又因?yàn)?，，所以，所以．由于三棱柱高為，此時(shí)可以保證球在三棱柱內(nèi)部，若增大，則無(wú)法保證球在三棱柱內(nèi)，故球的最大半徑為，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的最大體積的求法，考查空間想象能力，屬于中檔題.4．C解析：C【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡(jiǎn)得.在中，，.所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.5．C解析：C【詳解】①在正方體中，，所以平面平面，從而正確；②由于,并且的夾角是60°，故所成的角是60°正確；③雖然點(diǎn)P變化，但P到的距離始終不變，故為定值正確；④若平面，而平面，平面，所以平面平面，這與平面與平面相交矛盾，所以不正確；⑤點(diǎn)變化，但二面角都是面與面所成的角,故二面角的平面角為45°正確；故選：C.6．D解析：D【分析】在正四面體中易證,即，然后作出直線與平面所成的角，二面角的平面角，在將之放到三角形中求解比較其大小.【詳解】在正四面體中,設(shè)棱長(zhǎng)為2,設(shè)為底面三角形是中心，則平面.取邊的中點(diǎn)，連結(jié),如圖.則易證,又.所以平面,又平面，所以.所以異面直線與所成的角為.又平面.所以直線與平面所成的角為在中,,所以.取邊的中點(diǎn)，連結(jié)，則有，所以二面角的平面角為,在中，由余弦定理有：,即，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線成角，線面角，二面角的求法，關(guān)鍵是在立體圖中作出相應(yīng)的角，也可以用向量法，屬于中檔題.7．D解析：D【分析】可在正方體中選擇兩個(gè)相交平面，再選擇由頂點(diǎn)構(gòu)成且與其中一個(gè)面垂直的直線，通過(guò)變化直線的位置可得正確的選項(xiàng)．【詳解】如圖，平面平面，平面，但平面內(nèi)無(wú)直線與平行，故A錯(cuò)．又設(shè)平面平面，則，因，故，故B、C錯(cuò)，綜上，選D．【點(diǎn)睛】本題考察線、面的位置關(guān)系，此種類型問(wèn)題是易錯(cuò)題，可選擇合適的幾何體去構(gòu)造符合條件的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或不符合條件的反例．8．D解析：D【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定及相關(guān)性質(zhì)，一一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：A項(xiàng)，若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l可能平行于平面α，也可能位于平面α內(nèi)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線a在平面α外，則直線a與平面α可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，直線，所以a可能與平面α相交或與平面α平行,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，直線a∥b,,當(dāng)a∥α?xí)r,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行；當(dāng)時(shí),除了直線a本身,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行,因此直線a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,故D項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行的判定及相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.9．D解析：D【分析】連接DN，取DN的中點(diǎn)O，連接MO，BO，得出（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AN所成的角，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系求出（或其補(bǔ)角）的余弦值即可.【詳解】連接DN，取DN的中點(diǎn)O，連接MO，BO，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴MO∥AN，∴（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AN所成的角.設(shè)三棱錐A－BCD的所有棱長(zhǎng)為2，則,則，則，在中，由余弦定理得，∴異面直線BM與AN所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的夾角，解題的關(guān)鍵是正確找出異面直線所對(duì)應(yīng)的夾角，屬于中檔題.10．B解析：B【分析】求出三棱錐的外接球半徑，可知截面面積的最大值為，當(dāng)球心到截面的距離最大時(shí)，截面面積最小，此時(shí)球心到截面的距離為，截面圓的半徑的最小值為，進(jìn)而可求出截面面積的最小值.【詳解】三棱錐是正四面體，棱長(zhǎng)為2，將三棱錐放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐的外接球.因?yàn)槿忮F的棱長(zhǎng)為2，故正方體的棱長(zhǎng)為，可得外接球直徑，故，故截面面積的最大值為.因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，當(dāng)球心到截面的距離最大時(shí)，截面面積最小，此時(shí)球心到截面的距離為，△為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，，得，則所得截面半徑的最小值為，所以截面面積的最小值為.故的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】外接球問(wèn)題與截面問(wèn)題是近年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題，平常學(xué)習(xí)中要多積累，本題考查學(xué)生的空間想象能力、推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11．B解析：B【分析】如圖所示，設(shè)此圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l?，聯(lián)立解得：r，l，h.即可得出該圓錐的軸截面的面積S?2r?h＝rh.【詳解】如圖所示，設(shè)此圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l.則πr2+πrl＝36π，化為：r2+rl＝36，2πr＝l?，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h6.該圓錐的軸截面的面積S?2r?h＝rh＝3×618.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的表面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.12．C解析：C【分析】根據(jù)異面直線定義可判斷A；由線面垂直的性質(zhì)即可判斷B；由異面直線的位置關(guān)系并得可判斷C；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，與在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線，所以A錯(cuò)；對(duì)于B項(xiàng)，由題意知，上底面是一個(gè)正三角形，故平面不可能，所以B錯(cuò)；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，由底面是正三角形，E是BC中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可知，結(jié)合棱柱性質(zhì)可知，則，所以C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)樗诘钠矫媾c平面相交，且與交線有公共點(diǎn)，故平面不正確，所以D項(xiàng)不正確.故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何中空間關(guān)系的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理的條件和結(jié)論熟練掌握，注意理清其關(guān)系，屬于中檔題13．A解析：A【分析】取的中點(diǎn)，連接和，由等腰三角形的性質(zhì)得出，可求出和的長(zhǎng)，再由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得到，利用勾股定理即可求出，最后利用等體積法得出，進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接和，則，，由于四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，則，，由題知，平面平面，且交線為，而平面，則平面，又平面，所以，在中，，是等邊三角形，則，則在中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，即：，解得：，即點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，還涉及面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式，考查推理證明和運(yùn)算能力.14．C解析：C【分析】求出兩個(gè)平行截面圓的半徑,由勾股定理求出球心到兩個(gè)截面的距離.分兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)和兩側(cè)討論，即得兩平行截面間的距離.【詳解】設(shè)兩平行截面圓的半徑分別為，則.球心到兩個(gè)截面的距離分別為.當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)時(shí)，兩平行截面間的距離為；當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)時(shí)，兩平行截面間的距離為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查球的截面間的距離，屬于基礎(chǔ)題.二、解答題15．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）易證得平面，由線面垂直性質(zhì)可得，利用線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；（2）利用勾股定理可求得長(zhǎng)，在中，利用面積橋可求得，進(jìn)而得到；由等腰三角形三線合一可知為中點(diǎn)，由此確定到平面的距離；利用體積橋和三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）垂直于圓所在平面，平面，，為圓的直徑，，又平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，，由平面，平面知：，，，解得：，，，，，為中點(diǎn)，由（1）知：平面，到平面的距離為，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何求解三棱錐體積的問(wèn)題常采用體積橋的方式，將所求三棱錐轉(zhuǎn)化為底面面積和高易求的三棱錐體積的求解問(wèn)題.16．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）在中，利用勾股定理易證，再由平面平面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明.（2）由（1）以A為原點(diǎn)，以AB，AC為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)和平面的一個(gè)法向量，再由求解.【詳解】（1）在中，由于，，，∴，,平面平面ABCD，平面,又因?yàn)槠矫鍿AC,所以平面平面SAC；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即∴.，設(shè)直線AD與平面SAC所成夾角為，則，∴直線AD與平面SAC所成夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由ABCD為矩形，易得G是AC的中點(diǎn)，又BF⊥平面ACE，BC＝BE，則F是EC的中點(diǎn)，從而FG∥AE，再利用線面平行的判定定理證明.（2）根據(jù)AD⊥平面ABE，易得AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE，得到AE⊥BF，進(jìn)而得到AE⊥平面BCE，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AC，BD的交點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接FG，∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而B(niǎo)C＝BE，∴F是EC的中點(diǎn)，∴FG∥AE.又AE平面BFD，F(xiàn)G平面BFD，∴AE∥平面BFD.（2）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE.∴三棱錐C-AEB的體積.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言的敘述；（3）利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；（4）利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）推導(dǎo)，，且，，從而，，進(jìn)而平面，由此能證明平面平面.【詳解】證明：（1）點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，，，且，，，，，，.，，，，，平面，平面，平面平面.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明線面平行、面面垂直的常見(jiàn)思路：（1）證明線面平行的思路：通過(guò)三角形中位線或者證明平行四邊形說(shuō)明線線平行或者證明面面平行；（2）證明面面垂直的思路：證明線面垂直結(jié)合面面垂直的判定定理完成證明.19．（1）答案見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，則，由平面平面，推出平面，同理可得，平面，故，即、、、四點(diǎn)共面；易知，而，于是有平面，故而得證；（2）由（1）知，平面，得，于是，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由，，即可得解．【詳解】（1）證明：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，為正三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面，同理可得，平面，，、、、四點(diǎn)共面．等腰梯形中，、分別為、的中點(diǎn)，，又，，、平面，平面，平面，．（2）解：由（1）知，平面，平面，，，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，1，，，，，，，，，2，，，2，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，故直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間中線與面的位置關(guān)系、線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)底面，，再由底面為正方形，利用線面垂直的判定定理證得即可.（Ⅱ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，求得向量的坐標(biāo)，和平面PBD的一個(gè)法向量，由求解.（Ⅲ）利用空間向量法，由求解.【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（Ⅱ）依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），不妨設(shè)，可得，由E為棱的中點(diǎn)，得.，向量，.設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量，則，即，令y=1，可得（1，1，1），所以.所以直線AE與平面PBD所成角的正弦值為.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，平面PBD的一個(gè)法向量（1，1，1），所以點(diǎn)A到平面PBD的距離.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理即可證明；（2）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；（3）延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于G′，連BG′，只要證明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE為所求的平面BDE與平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到．【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)G，連接.∵，，又，，，，∴四邊形為平行四邊形，故.∵平面平面，∴平面.（2）證明：∵平面，∴.又是正三角形，∴.∴平面.∴.又∵，∴.又，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴.又，∴平面.∴.（3）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，連接.由，知D為中點(diǎn)，∴.由平面，∴平面.∴為所求二面角的平面角.在等腰直角三角形中，易求.【點(diǎn)睛】熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理與線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的求法是解題的關(guān)鍵．22．（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）證明，由線面垂直證明，然后由線面垂直的判定定理可得線面垂直，然后有面面垂直；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可得兩個(gè)線面平行，從而得面面平行，于是可得平面，同時(shí)得出．【詳解】解：（1）在中，由可知，.因?yàn)?，所?翻折后垂直關(guān)系沒(méi)變，仍有，.又，所以平面，平面，則，又，可令，則，由余弦定理得.所以，即.又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）在上是存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，使得平面.證明如下：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，且，.又由平面，平面知，平面.再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則.又由平面，平面知，平面.又面，面，，所以平面平面.又平面，所以平面.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查證明面面垂直，線面平行，解題方法根據(jù)面面垂直的判定定理證明垂直，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行．要注意立體幾何中證明平行與垂直的方法很多，解題時(shí)注意線線、線面、面面平行（垂直）間的相互轉(zhuǎn)化．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出和，利用勾股定理的逆定理得出，則，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面；（2）連接交于點(diǎn)，由為正三角形，得出為重心，最后通過(guò)線面平行的判定，即可證明平面.【詳解】證明：（1）證明：，分別是?的中點(diǎn)，連結(jié)，∵，∴，∵，∴，在中，由已知可得，而，∴，∴，即，∵，平面，∴平面；（2）證明：連接交于點(diǎn)，∵正三角形，