初三數(shù)學(xué)講學(xué)稿

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程的概念

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.什么叫整式方程？怎樣的方程叫一元一次方程？試舉例說(shuō)明。

2.設(shè)未知數(shù)，并列出方程：

(1)一個(gè)正方形的面積的2倍等于31,求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。

(2)一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)小3,且兩數(shù)之積為0,求這個(gè)數(shù)。

(3)一個(gè)數(shù)的平方的一g倍與一2的和等于2,求這個(gè)數(shù)。

(4)一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多5cm,面積為150cm2,求這個(gè)矩形的寬。

二、課堂練習(xí)

1.在學(xué)前準(zhǔn)備2中，所得出的四個(gè)方程有哪些共同點(diǎn)？

歸納總結(jié)：叫做一元二次方程，

形如叫做一元二次方程的一般形式，其中—是二次項(xiàng),__是

二次項(xiàng)系數(shù)；一是一次項(xiàng)，一是一次項(xiàng)系數(shù)：一是常數(shù)項(xiàng)。

2.下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)3x+2=5x-3(2)X2=4

(3)(x-1)(x-2)=x2+8(4)(x+3)(3x-4)=(x+2)2

3.為什么在一元二次方程的一般形式aX?+bX+c=0中，二次項(xiàng)系數(shù)不為0呢？

4.把方程(x+3)(3x—4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。

5.當(dāng)a、b、c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程(a-l)x2+bx+c=0是一元二次方程？這時(shí)方程的二次

項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么？當(dāng)a、b、c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程(a-l)x2+bx+c=0是?

元一次方程？

三、課后作業(yè)

1.下列方程是一元二次方程的是()

、71

A.—y+--1=0B.(x+2)(x—3)=3r+—

XX

C.(x+1)(x"-x+l)=x3-x2D.(2x-l)-l=0

2.把下列各題化成一元二次方程的?般形式，再寫(xiě)出它的二次項(xiàng)、-次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)。

⑴(3+y)(3—y)=(y—2)2(2)(x+a)2+2(x+a)(2x+c)=b2

3.對(duì)于方程xJmx(2x-mT)=0,當(dāng)m為何值時(shí)，是一元二次方程？

22.2.1直接開(kāi)平方法(1)

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.怎樣的方程叫一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？

2.什么叫平方根？平方根的性質(zhì)是什么？

3.完全平方公式是。

二、課堂練習(xí)

1.用直接開(kāi)平方的方法解下列方程：

(1)x2=5(2)2x2=8(3)x2-12=0

2.用直接開(kāi)平方的方法解卜列方程:

(1)(3X-1)2=6(2)4(2x-l)2-9=0(3)4x2-4x+1=9

3.思考：下列一元二次方程有實(shí)數(shù)根嗎？

(1)X2+6=0(2)(2x+l)2+5=0

4.應(yīng)用拓展：(2x-1)2=(3-x)2

三、課后作業(yè)

1.下列一元二次方程可以用直接開(kāi)平方法解的是()

A.x2—1=0B.x2—2x+4=0

C.(x—=2xD.(x_2)2=x—2

2.用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程：

(1)2x2-]o=6(2)9x2-16=0

(3)(y—59—36=0⑷(x—6)(x+6))=6

(5)(x-l)(x+l)=1(6)2(x-3尸—72=0

12

(7)-(x-1)2-5=0(8)(x-1)2=(2X+3)2

2

22.2.1配方法(2)

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.⑴3x2-1=5(2)4(x+1)2-9=03)4x2+16x+16=9

2.(Da2-+4=(a——)2(2)/72-12&+=3—一)2

(3)a2+2ab+=(a+)2(4)a2-2ab+=(a-)2

3.用一根10m長(zhǎng)的鐵絲，怎樣用它圍成一個(gè)面積為8m②的長(zhǎng)方形？(設(shè)出未知數(shù)，列出方程)

二、課堂練習(xí)

1.⑴X2-8X+1=0(2)2X2+1=-3X(3)3x2-6x+4=0

2.(1)X2+10X+9=0(2)x2-x-1=0(3)3x2+6x-4=0

3.應(yīng)用拓展：當(dāng)x=l,x2-6x+ll=.當(dāng)x=-2,X2-6X+11=

試說(shuō)明不論X取何值，X2-6X+11的值總是一個(gè)正數(shù)。

三、課后作業(yè)

1.將二次三項(xiàng)式爐+6》+7進(jìn)行配方，正確的結(jié)果應(yīng)為()

(A)(x+3)~+2(B)(x—3)2+2(C)(x+3)2—2(D)(x—3)~—2

2.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是()

A、X2-2X-99=0化為(X-1)2=100B、x?+8x+9=0化為(x+49=25

C、2x2-7x+4=0化為2-看)2=晶D、3x2-4x-2=0化為(x-q)2=與

3.把一元二次方程31-2x—3=0化成3(x+m)2=n的形式是

4.用配方法解下列方程：

(1)X2-6X-16=0(2)X2+4X-9=2X-I1

(3)x(x+4)=8x+12(4)2x2-3x-2=0

(5)2X2-10X+52=0(6)(2008濟(jì)寧)2x2+1=3x

5.已知方程x?—6x+q=0可以配方成(x—=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列

的()

(A)(x-p)2=5(B)(x-p)2=9(C)(x-p+2)2=9(D)(x-p+2)25

6.(中考題)求證：不論a取何值，a^a+1的值總是一個(gè)正數(shù)。

22.2.2公式法

一、學(xué)前準(zhǔn)備

用配方法解一般形式的一元二次方程，

ax2+/>x+c=0(a^0)

因?yàn)閍W0,方程兩邊都除以a,得

x2+_x+___=0

移項(xiàng)，得A-A.5

配方，得￥+22+（尸=（）2--

2aa

2

2b-4ac

即

,?"0,???4a2>0,當(dāng)從一4〃c40時(shí),直接開(kāi)平方，得

yjb2-4ac

x+____=±----------

h+^lb2-4ac

2a2a

由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程af+反+c=o的求根公式：

「----------------------------------------1

21

利用這個(gè)公式，我x_-b±^b-4ac(》2_4碇20)直接求得方程的解，這種解方程的

|_____汽_____二_I

方法叫做公式法.

二、課堂練習(xí)

2

⑴6X2-13X-5=0(2)X(X+8)=16(3)V2x-4x=472

(4)X2=2(X+1)(5)2X2-3X-2=0(6)(x+3)(2x-9)+6=0

2

(7)x+3=2A/3X(8)3x(x-3)=2(x-1)(x+l).

三、課后練習(xí)

1.用公式法解下列方程

(1)3X2+5X-2=0；(2)?+2x=5；(3)4x2—3x—1=x-2；

(4)x~+2x—2=0；(5)3f+4x—7=0(6)2y2+8y-l=0；

2.用你學(xué)過(guò)的你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(y-2)2=3；(2)x2+10x=-9

(3)尤2-3x—2=o：(4)(x-l)(x+2)=5.

22.2.3因式分解法

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

問(wèn)題：有沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法解這類(lèi)方程嗎？

2.解一元二次方程的一般方法有,,。

3.利用因式分解法解一元二次方程時(shí)，必須使方程一邊是,另一邊必須是o

4.解方程的指導(dǎo)思想是：

(1)⑵,使高次的轉(zhuǎn)化為多元的轉(zhuǎn)化為

二、課堂練習(xí)

I(x+2)(x-5)=02(2x-5)(x+3)=03x(3x-1)=0

46x(x+5)=02

5.x-6x+5=06.—2x—8=0

2x+4

廠(chǎng)=-----

7.x2=5x4-148.39.?-5x-6=0

))(

1O.X2+3X-18=0I](x-l)(x+2=(x-22x+1)

三、課后作業(yè)

1.x2-9x=02.x~+8x4-16=03.x2+7x-30=0

2

4.3x2=2x5.x+4x-5=06,4(x+2)=25

1.x-9x+14=08.4x2+5x=09.iar-fe2=4

10.應(yīng)用拓展：(x+1)(2X-3)=4X2-9

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題(1)

一、用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程：

1.2X2-16=02.9X2-3=53.16(x-l)2=9

222

4.2(x-3)-72=05.9A:+6X+1=56.4(3x+l)-9二0

二、用配方法解下列一元二次方程：

7

1.—4x+6=02.x2+1=7x3.x9—x-----0

4

4.2x2+x=—65.4x"—x—9=06.3x2—6x—4=0

三、用公式法解下列一元二次方程：

1.2x2—10x=32.(x+2)(x—5)=83.2x2+1=2y[2x

4.y(y—2)=35.x(2x-4)=5-8x6.3x2-1=4x

四、用因式分解法解下列一元二次方程:

1.2x2=3x2.3x(x—l)=2(x—1)3.(2X-1)2-X2=0

2

4.(2x—5產(chǎn)=3(5—2x)5.x+4JC—5=06.(x—3產(chǎn)=(2X+1)2

五、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

1.9/—25=02.25(2%-1>—16=03.(2X+3)2-2X-3=0

4.2x(x-3)=-6x+55.3x(2x+l)=4x+26.2x~—3x+1—0

7.y2-3y-10=08.(x—3)(x+7)=—99.(2y+I)2-8(2y+I)2+15=0

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題（2）

一、用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程:

1.（尤-3）2=8

2.-25=0

3(31)2=6

4.4(X-3)2-9=0

二、用配方法解下列一元二次方程:

Lx2+x-24=02.2x2+6=7x

22

3.3x—4x-2=04y-4V3y+12=0

三、用公式法解下列一元二次方程:

1.X?+2x-2=02.2X?+2X=1

3.4x2+4x-l=-10-8x4.(x—2)(3x-5)=1

四、用因式分解法解下列一元二次方程:

1.——3x=02.x2—7x+6—0oA?25(2x-l)2—16=0

4%?—2x+1—3(x1—1)=0-y2-5y—24=065x(x-1)=3(1—x)

五、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

14(3x-2)2=362(2X+1)2-4=03x2—4x+4=7

2

4(X-3)+2X(X-3)=05.2/—12X+9=06.3x+15=—2%2—1Ox

7.4(x+3)2-25(x-2>=0&2^2+3^-l=09.—4x—3=0

,。-7)2—12=0112234x2-5=4x

10(X+4)-4(X+4)+3=0

22.2一元二次方程解法訓(xùn)練題(3)

一、選擇題

1.一元二次方程x2-2x-3=0的根為()

A.Xj=l,x2=3B.%]=-1,兀2=3C.%]=-l,x2=-3D.=l,x2=-3

2.方程x(x+3)=x+3的解是()

A.x=lB.X|=0,X2=-3C.X|=l,X2=3D.X|=l,X2=—3

3.用配方法解一元二次方程/-4x=5的過(guò)程中，配方正確的是()

A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.(*-2尸=9

4.一元二次方程-2x=0的解是()

255

A.尢|=0,X2=—B.Xj=0,X2=—C.%i=0,X2=-D.X|=09X2=—

522

二、填空題

1.若x=l時(shí)一元二次方程ax2+bx—2=0的根，則a+b=。

2.已知一元二次方程有一個(gè)根為1,那么這個(gè)方程可以是(只需寫(xiě)出一個(gè)方程)

3.方程x2=4x的解是.

4.已知方程3x2-9x+〃?=0的一個(gè)根是1,則m的值是.

5.一元二次方程x2-2x-l=0的根是.

6.一元二次方程(l+3x)(x—3)=2/+1化為一般形式為：,二次項(xiàng)系數(shù)

為：，一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：o

7.在關(guān)于x的方程(m-5)x~+(m+3)x-3=0中：當(dāng)m=_____時(shí)，它是一元二次方程；當(dāng)m=_____時(shí)，它

是一元一次方程。

8.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)有一個(gè)根為1,則a+b+c-；若有一個(gè)根為T(mén),則b與

a、c之間的關(guān)系為；若有一個(gè)根為零,則c=.

9.用配方法解方程一一4%=5時(shí)方程的兩邊同加上________，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式.

10.方程(xT)、4的解是。

三、用給定的方法或合適的方法解下列各方程

(1)3X2-7X=O(2)2x(x+3)=6(x+3)(3)(2X-1)2=9(直接開(kāi)方法)

(4)8y2-2=4y(配方法)(5)12/—25=0(6)2x=0

(7)(r-2)(r+1)=0(8)x(x+1)—5R=0.(9)3?-4x=2r；

2

(10)x+(V3+l)x=0(11)x(x-6)=2(x-8)(12)(x+1)(x—1)=；

(13)x(x+8)=16(14)(x+2)(x-5)=1(15)(2x+l)2=2(2x+l).

五、閱讀材料：為解方程lx?-1)2—5&2—1)+4=0,我們可以將x2—l視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2—l

=y,則(x?—A=y2,原方程化為y2—5y+4=0.①

解得y1=l,y2=4

當(dāng)y=l時(shí)，X2—1=1./.X2=2.；.X=±M；

當(dāng)y=4時(shí),x2—1=4,.*.X2=5,

,原方程的解為xi=/,X2=一鏡，x：1=V5,x，i=一4

解答問(wèn)題：

⑴填空：在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了—

的數(shù)學(xué)思想.

(2)用上面的方法解此方程：X4-X2-6=0.

六、用配方法證明-4x+5的值不小于1。

22.2.4根與系數(shù)的關(guān)系(1)

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

解下列方程，并填寫(xiě)表格:

方程

Xi

Xi+X2Xt'X2

x-2x=0

{+3工一4二0

x2~-5x+6=0

觀(guān)察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？

(1)關(guān)于X的方程v+px+q=O(p,q為常數(shù)，p--4q20)的兩根無(wú)，法與系數(shù)P，q

之間有什么關(guān)系？

(2)好X的方程a%2+bx+c=O(awO)的兩根為，與系數(shù)a，b,C之間又有何關(guān)系呢？

你能證明你的猜想嗎？

二、課堂練習(xí)

1.不解方程，寫(xiě)出下列方程的兩根和與兩根積：

221o

⑴H=0(2)2—=0(3)/-2x=0

(4)V2x+V6x=V3(5)d-1=0(6)x：2x+l=0

2.不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？

⑴x-2拒x+l=0(七=后+1,兀=亞-1)

2

ss,7+J735-J73、

(2)2x-3o%―o8=n0(1尸―-—,3——)

44

3.已知一元二次方程的兩個(gè)根是-1和2,請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)符合條件的方程.(你有幾種方法？)

4.己知方程2x?+左1.9=0的一個(gè)根是一3,求另一根及k的值.

2

變式一：已知方程1--2后一9二0的兩根互為相反數(shù)，求k；

變式二：已知方程212_51+左=0的兩根互為倒數(shù)，求卜；

三、課后作業(yè)

i.不解方程，寫(xiě)出下列方程的兩根和與兩根積

(1)x2-3x+l=0(2)3X2-2X=2(3)2x2+3x=0(4)3x2=l(5)x2+px+q=0

2.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及b的值；

2

3.已知方程x—3/+"1=0的一個(gè)根是1,求另一根及m的值.

4.設(shè)xi、&是方程2x2-6x+3=0兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值:

22

(1)XjX2+XjX2(2)(xi-x2)(3)(xj-2)(x2-2)

22.2.4一元二次方程根的判別式(2)

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.求根公式為：,

2.解下列方程：

(1)X2+X-6=0(2)9X2+6X+1=0(3)2x?+x=-6

二、課堂練習(xí)

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為。

(1)當(dāng)__________________________________，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

(2)當(dāng)__________________________________，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

(3)當(dāng)__________________________________,實(shí)數(shù)根。

2.不解方程判斷下列方程解的情況

(1)X2+4X+9=0(2)x2-x-1=O(3)3x2+6x-4=0

3.若關(guān)于x的一元二次方程xZ-2x+〃?=0(1)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(2)有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4.證明關(guān)于x的一元二次方程x，（2k+l）x+k-l=O無(wú)論k為任何值，方程一定有兩個(gè)不同的根。

三、課后作業(yè)

1.關(guān)于x的一元二次方程21+6-3=°的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.不能確定

2.若關(guān)于x的一元二次方程H2+H+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則上的值為（）

A.0B.0或4C.4D.任意實(shí)數(shù)

3.下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2+l=0B.x2+x-l=0C.X2+2X-3=0D.4X2-4X+1=0

4.若關(guān)于x的一元二次方程x??-〃zx+4=0有兩個(gè)相同的根，則實(shí)數(shù)m的取值是（）

A.m=lB.m=4C.m=2D.m=-4或4

5.已知關(guān)于x的方程;x2-（m-3）x+機(jī)2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么用的最大整數(shù)值是

（）

A.2B.1C.0D.-1

6.關(guān)于x的一元二次方程a/+4x+c=0,若。、c,異號(hào)，則該方程根的情況是（）

A.有兩個(gè)不等實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根C.沒(méi)有實(shí)根D.無(wú)法確定

【拓展創(chuàng)新】

7.（中考題）如果關(guān)于x的方程x?+4x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求a的值。

8.求證：無(wú)論m取何值，方程9x2-（〃?+7口+“一3=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)根：

9.當(dāng)切取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程/+2（2/n+l）x+（2m+2）20；

（1）有兩個(gè)相等實(shí)根；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（3）沒(méi)有實(shí)根;

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是168,求這兩個(gè)偶數(shù)？

2.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是14c〃？，面積是24cm2,求兩條直角邊的長(zhǎng)？

二、課堂練習(xí)

1.2006年我國(guó)部分養(yǎng)雞場(chǎng)突發(fā)禽流感疫情，某養(yǎng)雞場(chǎng)一只帶病毒的小雞經(jīng)過(guò)兩天的傳染后使雞場(chǎng)

共有169只小雞遭感染患病，在每一天的傳染中平均一只小雞傳染了兒只小雞？

2.某廠(chǎng)去年3月份的產(chǎn)值為50萬(wàn)元，5月份上升到72萬(wàn)元，求這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是

多少？（J1不=1.2,3）

3.學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是長(zhǎng)18米、寬12米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開(kāi)辟一橫兩

縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為196平方米，求小道

的寬.

4.蓮花商場(chǎng)將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售，能賣(mài)500個(gè)，已知該商品要漲價(jià)1元，其銷(xiāo)

售量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

三、課后作業(yè)

1.參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽（雙循環(huán)制），共要比賽90場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)

參加比賽？

2.小明將1000元錢(qián)存入銀行，定期一年后取出500元購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品，剩下的500元和應(yīng)得的利息又

全部按一年定期投入，若存款的年利率保持不變，到期后取出660元，求年利率？

3.有?個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2,求這個(gè)兩位數(shù)。

4.要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng)

多少個(gè)球隊(duì)參加？

5.某種商品原來(lái)售價(jià)80元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在售價(jià)比原來(lái)少15.2元，求平均每次降價(jià)百分?jǐn)?shù)?

6.某校辦工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過(guò)改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一

年增長(zhǎng)一個(gè)相同的增長(zhǎng)率，這樣三年的總產(chǎn)量達(dá)到1400件，求這個(gè)增長(zhǎng)率。

7.某種電腦病毒傳播非?？?，如果?臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你

用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染

后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？

8.矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始

沿BC向C點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)，AB=6cm,BC=4cm,若P、Q兩點(diǎn)分別從A、B同

時(shí)出發(fā)，問(wèn)兒秒鐘后P、Q兩點(diǎn)之間的距離為2&cm?

9.用長(zhǎng)為18cm的鐵絲圍成一個(gè)面積為S的矩形(不考慮接頭的長(zhǎng)度)，(1)S-20cm2時(shí)，求這個(gè)

矩形的長(zhǎng)與寬。(2)S能等于21cm2?說(shuō)明理由。(3)你能求出面積S的最大值并說(shuō)明理由嗎？

第22章一元二次方程全章能力測(cè)試

一、填空題

1.把方程2x(x-l)=3(x+5)-4化為一元二次方程的一般形式是。二次項(xiàng)的系數(shù)是

,一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是o

2.(m-2)x/-2+x—3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為_(kāi)__。

3.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過(guò)四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元.設(shè)平均每月

降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是.

4.若關(guān)于X的一元二次方程一+(%+3)》+左=0的一個(gè)根是一2,則另一個(gè)根是.

5.由于甲型H1N1流感(起初叫豬流感)的影響，在一個(gè)月內(nèi)豬肉價(jià)格兩次大幅下降.由原來(lái)每斤

16元下調(diào)到每斤9元，求平均每次下調(diào)的百分率是多少？設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為X,則根據(jù)題

意可列方程為.

6.已知xi、X2是方程2x2+3x—4=0的兩個(gè)根，那么：x】+x2=；x】?X2=；

11

---F--

*“2；x21+x22二；(xi+1)(x2+l)=o

二、選擇題

1.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

5-55

A.x=—B.x=3C.x=3,或x=—D.x="—

222

2.若〃(〃WO)是關(guān)于x的方程/+機(jī)式+2〃=0的根，則研〃的值為

A.1B.2C.-1D.-2

3.若不馬是一元二次方程一一51+6=0的兩個(gè)根，貝也+工2的值是()

A.1B.5C.-5D.6

4,設(shè)小6是方程/+元一2009=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則/+2。+匕的值為()

A.2006B.2007C.2008D.2009

5.為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2007年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2009年投入3600萬(wàn)元.設(shè)

這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)百分率為X,那么下面列出的方程正確的是（）

A.25001=3600B.2500（1+x%）2=3600

C.2500(1+x)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600

6.方程/-9x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A.12B.12或15C.15D.不能確定

7.定義：如果一元二次方程。/+6:+。=0（。00）滿(mǎn)足a+b+c=0,那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳

凰”方程.已知ax2+bx+c=0（aw0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.a=cB.a=bC.b-cD.a=b=c

三、解答題

1.解方程：（x—3）2+4尤（x-3）=0.2.解方程：X2-2X-3=0

3.解方程：X2-3X-1=0.4.解方程2x2—%—1=0

5.已知2+當(dāng)是x2-4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

6.關(guān)于x的方程區(qū)2+々+2?+&=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求卜的取值范圍。

4

（2）是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在說(shuō)明理由。

7.m為何值時(shí)，方程2（m+l）x2+4mx+2m-l=0。（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

（3）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（4）無(wú)實(shí)數(shù)根。

8.如圖，有一面積是150平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18米），墻對(duì)面有一個(gè)2米

寬的門(mén)，另三邊（門(mén)除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33米.求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各多少米？

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.如圖，已知aABC和直線(xiàn)L,請(qǐng)你畫(huà)出AABC關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)圖形AA，BzC.

2.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？

二、課堂練習(xí)

1.請(qǐng)同學(xué)們看講臺(tái)上的大時(shí)鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)？旋繞什么點(diǎn)呢？從現(xiàn)在到下課時(shí)鐘轉(zhuǎn)了多

少度？分針轉(zhuǎn)了多少度？秒針轉(zhuǎn)了多少度？

2.如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞0點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△0EF,在這個(gè)旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中：（1）旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是什么？（2）經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B分別移動(dòng)到什么位置？

3.如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長(zhǎng)為1的正方形.

（1）這個(gè)圖案可以看做是哪個(gè)“基本圖案”通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的？

（2）請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

（3）指出，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、C、D分別移到什么位置？

4.兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖所示，讓一個(gè)正方形的頂點(diǎn)與另一個(gè)正方形中心重合，不難知道

重合部分的面積為,，現(xiàn)把其中一個(gè)正方形固定不動(dòng)，另一個(gè)正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，間在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

4

中，兩個(gè)正方形重疊部分面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由.

三、課后作業(yè)

1.Z\ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/C和NAED都是直角，點(diǎn)C在A(yíng)D上，如果4ABC

經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與AADE重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是_旋轉(zhuǎn)方向是旋轉(zhuǎn)度數(shù)

C

2.如圖，AABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△△'B'C,請(qǐng)指出：

對(duì)應(yīng)點(diǎn)是;(2)AB邊的對(duì)應(yīng)邊是,AC邊的對(duì)應(yīng)邊是一；(3)

/ABC的對(duì)應(yīng)角是/BAC的對(duì)應(yīng)角是_(4)旋轉(zhuǎn)中心是

旋轉(zhuǎn)的角度是。

3.已知上圖△ABC,(1)畫(huà)出①中4ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；(2)畫(huà)出②中AABC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；

4.如圖，ZiABC是NBAC=50"的等腰三角形，D是BC上一點(diǎn)，4ABD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)4ACE

的位置。則旋轉(zhuǎn)中心是;旋轉(zhuǎn)方向是,旋轉(zhuǎn)的角度是。

如果點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到位置。

.O

B

第4題圖C

第5撅圖第6題圖

5.如圖，作出AABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120"的圖形AA'B'C?

6.如圖，正方形ABCD是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，它的旋轉(zhuǎn)中心是，它旋轉(zhuǎn)

度后能與自身重合。

7.如圖，△ACD、ZXAEB都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90°,指出aABD、ZXAEC的關(guān)

系(1)、旋轉(zhuǎn)中心是，旋轉(zhuǎn)度數(shù)是_(2)、AB邊的對(duì)應(yīng)邊是

BD邊的對(duì)應(yīng)邊是；(3)、/BAD的對(duì)應(yīng)角是,/ABD的對(duì)應(yīng)角是；

A

第8題圖

8.畫(huà)出所給圖形繞圓心A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，并說(shuō)明該圖形照此旋轉(zhuǎn)次后可以與原圖

形重合。

9.如圖，線(xiàn)段AD和BC相交于點(diǎn)O,且AO=OD,BO=OC,請(qǐng)問(wèn)圖中aAOB和△COD能通過(guò)

旋轉(zhuǎn)使他們重合嗎？;如果能，指出旋轉(zhuǎn)中心是;旋轉(zhuǎn)角度

是。如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由。

23.2.1-23.2.2中心對(duì)稱(chēng)以及中心對(duì)稱(chēng)圖形

一、學(xué)前準(zhǔn)備

1.什么是軸對(duì)稱(chēng)？什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？

2.(1)作出如圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180°的圖案；(2)將四邊形ABCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。

二、課堂練習(xí)

1.作出四邊形ABCD關(guān)于。點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的四邊形A'B'C'D'。

2.欣賞圖片：后兩個(gè)圖有?個(gè)共同的特點(diǎn)與第一個(gè)圖不同，是什么？

①②③④

總結(jié)：什么是中心對(duì)稱(chēng)圖形？請(qǐng)你寫(xiě)出3個(gè)熟悉的圖形。

3.兩圖形成中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形有什么區(qū)別?

三、課后作業(yè)：

1.下面圖形中既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.直角B.等邊三角形C.直角梯形D.兩條相交直線(xiàn)

2.下列命題中真命題是（）

A.兩個(gè)等腰三角形一定全等

B.正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)隨邊數(shù)增多而減少

C.菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形

D.兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角相等

3.將矩形ABCD沿AE折疊,得到如圖的所示的圖形,已知NCED'=60°，則NAED的大小是（）

A.60°B.50°C.75°D.55°

5.下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形而不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

6.下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。能與自身重合的有（）

①正方形②長(zhǎng)方形③等邊三角形④線(xiàn)段⑤角

A、5個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

7.下列圖形中，中心對(duì)稱(chēng)圖形有（）.

8.作一直線(xiàn)，將下圖分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡）.

9.觀(guān)察“一、羊、口、王、田、旦”這6個(gè)漢字，它們都是——圖形，其中

字可看成中心對(duì)稱(chēng)圖形.

10.下圖是幾種名車(chē)標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（填序號(hào)），是中心對(duì)稱(chēng)圖

形的有（填序號(hào)）.

CMD

奧迪本田大眾鈴木歐寶

(1)(2)(3)(4)(5)

11.在線(xiàn)段、角、平行四邊形、長(zhǎng)方形、等腰梯形、圓、等邊三角形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是

,一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有,既是中心對(duì)稱(chēng)圖形

又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是.

12.解答題：如圖所示，畫(huà)出兩個(gè)半圓關(guān)于點(diǎn)B成

中心對(duì)稱(chēng)的圖形./、

23.2.3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1.怎樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)?

2.中心對(duì)稱(chēng)叮中心對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

3.點(diǎn)P(5,3)與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P(5,3)與關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

4.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

二、課堂練習(xí)

1.學(xué)習(xí)課本Pfi6探究，思考：

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，他們的坐標(biāo)符號(hào),即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

為。

2.(1)點(diǎn)A(2,-6)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

為,關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,

(2)已知P(a,-2)和Q(3,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a=b=。

3.學(xué)習(xí)課本P67例2,提示：先描出各頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)后，再順次連接。

(1)作出與AABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形。

(2)作出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形。

(3)作出將aABC沿x軸向右平移3個(gè)單位后的圖形。

4.已知aABC在平面直角坐標(biāo)系上三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,3),B(-1,1),C(-3,2),△ABC

與aABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則Ai(),Bi(),Ci().

三、課后作業(yè)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(8,-6)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是。

2.若點(diǎn)P(x,-3)與點(diǎn)Q(4,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則x+y等于。

3.已知點(diǎn)A(2,2),如果點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B,B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,那么C點(diǎn)的坐

標(biāo)是。

4.如果點(diǎn)M(1-x,1-y)在第二象限，那么點(diǎn)N(1-x,y-1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一

象限.

5.點(diǎn)A(x+3,2y-l)與點(diǎn)B(y-5,x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)A坐標(biāo)是。

6.直線(xiàn)y=x+3有一點(diǎn)P(m-5,2m),則P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是。

7.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)某圖形上各個(gè)點(diǎn)的橫縱坐