經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第4講1.4極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第4講顧靜相1.4極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則教學(xué)要求

掌握極限的四則運(yùn)算法則．極限的性質(zhì)

性質(zhì)1.5（唯一性）若極限limf(x)存在，則極限值唯一．

性質(zhì)1.6（有界性）若極限

存在，則函數(shù)

f(x)在

x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界．極限的性質(zhì)

性質(zhì)1.7（保號(hào)性）若

，且

A>0(或

A<0)，則在

x0

的某空心領(lǐng)域內(nèi)恒有

f(x)>0(或

f(x)<0)．若

，且在

x0的某空心鄰域內(nèi)恒有

f(x)≥0(或

f(x)≤0)，則

A≥0(或A≤0)．求極限的四則運(yùn)算法則定理1.3若，

，則(1);(2);(3)當(dāng)

時(shí)，

．

求極限的四則運(yùn)算法則定理1.3若，

，則(1);(2);(3)當(dāng)

時(shí)，

．

四則運(yùn)算法則可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘法的情況．

四則運(yùn)算法則的推論

推論設(shè)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，那么(1)；(2)

．

四則運(yùn)算法則的推論

推論設(shè)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，那么(1)；(2)

．

注意：(1)法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在．(2)商的極限的運(yùn)算法則有個(gè)重要前提，即分母的極限不能為零．

四則運(yùn)算求極限的方法例1求．

四則運(yùn)算求極限的方法例1求．

解因?yàn)榉帜冈?/p>

x=0

處，

，所以用公式（3.1）得：

．

四則運(yùn)算求極限的方法例2求．

四則運(yùn)算求極限的方法例2求．

解先求分母的極限：，此時(shí)由于分母極限為零，不能直接使用運(yùn)算法則．在分母為零的情況下,求極限的方法將取決于分子極限的狀況．本題中容易求得分子極限不等于零．這時(shí)我們先來(lái)考慮原來(lái)函數(shù)倒數(shù)的極限．

四則運(yùn)算求極限的方法即是

x→1時(shí)的無(wú)窮?。蔁o(wú)窮小量與無(wú)窮大量的倒數(shù)關(guān)系，得到

．

，

四則運(yùn)算求極限的方法結(jié)論：如果記

，其中

為常數(shù)．那么

．即n次多項(xiàng)式

當(dāng)

x

x0

時(shí)的極限就是

在

x0處的函數(shù)值

．

四則運(yùn)算求極限的方法

又記

，其中

為常數(shù)．那么當(dāng)

時(shí)，有理分式的極限為：

（4.1）四則運(yùn)算求極限的方法

又記

，其中

為常數(shù)．那么當(dāng)

時(shí)，有理分式的極限為：

（4.1）當(dāng)x

時(shí)，有理分式函數(shù)()的極限為：

（4.2）

利用無(wú)窮小性質(zhì)求極限的方法例3求．

利用無(wú)窮小性質(zhì)求極限的方法例3求．

解因?yàn)?/p>

，

所以不能直接利用商的極限運(yùn)算法則．但是

，故

．

利用無(wú)窮小性質(zhì)求極限的方法解因?yàn)?/p>

，

所以不能直接利用商的極限運(yùn)算法則．但是

，故

．

即當(dāng)

x2

時(shí)，

是無(wú)窮?。蔁o(wú)窮小量與無(wú)窮大量的倒數(shù)關(guān)系，得

．

利用無(wú)窮小性質(zhì)求極限的方法例4求．

利用無(wú)窮小性質(zhì)求極限的方法例4求．

解因?yàn)榧串?dāng)

x

時(shí)，

是無(wú)窮?。?/p>