蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊1.3解一元二次方程(直接開平方法與配方法)(知識梳理與考點分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題1.3解一元二次方程（直接開平方法與配方法）（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

【知識點二】一元二次方程的解法---配方法

（1）配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

【知識點三】配方法的應(yīng)用1．用于比較大小：在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】解一元二次方程（直接開平方法）【例1】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用直接開平方法解下列方程：；(2)．【變式1】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）方程的根是（）A． B．4 C．或4 D．無解【變式2】（22-23九年級下·廣東河源·開學(xué)考試）方程的根是．【題型2】解一元二次方程（配方法）【例2】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【變式1】（22-23九年級上·山東青島·期中）用配方法解下列方程時，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【變式2】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）關(guān)于的方程無實數(shù)根，那么滿足的條件是．【題型3】配方法的應(yīng)用（求最值）【例3】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題．求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+m+1的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【變式1】已知關(guān)于x的多項式的最大值為5，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（21-22八年級上·上海寶山·階段練習(xí)）當(dāng)x＝二次根式有最小值，最小值為．【題型4】配方法的應(yīng)用（比較大小或求取值范圍）【例4】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由；（3）拓展，試通過計算比較．與的大?。咀兪?】已知，（為任意實數(shù)），那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【變式2】（23-24九年級上·廣東廣州·期中）已知多項式，若無論取何實數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【題型5】配方法的應(yīng)用（求值）【例5】（23-24九年級下·遼寧鞍山·期中）已知，求代數(shù)式的值．【變式1】（23-24八年級下·重慶·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【變式2】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知x為實數(shù)，且滿足，那么第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【例2】（2023·新疆·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．2、拓展延伸【例1】（2024八年級下·上海·專題練習(xí)）解方程組：．【例2】（23-24八年級下·廣西梧州·期中）先閱讀下面內(nèi)容，再解決問題：若關(guān)于、的方程，求、的值．解；因為所以所以即所以，所以，解得，（1）模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程，已知，求、的值；（2）若、是方程的解，求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積．專題1.3解一元二次方程（直接開平方法與配方法）（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

【知識點二】一元二次方程的解法---配方法

（1）配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

【知識點三】配方法的應(yīng)用1．用于比較大小：在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值時的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】解一元二次方程（直接開平方法）【例1】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】對于形如的方程，直接開平方，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，，求解．解：（1）由原方程，得，∴，∴，．（2），，，或，∴，．【點撥】本題考查直接開平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）方程的根是（）A． B．4 C．或4 D．無解【答案】C【分析】利用直接開方法求解即可．解：，開方得：，即或，解得：，.故選C．【點撥】本題考查直接開方法，掌握直接開方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23九年級下·廣東河源·開學(xué)考試）方程的根是．【答案】【分析】利用直接開平方法解二元一次方程即可．解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點撥】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【題型2】解一元二次方程（配方法）【例2】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程無實數(shù)根(2)，【分析】（1）將常數(shù)項移到方程右邊，左邊化的形式，方程右邊小于0，故無解；（2）將方程化為，開平方求解；解：（1）原方程為，則，∴，∴原方程無實數(shù)根；（2）原方程為，∴，∴，∴，∴，即，．【點撥】本題考查配方法求解一元二次方程；根據(jù)等式性質(zhì)，將方程化為是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23九年級上·山東青島·期中）用配方法解下列方程時，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案.解：∵∴∴，故選項A錯誤，不符合題意；∵∴∴，故選項B錯誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項C錯誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2】（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）關(guān)于的方程無實數(shù)根，那么滿足的條件是．【答案】/【分析】根據(jù)任意實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)得到關(guān)于參數(shù)的不等式，求解即可．解：由題意，得，解得；故答案為：【點撥】本題考查配方法求解一元二次方程，平方數(shù)的非負(fù)性；掌握平方數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【題型3】配方法的應(yīng)用（求最值）【例3】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題．求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+m+1的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）根據(jù)題中的解法即可得到答案；（2）同理（1）.解：（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，則m2+m+1的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，則4﹣x2+2x的最大值是5．【點撥】本題主要考查了配方法與偶次方的非負(fù)性，解此題的關(guān)鍵在于利用配方法得到完全平方式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得解.【變式1】已知關(guān)于x的多項式的最大值為5，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先把多項式配方，從而得=5，進(jìn)而即可得到結(jié)論．解：∵=，又∵關(guān)于x的多項式的最大值為5，∴=5，解得：m=±2，∴m的值可能為2．故選B．【點撥】本題主要考查多項式的最值問題，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（21-22八年級上·上海寶山·階段練習(xí)）當(dāng)x＝二次根式有最小值，最小值為．【答案】-1【分析】把配方得：，即可解決．解：∵∴當(dāng)x=-1時，有最小值，從而有最小值，且最小值為故答案為：-1，【點撥】本題考查了配方法及求最小值，關(guān)鍵是配方．【題型4】配方法的應(yīng)用（比較大小或求取值范圍）【例4】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由；（3）拓展，試通過計算比較．與的大?。敬鸢浮浚?），，；（2）總有，理由見解析；（3）【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識點是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小．（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別代入計算，再進(jìn)行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)，即可得出無論取什么值，判斷與有；（3）拓展：先求出，再判斷的正負(fù)，即可做出判斷．解：（1）①當(dāng)時，，，則，②當(dāng)時，，，則，③當(dāng)時，，，則．故答案為：；；；（2）無論取什么值，判斷與有，理由如下：，無論取什么值，總有；（3）拓展：，故．【變式1】已知，（為任意實數(shù)），那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】利用作差法判斷與大小即可．解：，（為任意實數(shù)），，，即，則．故選：B．【點撥】本題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)量掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24九年級上·廣東廣州·期中）已知多項式，若無論取何實數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法可進(jìn)行求解．解：∵無論取何實數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，∴∴，故答案為：．【題型5】配方法的應(yīng)用（求值）【例5】（23-24九年級下·遼寧鞍山·期中）已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，利用配方法將原式變形后，把的值代入計算即可求解，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．解：．．．【變式1】（23-24八年級下·重慶·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用、已知式子的值，求代數(shù)式的值，先整理，以及把化為，再把，代入計算化簡，即可作答．解：∵∴，則把，代入上式，得故選：A【變式2】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知x為實數(shù)，且滿足，那么【答案】1【分析】本題考查了因式分解解一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)原式，得，把看作一個整體，令每個因式為0，即可作答．解：∵∴則解得∵當(dāng)時，，不存在實數(shù)使得，那么故答案為：1．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．解：是關(guān)于的一元二次方程，，即由一個根，代入，可得，解之得；由得；故選A【例2】（2023·新疆·中考真題）用配方