專(zhuān)題12.15 兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差-平方差公式（基礎(chǔ)檢測(cè)）（解析版）

專(zhuān)題12.15兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差—平方差公式（基礎(chǔ)檢測(cè)）一、單選題1．計(jì)算：的結(jié)果，正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式；熟練掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．已知a﹣b＝3，a+b＝2，則a2﹣b2的值為（）A．6 B．?6 C．5 D．?5【答案】A【分析】利用平方差公式計(jì)算即可．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2?b2．【詳解】解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．3．若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知第一個(gè)等式利用平方差公式化簡(jiǎn)，將第二個(gè)等式代入計(jì)算即可求出a+b的值．【詳解】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b）=，a-b=，∴a+b=÷=，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．4．若，則（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵5．如圖，在邊長(zhǎng)為（m+4）的正方形紙片上剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的小正方形后，將剩余部分剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），若這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為4，則另一邊長(zhǎng)是（）A．m+2 B．m+4 C．2m+2 D．2m+4【答案】D【分析】根據(jù)面積之間的關(guān)系可求出答案．【詳解】，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，掌握各個(gè)部分的面積之間的關(guān)系是得出答案的關(guān)鍵．6．一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“創(chuàng)新數(shù)”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“創(chuàng)新數(shù)”，下列各數(shù)中，不是“創(chuàng)新數(shù)”的是（）A．31 B．41 C．16 D．54【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，分別將31、41和16寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)的平方差的形式，而54不能寫(xiě)成兩個(gè)正整數(shù)數(shù)的平方差的形式，則問(wèn)題得解．【詳解】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152，41＝（21+20）（21﹣20）＝212﹣202，16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32，54不能表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方差．∴31、41和16是“創(chuàng)新數(shù)”，而54不是“創(chuàng)新數(shù)”．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式在新定義類(lèi)計(jì)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，正確將所給的數(shù)字拆成平方差的形式是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．已知a+b＝2，a﹣b＝3．則a2﹣b2的值為_(kāi)__．【答案】6【分析】根據(jù)平方差公式即可求出答案．【詳解】解：當(dāng)a+b=2，a-b=3時(shí)，a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．故選：6．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．已知|x﹣1|+|y+2|＝0，則（2x+y）（2x﹣y）＝___．【答案】0【分析】運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性可知兩個(gè)絕對(duì)值下的數(shù)都為0，代入即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，x﹣1＝0，y+2＝0，解答：x＝1，y＝﹣2，∴（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2＝4﹣4＝0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的運(yùn)算，巧用非負(fù)性是解題關(guān)鍵．9．已知，，則______．【答案】3【分析】利用平方差公式的逆運(yùn)算即可計(jì)算求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3.【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的逆運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．10．已知，，則__．【答案】2【詳解】解：，又，，，故答案為：2．11．在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形中間挖出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形后，剩下的面積是__________．【答案】130cm2【分析】剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積．【詳解】解：設(shè)剩下部分的面積為S，則S=13.252-6.752=（13.25+6.75）×（13.25-6.75）=20×6.5=130cm2，故答案為：130cm2．【點(diǎn)睛】此題主要考查用平方差公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，比較容易．12．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么：（1+2i）（1﹣2i）＝___．【答案】5【分析】直接利用平方差公式將原式變形，再利用新定義把i2=-1代入得出答案．【詳解】解：（1+2i）（1-2i）=1-4i2=1-4×（-1）=1+4=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義運(yùn)算，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．13．下圖是從一個(gè)正方形中剪下一個(gè)小正方形后，拼成一個(gè)矩形的過(guò)程．根據(jù)下圖，寫(xiě)出一個(gè)正確的等式：__________．【答案】【分析】裁剪前，第二圖的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，裁剪拼湊后面積等于長(zhǎng)×寬，它們面積相等，據(jù)此可列出等式．【詳解】解：如下圖的面積在裁剪前＝，裁剪拼湊后＝，裁剪前后面積相等，故：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景．掌握等面積法是解題關(guān)鍵．14．若，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．利用乘法公式計(jì)算：【答案】【分析】首先把化成，然后利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用平方差公式：．16．先化簡(jiǎn)，再求值，其中【答案】x2-6x+4，11【分析】根據(jù)整式乘法公式計(jì)算即可．【詳解】原式==當(dāng)時(shí)，原式=【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法化簡(jiǎn)計(jì)算，熟記乘法公式，注意計(jì)算過(guò)程中符號(hào)變化是解題關(guān)鍵．17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】化簡(jiǎn)的結(jié)果：，代數(shù)式的值：【分析】先按照平方根公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算整式的乘法，再合并同類(lèi)項(xiàng)得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把，代入求值即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)，，上式【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握利用平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．18．已知3x2＋2x﹣5＝0，求代數(shù)式（2x＋1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）的值．【答案】3x2+2x-1，4【分析】根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將3x2+2x-5=0代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】解：（2x+1）（2x-1）-x（x-2）=4x2-1-x2+2x=3x2+2x-1，當(dāng)3x2+2x-5=0時(shí)，原式=（3x2+2x-5）+4=0+4=4．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡(jiǎn)求值的方法．19．如圖，四邊形與四邊形都是正方形，，．（1）觀察圖形，用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積，可以得到公式，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程；（2）如果正方形的邊長(zhǎng)比正方形的邊長(zhǎng)多16，它們的面積相差960，利用（1）中的公式，求，的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），【分析】（1）圖中陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積；或者把陰影部分分割為兩個(gè)矩形的面積進(jìn)行計(jì)算；（2）利用（1）中的平方差公式計(jì)算．【詳解】（1）如圖所示，，圖中陰影部分的面積或圖中陰影部分的面積所以，即：；（2）由題意得：①，，②由①、②方程組解得：，．故的長(zhǎng)為38，的長(zhǎng)為22．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．利用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積也是證明公式的一種常用方法，熟練掌握是關(guān)鍵．20．如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形．（1）在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫(xiě)成兩數(shù)平方差的形式）；（2）比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）請(qǐng)利用所得等式解決下面的問(wèn)題：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，則2m﹣n＝；②計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1的值，并直接寫(xiě)出該值的個(gè)位數(shù)字是多少．【答案】（1）（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）B；（3）①3；②264，其結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)兩個(gè)陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可得到答案.（3）①利用（2）中給的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個(gè)（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B；（3）①因?yàn)?m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因?yàn)?m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3，故答案為：3；②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（