江西省2025屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前2025屆新高三秋季入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的虛部為（）A.B.C.D.2.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.48B.42C.24D.213.已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.4.5B.5C.5.5D.64.定義運算：.已知，則（）A.B.C.D.5.已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若成績在80分以下的有1500人，則可以估計（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A.B.C.D.7.已知圓臺的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺外接球的球心到上底面的距離為（）A.B.C.D.8.已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，過點的直線與交于兩點，過點作的切線與軸分別交于兩點，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.與有相同的最小值C.直線為圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖像10.已知函數(shù)，則（）A.1是的極小值點B.的圖象關(guān)于點對稱C.有3個零點D.當(dāng)時，11.已知正方體的體積為8，線段的中點分別為，動點在下底面內(nèi)（含邊界），動點在直線上，且，則（）A.三棱錐的體積為定值B.動點的軌跡長度為C.不存在點，使得平面D.四面體DEFG體積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則__________.13.定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，，且，那么稱子集族構(gòu)成集合的一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數(shù)為__________.14.已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左?右焦點分別為，點在以為圓心?為半徑的圓上，且直線與圓相切，若直線與的一條漸近線交于點，且，則的離心率為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知中，角所對的邊分別為，其中.（1）求的值；（2）若的面積為，周長為6，求的外接圓面積.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別在棱上，且四點共面.（1）證明：；（2）若，且二面角為直二面角，求平面與平面夾角的余弦值.17.（15分）已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在上.（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，點在直線上，若直線與相切，且，求的值.18.（17分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）記（1）中切線方程為，比較的大小關(guān)系，并說明理由；（3）若時，，求的取值范圍.19.（17分）已知首項為1的數(shù)列滿足.（1）若，在所有中隨機(jī)抽取2個數(shù)列，記滿足的數(shù)列的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若數(shù)列滿足：若存在，則存在且，使得.（i）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項和；（ii）在所有滿足條件的數(shù)列中，求使得成立的的最小值.2025屆新高三秋季入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則1.【答案】A【解析】，則所求虛部為-7.故選A.2.【答案】B【解析】.故選B.3.【答案】C【解析】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選C.4.【答案】D【解析】依題意，，則，故.故選D.5.【答案】B【解析】解法一：依題意，.故選B.解法二：數(shù)學(xué)成績在80分至95分的有人，由對稱性，數(shù)學(xué)成績在95分至110分的也有2500人，故.故選B.6.【答案】D【解析】易知在上單調(diào)遞減，則只需解得.故選D.7.【答案】C【解析】依題意，記圓臺的上?下底面半徑分別為，則，則，設(shè)圓臺的母線長為，則，解得，則圓臺的高，記外接球球心到上底面的距離為，則，解得.故選C.8.【答案】C【解析】依題意，拋物線，即，則，設(shè)，直線，聯(lián)立得，則.而直線，即，令，則，即，令，則，故，則，故.故選C.9.【答案】ABD（每選對1個得2分）【解析】的最小正周期，故A正確與的最小值均為-3，故B正確；因為，故C錯誤，故D正確.故選ABD.10.【答案】AB（每選對1個得3分）【解析】，令，解得或，故當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，故1是的極小值點，故A正確：因為，故B正確；，易知的單調(diào)性一致，而，故有2個零點，故C錯誤；當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞增，故，故D錯誤.故選AB.11.【答案】ACD（每選對1個得2分【解析】依題意，，而平面平面，故平面，則點到平面的距離為定值，故三棱維的體積為定值，故正確；因為，故，則，而，故，故動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在底面內(nèi)的部分，即四分之一圓弧，故所求軌跡長度為，故B借誤；以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，1），設(shè)為平面的法向量，則故令，故為平面的一個法向量，設(shè)，故，則，解得，但，故C正確；因為為等腰三角形，故，而點到平的距離，令，則，則，其中，則四面體體積的最大值為，故D正確.故選ACD.12.【答案】【解析】依題意，，故，解得.13.【答案】14【解析】依題意，的2劃分為，共3個，的3劃分為，共1個，故集合的所有劃分的個數(shù)為4.14.【答案】【解析】不妨設(shè)點在第一象限，連接，則，故，，設(shè)，因為，所以為的中點，，故.，將中，故，則.15.解：（1）由正弦定理得，因為，故，則，因為，故.（2）由題意，故.由余弦定理得，解得.故的外接圓半徑，故所求外接圓面積.16.（1）證明：因為，故，則，因為平面平面，故平面，而平面平面平面，故，則.（2）解：因為二面角為直二面角，故平面平面.而平面平面平面，故平面，又底面為正方形，所以，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則令，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，故平面與平面夾角的余弦值.17.解：（1）設(shè)，依題意，解得故的方程為.（2）依題意，，聯(lián)立得，故，整理得.因為，所以直線的方程為，聯(lián)立解得即故故.18.解：（1）依題意，，而，故故所求切線方程為，即.（2）由（1）知，結(jié)論；，下面繪出證明：令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，即.（3）依題意，，則在上恒成立，令，則，令，得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，令，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，則，而，不合題意，舍去.綜上所述，的取值范圍為.19.（1）解：依題意，，故，即，故，或因為，故；則，故的可能取值為，故，故的分布列為012故.（2）（i）證明：由（1）可知，當(dāng)時，或；假設(shè)此時數(shù)列中