蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.3解一元二次方程(直接開(kāi)平方法與配方法)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題1.3解一元二次方程（直接開(kāi)平方法與配方法）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】直接開(kāi)方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開(kāi)平方法.

【知識(shí)點(diǎn)二】一元二次方程的解法---配方法

（1）配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

【知識(shí)點(diǎn)三】配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過(guò)作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】解一元二次方程（直接開(kāi)平方法）【例1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用直接開(kāi)平方法解下列方程：；(2)．【變式1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程的根是（）A． B．4 C．或4 D．無(wú)解【變式2】（22-23九年級(jí)下·廣東河源·開(kāi)學(xué)考試）方程的根是．【題型2】解一元二次方程（配方法）【例2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【變式1】（22-23九年級(jí)上·山東青島·期中）用配方法解下列方程時(shí)，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【變式2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，那么滿足的條件是．【題型3】配方法的應(yīng)用（求最值）【例3】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題．求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+m+1的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【變式1】已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為5，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（21-22八年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）當(dāng)x＝二次根式有最小值，最小值為．【題型4】配方法的應(yīng)用（比較大小或求取值范圍）【例4】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）論證，無(wú)論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說(shuō)明理由；（3）拓展，試通過(guò)計(jì)算比較．與的大?。咀兪?】已知，（為任意實(shí)數(shù)），那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）已知多項(xiàng)式，若無(wú)論取何實(shí)數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【題型5】配方法的應(yīng)用（求值）【例5】（23-24九年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）已知，求代數(shù)式的值．【變式1】（23-24八年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【變式2】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知x為實(shí)數(shù)，且滿足，那么第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【例2】（2023·新疆·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．2、拓展延伸【例1】（2024八年級(jí)下·上海·專題練習(xí)）解方程組：．【例2】（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）先閱讀下面內(nèi)容，再解決問(wèn)題：若關(guān)于、的方程，求、的值．解；因?yàn)樗运约此裕?，解得，?）模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程，已知，求、的值；（2）若、是方程的解，求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形的面積．專題1.3解一元二次方程（直接開(kāi)平方法與配方法）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】直接開(kāi)方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開(kāi)平方法.

【知識(shí)點(diǎn)二】一元二次方程的解法---配方法

（1）配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

【知識(shí)點(diǎn)三】配方法的應(yīng)用1．用于比較大小：在比較大小中的應(yīng)用，通過(guò)作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】解一元二次方程（直接開(kāi)平方法）【例1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用直接開(kāi)平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】對(duì)于形如的方程，直接開(kāi)平方，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，，求解．解：（1）由原方程，得，∴，∴，．（2），，，或，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查直接開(kāi)平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程的根是（）A． B．4 C．或4 D．無(wú)解【答案】C【分析】利用直接開(kāi)方法求解即可．解：，開(kāi)方得：，即或，解得：，.故選C．【點(diǎn)撥】本題考查直接開(kāi)方法，掌握直接開(kāi)方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23九年級(jí)下·廣東河源·開(kāi)學(xué)考試）方程的根是．【答案】【分析】利用直接開(kāi)平方法解二元一次方程即可．解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【題型2】解一元二次方程（配方法）【例2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程無(wú)實(shí)數(shù)根(2)，【分析】（1）將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，左邊化的形式，方程右邊小于0，故無(wú)解；（2）將方程化為，開(kāi)平方求解；解：（1）原方程為，則，∴，∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（2）原方程為，∴，∴，∴，∴，即，．【點(diǎn)撥】本題考查配方法求解一元二次方程；根據(jù)等式性質(zhì)，將方程化為是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23九年級(jí)上·山東青島·期中）用配方法解下列方程時(shí)，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案.解：∵∴∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；∵∴∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵∴∴∴，故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，那么滿足的條件是．【答案】/【分析】根據(jù)任意實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)得到關(guān)于參數(shù)的不等式，求解即可．解：由題意，得，解得；故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查配方法求解一元二次方程，平方數(shù)的非負(fù)性；掌握平方數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【題型3】配方法的應(yīng)用（求最值）【例3】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題．求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+m+1的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）根據(jù)題中的解法即可得到答案；（2）同理（1）.解：（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，則m2+m+1的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，則4﹣x2+2x的最大值是5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了配方法與偶次方的非負(fù)性，解此題的關(guān)鍵在于利用配方法得到完全平方式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得解.【變式1】已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為5，則m的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先把多項(xiàng)式配方，從而得=5，進(jìn)而即可得到結(jié)論．解：∵=，又∵關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為5，∴=5，解得：m=±2，∴m的值可能為2．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查多項(xiàng)式的最值問(wèn)題，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（21-22八年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）當(dāng)x＝二次根式有最小值，最小值為．【答案】-1【分析】把配方得：，即可解決．解：∵∴當(dāng)x=-1時(shí)，有最小值，從而有最小值，且最小值為故答案為：-1，【點(diǎn)撥】本題考查了配方法及求最小值，關(guān)鍵是配方．【題型4】配方法的應(yīng)用（比較大小或求取值范圍）【例4】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）論證，無(wú)論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說(shuō)明理由；（3）拓展，試通過(guò)計(jì)算比較．與的大?。敬鸢浮浚?），，；（2）總有，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)式子的差比較出數(shù)的大?。?）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別代入計(jì)算，再進(jìn)行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)，即可得出無(wú)論取什么值，判斷與有；（3）拓展：先求出，再判斷的正負(fù)，即可做出判斷．解：（1）①當(dāng)時(shí)，，，則，②當(dāng)時(shí)，，，則，③當(dāng)時(shí)，，，則．故答案為：；；；（2）無(wú)論取什么值，判斷與有，理由如下：，無(wú)論取什么值，總有；（3）拓展：，故．【變式1】已知，（為任意實(shí)數(shù)），那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】利用作差法判斷與大小即可．解：，（為任意實(shí)數(shù)），，，即，則．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)量掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）已知多項(xiàng)式，若無(wú)論取何實(shí)數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法可進(jìn)行求解．解：∵無(wú)論取何實(shí)數(shù)，的值都不是負(fù)數(shù)，∴∴，故答案為：．【題型5】配方法的應(yīng)用（求值）【例5】（23-24九年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，利用配方法將原式變形后，把的值代入計(jì)算即可求解，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．解：．．．【變式1】（23-24八年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用、已知式子的值，求代數(shù)式的值，先整理，以及把化為，再把，代入計(jì)算化簡(jiǎn)，即可作答．解：∵∴，則把，代入上式，得故選：A【變式2】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知x為實(shí)數(shù)，且滿足，那么【答案】1【分析】本題考查了因式分解解一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)原式，得，把看作一個(gè)整體，令每個(gè)因式為0，即可作答．解：∵∴則解得∵當(dāng)時(shí)，，不存在實(shí)數(shù)使得，那么故答案為：1．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．解：是關(guān)于的一元二次方程，，即由一個(gè)根，代入，可得，解之得；由得；故選A【例2】（2023·新疆·中考真題）用配方