六安一中2024年春學(xué)期高一年級期末考試+數(shù)學(xué)試卷

六安一中2024年春學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分：150分時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．某不透明的袋中有3個紅球，2個白球，它們除顏色不同，質(zhì)地和大小都完全相同.甲、乙兩同學(xué)先后從中各取一個球，先取的球不放回，則他們?nèi)〉讲煌伾虻母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．5．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，若樣本數(shù)據(jù)(a>0)的平均數(shù)為4，方差為，則平均數(shù)（

）A． B．1 C． D．26．已知，則到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．7．是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1：2，，，E是的中點，則異面直線BE與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．2021年11月10日，中國和美國在聯(lián)合國氣候變化格拉斯哥大會期間發(fā)布《中美關(guān)于在21世紀(jì)20年代強(qiáng)化氣候行動的格拉斯哥聯(lián)合宣言》（以下簡稱《宣言》）.承諾繼續(xù)共同努力，并與各方一道，加強(qiáng)《巴黎協(xié)定》的實施，雙方同意建立“21世紀(jì)20年代強(qiáng)化氣候行動工作組”，推動兩國氣候變化合作和多邊進(jìn)程．為響應(yīng)《宣言》要求，某地區(qū)統(tǒng)計了2020年該地區(qū)一次能源消費結(jié)構(gòu)比例，并規(guī)劃了2030年一次能源消費結(jié)構(gòu)比例，如圖所示．經(jīng)測算，預(yù)估該地區(qū)2030年一次能源消費量將增長為2020年的2.5倍，則預(yù)計該地區(qū)（）A．2030年煤的消費量相對2020年減少了B．2030年石油的消費量相對2020年不變C．2030年天然氣的消費量是2020年的5倍D．2030年水、核、風(fēng)能的消費量是2020年的7.5倍10．下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（

）A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，假設(shè)他們破譯密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是D．從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是11．如圖，已知正方體的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點P，使平面B．三棱錐的體積為定值C．若，則P點在正方形底面ABCD內(nèi)的運動軌跡長為D．若點P是AD的中點，點Q是的中點，過P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．袋子中有四個小球，分別寫有“中?華?民?族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為.13．在中，角所對的邊分別為若且的外接圓的半徑為則面積的最大值為．14．半正多面體亦稱阿基米德多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，它們的邊長都相等，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．現(xiàn)有一個體積為的二十四等邊體，其外接球體積為，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）在中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，滿足.（1）求角A；（2）若，邊上的中線，求的周長.16．（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，F(xiàn)為BC的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面AEF的夾角的余弦值．17．（本小題滿分15分）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種流行營銷形式.某直播平臺有1000個直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽樣的方式抽取80個直播商家進(jìn)行問詢交流.（1）應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的80個商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖②所示.（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的第75百分位數(shù)；（ii）若將平均日利潤超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質(zhì)商家”的個數(shù).18．（本小題滿分17分）小明同學(xué)與甲、乙二位同學(xué)進(jìn)行一場乒乓球比賽，每局兩人比賽，沒有平局，一局決出勝負(fù).已知每局比賽小明勝甲的概率為，小明勝乙的概率為，甲勝乙的概率為，比賽勝負(fù)間互不影響.規(guī)定先由其中2人進(jìn)行第一局比賽，后每局勝者再與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為這次比賽的獲勝者，比賽結(jié)束.因為小明是三人中水平最弱的，所以讓小明決定第一局的兩個比賽者（小明可以選定自己比賽，也可以選定甲?乙比賽）.（1）若小明選定第一局由甲、乙比賽，求“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的概率；（2）若小明參與第一局比賽，請幫助小明進(jìn)行決策，第一局與甲、乙中的哪一位進(jìn)行比賽，才能使小明最終成為獲勝者的概率最大？說明理由.19．（本小題滿分17分）如圖，四面體中，．（1）求證：平面平面；（2）若，①若直線與平面所成角為30°，求的值；②若平面為垂足，直線與平面的交點為．當(dāng)三棱錐體積最大時，求的值．六安一中2024年春學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號1234567891011答案DCCADDABCDABDBCD12．13．14．15．(1)(2)周長為【詳解】（1）解：在中，因為，由正弦定理得，又因為，則，因為，可得，所以，……2分即，化簡得因為，可得，解得，……4分所以……6分（2）解：由邊的中線，可得，……7分可得，即，即，……9分在中，由余弦定理，可得，……11分聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，……12分所以的周長為……13分16．(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：取的中點O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，……5分∵，平面，平面，∴平面……7分（2）因為，，兩兩垂直，故以為原點，,,分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)如下：，，，，，，，……9分設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，……11分設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，……13分有，，，可得，故平面與平面AEF的夾角的余弦值為．……15分17．（1）小吃類28家，生鮮類12家（2）（i）75百分位數(shù)為487.5元，（ii）個數(shù)為280【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家，………………2分生鮮類家，所以應(yīng)抽取小吃類28家，生鮮類12家.………………4分（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，………………6分設(shè)75百分位數(shù)為x，因為，所以，………………8分解得，所以該直播平臺商家平均日利潤的第75百分位數(shù)為487.5元.………………10分（ii），所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為280.………………15分18．(1)；(2)小明與乙比賽，理由見解析.【詳解】（1）第一局由甲、乙比賽，“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的事件A，第一局甲勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，第一局乙勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，事件與互斥，,，……3分，……6分則有，所以“只進(jìn)行三局，小明就成為獲勝者”的概率是.……8分（2）第一局小明與甲比賽，小明最終成為獲勝者的事件，是以下3個互斥事件的和：小明勝甲，小明勝乙的事件；小明勝甲，乙勝小明，甲勝乙，小明勝甲的事件；甲勝小明，乙勝甲，小明勝乙，小明勝甲的事件，，……12分第一局小明與乙比賽，小明最終成為獲勝者的事件，是以下3個互斥事件的和：小明勝乙，小明勝甲的事件；小明勝乙，甲勝小明，乙勝甲，小明勝乙的事件；乙勝小明，甲勝乙，小明勝甲，小明勝乙的事件，，……16分因為所以第一局小明與乙比賽，小明最終成為獲勝者的概率最大.……17分19．(1)見解析(2)①；②【詳解】（1）取的中點，連接，因為，則，所以，所以，所以，又因為所以，則，又因為，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；…………4分（2）①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，因為，所以由可得：，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，……6分因為直線與平面所成角為30°，所以……8分則，化簡可得：，解得：或（舍去）.……10分②由（1）知，平面，又平面所以，在上，因為，所以，，所以，即，所以，……11分所以，三棱錐體積為：，……12分因為，當(dāng)時，三棱錐體積最大為，……13分此時分別為，的中點，所以，設(shè)，設(shè)，因為，所以，所以，因為在平面上，所以設(shè)，所以，所以，解得：，所以，所以.……17分六安一中2024年春學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1．D【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以，所以.故選：D2．C【詳解】因為，所以，所以.故選：C3．C【詳解】向量是不共面的三個向量，對于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對于C，假定向量共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C4．A【詳解】設(shè)這幾個球中，紅球分別為、、，白球分別為、，則甲、乙兩同學(xué)先后取出的兩球可能的情況有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共二十種，其中取到不同顏色球的情況有：、、、、、、、、、、、共十二種，故其概率為.故選：A.5．D【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則樣本數(shù)據(jù)的方差為，所以，又因為，所以．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，解得.故選：D．6．D7．A【詳解】解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點G，于點H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，故選A8．B【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，在下底面作，以為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因為扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑之比為1：2，，所以，得，則即，即，，，，，，，.所以，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.9．CD【詳解】設(shè)年該地區(qū)一次能源消費總量為，則預(yù)估年一次能源消費總量為.對于選項A，2020年煤的消費量為，規(guī)劃2030年煤的消費量為，故選項A錯誤；對于選項B，2020年石油的消費量為，規(guī)劃2030年石油的消費量為，故選項B錯誤；對于選項C，2020年天然氣的消費量為，規(guī)劃2030年天然氣的消費量為，故選項C正確；對于選項D，2020年水、核、風(fēng)能的消費量為，規(guī)劃2030年水、核、風(fēng)能的消費量為，故選項D正確．故選：CD.10．ABD【詳解】對A：該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈，第3個路口是紅燈，所以概率為，故A正確；對B：用、、分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則，，，“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為，所以此密碼被破譯的概率為，故B正確；對C：由題意可得，即，即，即，又，故，∴，故C錯誤；對D：從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，有，共6個結(jié)果，其中取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的包含和兩個樣本點，則概率，故D正確；故選：ABD.11．BCD【詳解】對于B，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，B正確；對于A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，若平面，則，所以，即表示線段，則當(dāng)點在線段時，平面，所以存在點，使得平面，A錯誤；對于C，，若，，即，所以點的軌跡就是線段，軌跡長為，C正確；對于D，如圖取中點，連接，由題可得，平面，連接，因為，平面，則，，又，平面，則平面，又取中點為，則，有四點共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點，故是中點，是中點，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長為，則，故截面面積為，D正確.故選：BCD12．【詳解】由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機(jī)數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故答案為：13．【詳解】在中，由正弦定理得由余弦定理得因為為的內(nèi)角，則，所以因為的外接圓的半徑為由正弦定理得所以由余弦定理得即因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的面積所以面積的最大值為故答案為：14．【詳解】設(shè)該半多面體是由棱長為的正方體沿正方體各棱的中點截去個三棱錐所得，內(nèi)側(cè)即為二十四等邊體，其體積；由二十四等邊體的對稱性可知，如圖所示，其外接球的球心即為正方體中心，半徑為中心到一個頂點的距離，則，故，從而.故答案為：.15．(1)(2)周長為【詳解】（1）解：在中，因為，由正弦定理得，又因為，則，因為，可得，所以，即，化簡得因為，可得，解得，所以............................................6（2）解：由邊的中線，可得，可得，即，即，在中，由余弦定理，可得，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，所以的周長為...........................................1316．(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：取的中點O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，平面，平面，∴平面.（2）因為，，兩兩垂直，故以為原點，,,分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)如下：，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，有，，，可得，故平面與平面AEF的夾角的余弦值為．17．(1)小吃類28家，生鮮類12家(2)（i）75百分位數(shù)為487.5元，（ii）個數(shù)為280【