2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001，002，…，649，650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A.623 B.328 C.072 D.4572.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)1至10，某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個(gè)班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個(gè)號(hào)碼，共抽3次，設(shè)五班第二次被抽到的可能性為，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，則（）A.30° B.150° C.60° D.120°4.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A若，，則B.若，則C.若，則D.若為異面直線，，，，則5.下列說(shuō)法正確的是（）A.互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B.若，則事件A與事件B是對(duì)立事件C.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為D.事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率不一定比A與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大6.一組數(shù)據(jù)：53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（）．A.58或64 B.58 C.59或64 D.597.如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐的體積分別為，則（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題.本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．則（）A.丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過(guò)五成 B.41歲以上參保人數(shù)超過(guò)總參保人數(shù)的五成C.18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D.人均參保費(fèi)用不超過(guò)5000元10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”過(guò)去10日，甲?乙?丙?丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：中位數(shù)為2，極差為5；乙地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；丙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0；丁地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3.則甲?乙?丙?丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有（）A甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地11.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體．如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（）A.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B.勒洛四面體被平面截得的截面面積是C.勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D.勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為3：4：7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中的A型號(hào)產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為_(kāi)_______．13.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積_____.14.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的方差是__________.四?解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.袋中有形狀、大小都相同的個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為.（1）從袋中一次隨機(jī)摸出個(gè)球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率;（2）從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說(shuō)明你的理由.16.（1）請(qǐng)利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的方差公式：來(lái)證明方差第二公式；（2）如果事件與相互獨(dú)立，那么與相互獨(dú)立嗎？請(qǐng)給予證明.17.如圖，四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面為矩形，且平面平面，，分別為，的中點(diǎn)，二面角的正切值為2.（1）求四棱錐的體積；（2）證明：（3）求直線與平面所成角的正弦值.18.某市根據(jù)居民的月用電量實(shí)行三檔階梯電價(jià)，為了深入了解該市第二檔居民用戶的用電情況，該市統(tǒng)計(jì)局用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該市所轄，，三個(gè)區(qū)域的第二檔居民用戶中按2：2：1的比例分配抽取了100戶后，統(tǒng)計(jì)其去年一年的月均用電量（單位：），進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），頻率分布直方圖如下圖所示.（1）求值；（2）若去年小明家的月均用電量為，小明估計(jì)自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中85%的用戶，請(qǐng)判斷小明的估計(jì)是否正確？（3）通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算抽樣的樣本數(shù)據(jù)，得到A區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為213，方差為24.2；B區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為223，方差為12.3；C區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為233，方差為38.5，試估計(jì)該市去年第二檔居民用戶月均用電量的方差.（需先推導(dǎo)總樣本方差計(jì)算公式，再利用數(shù)據(jù)計(jì)算）19.在世界杯小組賽階段，每個(gè)小組內(nèi)的四支球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽，共打6場(chǎng)，每場(chǎng)比賽中，勝、平、負(fù)分別積3，1，0分.每個(gè)小組積分的前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.若出現(xiàn)積分相同的情況，則需要通過(guò)凈勝球數(shù)等規(guī)則決出前兩名，每個(gè)小組前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.假定積分相同的球隊(duì)，通過(guò)凈勝球數(shù)等規(guī)則出線的概率相同（例如：若B，C，D三支積分相同的球隊(duì)同時(shí)爭(zhēng)奪第二名，則每個(gè)球隊(duì)奪得第二名的概率相同）.已知某小組內(nèi)的A，B，C，D四支球隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，且每支球隊(duì)在每場(chǎng)比賽中勝、平、負(fù)的概率都是，每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求A球隊(duì)在小組賽3場(chǎng)比賽中只積3分的概率；（2）已知在已結(jié)束的小組賽的3場(chǎng)比賽中，A球隊(duì)勝2場(chǎng)，負(fù)1場(chǎng)，求A球隊(duì)最終小組出線的概率.2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001，002，…，649，650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A.623 B.328 C.072 D.457【正確答案】A【分析】按照隨機(jī)數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到650內(nèi)的數(shù)，重復(fù)的只取一次即可【詳解】從第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，第一個(gè)數(shù)為253，第二個(gè)數(shù)是313，第三個(gè)數(shù)是457，下一個(gè)數(shù)是860，不符合要求，下一個(gè)數(shù)是736，不符合要求，下一個(gè)是253，重復(fù)，第四個(gè)是007，第五個(gè)是328，第六個(gè)數(shù)是623，，故A正確.故選：A.2.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)1至10，某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個(gè)班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個(gè)號(hào)碼，共抽3次，設(shè)五班第二次被抽到的可能性為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等即可求解.【詳解】因?yàn)榭傮w中共有10個(gè)個(gè)體，所以五班第一次沒(méi)被抽到，第二次被抽到的可能性為.故選.3.已知向量，，則（）A.30° B.150° C.60° D.120°【正確答案】B【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示求出向量夾角，進(jìn)而求解幾何角.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，所以，所?故選：B.4.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若為異面直線，，，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷B，當(dāng)時(shí)即可判斷C，根據(jù)異面直線的定義及線面平行的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】對(duì)于A：若，，根據(jù)線面平行的判定定理可知，故A正確；對(duì)于B：若，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，當(dāng)時(shí)，，則或或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以存在使得，又，，所以，又且為異面直線，所以平面內(nèi)的兩直線、必相交，所以，故D正確.故選：C5.下列說(shuō)法正確的是（）A.互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B.若，則事件A與事件B是對(duì)立事件C.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為D.事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率不一定比A與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大【正確答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和古典概型及其計(jì)算逐一判定即可．【詳解】對(duì)于A，由互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系可判斷，對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，由，并不能得出A與B是對(duì)立事件，舉例說(shuō)明：現(xiàn)從a，b，c，d四個(gè)小球中選取一個(gè)小球，已知選中每個(gè)小球的概率是相同的，設(shè)事件A表示選中a球或b球，則，事件B表示選中b球或c球，則，所以，但A，B不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，該試驗(yàn)的樣本空間可表示為：，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中能構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)有，共3個(gè)，故所求概率，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率，故D正確．故選：D.6.一組數(shù)據(jù)：53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（）．A.58或64 B.58 C.59或64 D.59【正確答案】A【分析】先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序，分，，三種情況，舍去不合要求的情況，列出方程，求出答案,【詳解】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：A7.如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐的體積分別為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，確定相應(yīng)三棱錐的高，求出的值，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷出答案.【詳解】連接BD交AC于O，連接，設(shè)，由于平面，則平面,則；平面平面，故，又四邊形為正方形，則，而平面，故平面，平面，故，又平面，平面，平面，故，，而，所以，即得，而平面，故平面，又，故，故，故ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D8.已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題，用判別式來(lái)解，算出，借助，得到，的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，最后用絕對(duì)值的三角不等式來(lái)解即可【詳解】根據(jù)題意，，，兩邊平方，整理得到，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，解得，則由于，如上圖，，則，則的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).故選：B．二?多項(xiàng)選擇題.本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．則（）A.丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過(guò)五成 B.41歲以上參保人數(shù)超過(guò)總參保人數(shù)的五成C.18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D.人均參保費(fèi)用不超過(guò)5000元【正確答案】ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種參保人數(shù)比例，故A正確由參保人數(shù)比例圖可知，41歲以上參保人數(shù)超過(guò)總參保人數(shù)的不到五成，B錯(cuò)誤由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為，周歲以上參保人數(shù)最少比例為，周歲以上人群人均參保費(fèi)用,所以18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少，故C正確．由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，人均參保費(fèi)用不超過(guò)5000元,故D正確故選：ACD．10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”過(guò)去10日，甲?乙?丙?丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：中位數(shù)為2，極差為5；乙地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；丙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0；丁地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3.則甲?乙?丙?丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地【正確答案】AD【分析】假設(shè)最多一天疑似病例超過(guò)7人，根據(jù)極差可判斷；根據(jù)平均數(shù)可算出10天疑似病例總?cè)藬?shù)，可判斷．【詳解】解：假設(shè)甲地最多一天疑似病例超過(guò)7人，甲地中位數(shù)為2，說(shuō)明有一天疑似病例小于2，極差會(huì)超過(guò)5，甲地每天疑似病例不會(huì)超過(guò)7，選A．根據(jù)乙、丙兩地疑似病例平均數(shù)可算出10天疑似病例總?cè)藬?shù)，可推斷最多一天疑似病例可能超過(guò)7人，由此不能斷定一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染，不選BC；假設(shè)丁地最多一天疑似病例超過(guò)7人，丁地總體平均數(shù)為2，說(shuō)明極差會(huì)超過(guò)3，丁地每天疑似病例不會(huì)超過(guò)7，選D．故選：AD．11.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體．如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（）A.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B.勒洛四面體被平面截得的截面面積是C.勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D.勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，作出正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長(zhǎng)度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長(zhǎng)度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD.結(jié)論點(diǎn)睛：勒洛四面體考試中經(jīng)?？疾椋旅媸且恍┧男再|(zhì)：①勒洛四面體上兩點(diǎn)間的最大距離比四面體的棱長(zhǎng)大，是對(duì)棱弧中點(diǎn)連線，最大長(zhǎng)度為，②表面6個(gè)弧長(zhǎng)之和不是6個(gè)圓心角為的扇形弧長(zhǎng)之和，其圓心角為，半徑為.三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為3：4：7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中的A型號(hào)產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為_(kāi)_______．【正確答案】70【分析】利用分層抽樣的定義得到方程，求出.【詳解】由題意得，解得.故7013.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積_____.【正確答案】【分析】根據(jù)BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可得到球的表面積.【詳解】因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，所以BA⊥AC，所以△BCD和△ABC都是直角三角形，由題意，四面體A﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，所以BC的中點(diǎn)就是球心，所以BC，球的半徑為：所以球的表面積為：3π.故答案為.本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和球的外接問(wèn)題，還考查空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的方差是__________.【正確答案】54【分析】計(jì)算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的方差.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，所以，則，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，將兩組數(shù)據(jù)合并后，得到新數(shù)據(jù)，則其平均數(shù)為，方差為.故答案為.四?解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.袋中有形狀、大小都相同的個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為.（1）從袋中一次隨機(jī)摸出個(gè)球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率;（2）從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說(shuō)明你的理由.【正確答案】（1）（2）是公平的，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用列舉法寫(xiě)出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解;（2）利用列舉法寫(xiě)出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式及概率進(jìn)行比較即可求解.【小問(wèn)1詳解】試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件B，則B包含的樣本點(diǎn)為，，，，共4個(gè)，所以【小問(wèn)2詳解】試驗(yàn)的樣本空間，共有16個(gè)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件C，事件C包含的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，共8個(gè),故所求概率為,即甲勝的概率為，則乙勝的概率為,所以甲、乙獲勝的概率是公平的.16.（1）請(qǐng)利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的方差公式：來(lái)證明方差第二公式；（2）如果事件與相互獨(dú)立，那么與相互獨(dú)立嗎？請(qǐng)給予證明.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）獨(dú)立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)方差公式恒等變形，分析可得結(jié)論；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，只需證明即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以，因?yàn)?，所以，所以事件與相互獨(dú)立.17.如圖，四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面為矩形，且平面平面，，分別為，的中點(diǎn)，二面角的正切值為2.（1）求四棱錐的體積；（2）證明：（3）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）先證明為二面角的平面角，可得底面為正方形，利用錐體的體積公式計(jì)算即可；（2）利用線面垂直的判定定理證明平面，即可證明；（3）由平面可得為直線與平面所成的角，計(jì)算其正弦值即可.【小問(wèn)1詳解】解：∵是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面∴平面又平面，∴∴為二面角的平面角，∴又，∴∴底面為正方形.∴四棱的體積.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，平面，平面，∴在正方形中，易知∴而，∴∴∵，∴平面∵平面，∴.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，連接，.∵平面.∴為直線與平面所成的角∵，∴，∴又，∴∴直線與平面所成角的正弦值為.18.某市根據(jù)居民的月用電量實(shí)行三檔階梯電價(jià)，為了深入了解該市第二檔居民用戶的用電情況，該市統(tǒng)計(jì)局用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該市所轄，，三個(gè)區(qū)域的第二檔居民用戶中按2：2：1的比例分配抽取了100戶后，統(tǒng)計(jì)其去年一年的月均用電量（單位：），進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），頻率分布直方圖如下圖所示.（1）求的值；（2）若去年小明家的月均用電量為，小明估計(jì)自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中85%的用戶，請(qǐng)判斷小明的估計(jì)是否正確？（3）通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算抽樣的樣本數(shù)據(jù)，得到A區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為213，方差為24.2；B區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為223，方差為12.3；C區(qū)樣本數(shù)據(jù)的均值為233，方差為38.5，試估計(jì)該市去年第二檔居民用戶月均用電量的方差.（需先推導(dǎo)總樣本方差計(jì)算公式，再利用數(shù)據(jù)計(jì)算）【正確答案】（1）（2）不正確（3）【分析】（1）利用頻率和為1列式即可得解；（2）求出85%分位數(shù)后判斷即可；（3）利用方差公式推導(dǎo)總樣本方差計(jì)算公式，從而得解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率和為1，可知，可得.【小問(wèn)2詳解】由題意，需要確定月均用電量的85%分位數(shù)，因?yàn)?，，所?5%分位數(shù)位于內(nèi)，從而85%分位數(shù)為.所以小明的估計(jì)不正確.【小問(wèn)3詳解】由題意，A區(qū)的樣本數(shù)為，樣本記為，，，，平均數(shù)記為；B區(qū)樣本數(shù)，樣本