新人教A版必修一 函數(shù)及其表示 學(xué)案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修一函數(shù)及其表示學(xué)案

1.函數(shù)與映射

函數(shù)映射

兩個(gè)集合

設(shè)A,8是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A,8是兩個(gè)非空集合

A,B

如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系方使對(duì)于集如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系工使

對(duì)應(yīng)關(guān)系

合A中的任何一個(gè)數(shù)羽在集合B中都對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,在集

存在唯一確定的數(shù)f(X)和它對(duì)應(yīng)合B中都有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱KA二旦為從集合A到集合B的一稱/：A-8為從集合A到集合8的

名稱

個(gè)函數(shù)一個(gè)映射

函數(shù)記法函數(shù)x^A映射：/：A-8

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xeA中，尤叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與尤的值相對(duì)

應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)I尤八4｝叫作函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.

(3)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函

數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的丑集，其值域等于各段函數(shù)的值域的法集，分段

函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

【知識(shí)拓展】

簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類型

(1)/(%)為分式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合；

(2)為偶次根式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；

(3)八x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合；

(4)若/(x)=x°,則定義域?yàn)椋鹸|尤W0｝；

(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于。且不等于1；

(6)正切函數(shù)〉=12!1關(guān)的定義域?yàn)殄e(cuò)誤!.

基礎(chǔ)自測(cè)

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)對(duì)于函數(shù)/：A-8,其值域就是集合B.(X)

(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.(義)

(3)函數(shù)段)的圖像與直線x=l最多有一個(gè)交點(diǎn).(J)

(4)若人=11,8={xlx〉0)/：x-y=I用，其對(duì)應(yīng)是從A到8的映射.(X)

(5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的.(X)

題組二教材改編

2.函數(shù)/(x)=錯(cuò)誤!的定義域是.

答案(一8,1)U(1,4]

3.函數(shù)＞=於)的圖像如圖所示，那么，1x)的定義域是;值域是；其中只有

唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是.

答案[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]

題組三易錯(cuò)自糾

4.已知函數(shù)/(x)=xIxI,若/(xo)=4,則為的值為.

答案2

解析當(dāng)尤20時(shí)，f(x)=x2,f(xo)=4,

即看=4,解得xo=2.

當(dāng)x〈0時(shí)，/(x)=—x2,式乂))=4,

即一*=4,無解，所以須)=2。

5.設(shè)/(x)=錯(cuò)誤!則/』-2))=.

答案|

解析因?yàn)橐?＜0,所以1-2)=2-2=：＞0,

所以用(-2))=熠誤！=1—錯(cuò)誤！=1—錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！。

6.已知函數(shù)/'(的二辦3—2x的圖像過點(diǎn)(一1,4),貝!|。=o

答案一2

解析由題意知點(diǎn)(一1,4)在函數(shù)/(X)=G?—2X的圖像上，所以4=—。+2，則。=一2。

題型分類深度剖析

------------------------------------------真題典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究-------------------------------------------

題型一函數(shù)的概念.......一自主演練

1.若函數(shù)y=f(%)的定義域?yàn)镸=(xI—2WxW2},值域?yàn)镹={y|O0W2},則函數(shù)y

=/(x)的圖像可能是()

答案B

解析A中函數(shù)的定義域不是[—2,2],C中圖像不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是[0,2],故選B.

2.有以下判斷：

IXI

◎(尤)=■'與g(x)=錯(cuò)誤!表示同一函數(shù);

@y(x)=x2—2x+l與g(。=?—2f+l是同一函數(shù)；

③若/(x)=Ix-ll-kI，則遭誤！=0。

其中正確判斷的序號(hào)是.

答案②

解析對(duì)于①，由于函數(shù)式x)=錯(cuò)誤!的定義域?yàn)閧RxGR且xWO},而函數(shù)g(x)=錯(cuò)誤!的

定義域是R,所以二者不是同一函數(shù)，故①不正確；對(duì)于②，穴x)與g(f)的定義域、值域和

對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以/(x)和g⑺表示同一函數(shù)，故②正確；

對(duì)于③，由于福誤！=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤！=0,

所以福誤！=八0)=1,故③不正確.

綜上可知，正確的判斷是②.

思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定；判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，

只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值

是否相同.

題型二函數(shù)的定義域問題

命題點(diǎn)1求函數(shù)的定義域

典例(1)函數(shù)凡r)=錯(cuò)誤!+ln(2尤一/)的定義域?yàn)?)

A.(2,+8)B.(1,2)

C.(0,2)D.[1,2]

答案B

解析要使函數(shù)有意義，則錯(cuò)誤！

解得1G<2?

，函數(shù)/'(x)=錯(cuò)誤!+ln(2x—f)的定義域?yàn)?1,2).

(2)若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,2018],則函數(shù)g(x)=錯(cuò)誤!的定義域是()

A.[-1,2017]B.[-1,1)U(l,2017]

C.[0,2018]D.[-1,1)U(l,2018]

答案B

解析使函數(shù)式尤+1)有意義，則0Wx+lW2018,解得一1WXW2017,故函數(shù)/(x+l)的定義

域?yàn)?—1,2017],所以函數(shù)g(x)有意義的條件是錯(cuò)誤!解得一1WX<1或1<XW2017。故

函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇—1,1)U(1,2017].

引申探究

本例(2)中，若將“函數(shù)》=式尤)的定義域?yàn)閇0,2018]”,改為“函數(shù)/(無一1)的定義域

為[0,2018],"則函數(shù)g(x)=錯(cuò)誤！的定義域?yàn)?

答案L2,l)U(1,2016]

解析由函數(shù)/(x—1)的定義域?yàn)閇0,2018].

得函數(shù)y=/U)的定義域?yàn)閇-1,2017],

令錯(cuò)誤！

則一2WxW2016且xWl.

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇—2,1)U(l,20161.

命題點(diǎn)2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍

典例(1)(2018?衡水聯(lián)考)若函數(shù)y=錯(cuò)誤!的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

Ao錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!

Co錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤！

(2)若函數(shù)/(x)=錯(cuò)誤！的定義域?yàn)閧尤門W尤W2},則a+b的值為.

答案(1)D⑵一錯(cuò)誤！

解析(1)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,貝心病+4加彳+3#0恒成立，

①當(dāng)m=0時(shí)，顯然滿足條件；

②當(dāng)加/0時(shí)，由/=(4機(jī))2-4〃ZX3<0,

得0〈機(jī)〈錯(cuò)誤！，

由①②得0W加〈錯(cuò)誤！.

(2)函數(shù)人無)的定義域是不等式a^+abx+bNO的解集.不等式cz^+afcv+bX)的解集為

{尤|1WxW2},

所以錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤！

所以a+b=—錯(cuò)誤！一3=一錯(cuò)誤！。

思維升華(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端

點(diǎn)值的取舍.

(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y=/(x)的定義域?yàn)?a,b),則解不等式a〈8(尤)〈6即可

求出y=/(g(x))的定義域;②若(g(x))的定義域?yàn)?a,b),則求出g(無)在(a,8)上的值

域即得了(x)的定義域.

(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解.

跟蹤訓(xùn)練(1)(2017?江西九江七校聯(lián)考)函數(shù)y=錯(cuò)誤！的定義域是()

A.(-1,3)B.(-1,30

C.(-1,0)U(0,3)D.(-1,0)U(0,3]

答案D

解析由題意得錯(cuò)誤!解得一1<XW3且xWO,

.?.函數(shù)的定義域?yàn)?一1,O)U(0,3].

(2)已知函數(shù)了=/(/—1)的定義域?yàn)閇一錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!]，則函數(shù)尸八無)的定義域?yàn)?

答案[一L2]

解析?.?〉=/(/—1)的定義域?yàn)閇一錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!],

[—錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!],%2—1G[—1,2],

...丫=/'(尤)的定義域?yàn)閇—1,2].

(3)(2017?杭州模擬)若函數(shù)40=寸加/+??:+1的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)比的取值范圍

是.

答案[0,4]

解析當(dāng)初=0時(shí)，人0的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；

當(dāng)機(jī)W0時(shí)，由錯(cuò)誤！得0〈mW4,

綜上"的取值范圍是[0,4].

題型三求函數(shù)解析式......，自主演練

1.若福誤！=錯(cuò)誤!，則當(dāng)且時(shí)，危)等于()

A.^Bo錯(cuò)誤！

C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤！—1

答案B

解析危)=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!(尤WO且尤W1).

2.已知/(%)是二次函數(shù)且/(0)=2,f(x+1)—/(x)—x—1,則/(無)=o

答案錯(cuò)誤!%2—錯(cuò)誤!x+2

解析設(shè)y(尤)=ax2+b_r+c(aWO),

由f(0)=2,得c=2,

1)-fix)=a(x+l)2+6(x+1)+2—ox2—bx-2=x-1,

即2ax+a+b=x-1,

錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！.'./(x)=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!x+2.

3.已知函數(shù)式無)的定義域?yàn)?0,+°°)，且式x)=2法|誤!?錯(cuò)誤！一1,則/(x)=.

答案錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！(x>0)

解析在7(x)="錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！一1中，

將x換成錯(cuò)誤！，則錯(cuò)誤!換成x,

得虐誤!=4⑸?錯(cuò)誤!—1,

由錯(cuò)誤!解得/(x)=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!.

思維升華函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；

(3)配湊法：由已知條件Kg(x))=F(x),可將尸(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以尤替

代g(x)，便得五尤)的解析式；

(4)消去法:已知兀0與緡誤!或八一尤)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式

組成方程組，通過解方程組求出/G).

題型四分段函數(shù)

命題點(diǎn)1求分段函數(shù)的函數(shù)值

典例已知|x)=錯(cuò)誤!且式0)=2,八一1)=3,則歡—3))等于()

A.-2B.2C.3D.-3

答案B

解析由題意得大。)=a°+6=l+6=2,解得6=1；

八-1)=q—i+b=。一〔+1=3,

解得。=錯(cuò)誤!.

故)-3)=錯(cuò)誤!r+i=9,

從而加(—3))=八9)=log39=2.

命題點(diǎn)2分段函數(shù)與方程、不等式問題

典例(1)己知實(shí)數(shù)aWO,函數(shù)/(尤)=錯(cuò)誤!若黃1—4)=/(1+。)，則。的值為.

3

答案一a

解析當(dāng)。>0時(shí)，1一。<1,l+a>],

由f(1—a)—f(1+a),

可得2(1—a)+a=—(1+a)—2a,

3

解得a=—,不合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，

由八1一a)=y(l+a),可得一(1一a)—2a—2(1+a)+a,

解得a=一錯(cuò)誤！，符合題意.

(2)(2017?南京、鹽城模擬)已知函數(shù)/(x)=錯(cuò)誤！則不等式式X)》一1的解集是

答案{x|一44W2}

解析當(dāng)xWO時(shí)，由題意得錯(cuò)誤！+1三一1,

解之得一4WxW0.

當(dāng)x>0時(shí)，由題意得一(x—1)2^—1,

解之得0<xW2,

綜上/(勸2—1的解集為國(guó)一4W尤W2).

思維升華(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路

①求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)用(。))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

②求自變量的值:先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，

切記要代入檢驗(yàn).

(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路

依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來.

跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)/(無)=錯(cuò)誤!則使人無)=錯(cuò)誤!的x的集合為.

答案錯(cuò)誤！

解析由題意知，若尤W0,則2工=錯(cuò)誤！，解得x=—1；若x>0,則門。82兄=錯(cuò)誤！，解得x

=2亍或天=2-5。故尤的集合為錯(cuò)誤!.

-----------------■思想方法■-----------------

分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

典例(1)設(shè)函數(shù)兀v)=錯(cuò)誤!則滿足了(/(a))=2戶。,的a的取值范圍是()

A.錯(cuò)誤!B.[0,1]

Co錯(cuò)誤!D.[1,+8)

(2)(2017?全國(guó)III)設(shè)函數(shù)?=錯(cuò)誤!則滿足於)十編誤！>1的x的取值范圍是.

思想方法指導(dǎo)(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，通過分類討論求解；

(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解

析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取

值范圍.

解析(1)令加)=t,則財(cái)=2,

當(dāng)f〈1時(shí)，3?-1=2,,

令g?)=31—1—2。得g'⑺〉0,

；.g?)〈g(l)=0,1=2,無解.

當(dāng)時(shí)，2=2，成立，由穴.)21可知，

當(dāng)時(shí)，有3a—1N1,錯(cuò)誤！，，錯(cuò)誤!Wa<l；

當(dāng)a'l時(shí)，有：.a^lo

綜上,aN錯(cuò)誤!，故選C。

⑵當(dāng)x>錯(cuò)誤！時(shí)，>)十齊t誤！=2葉2,5>2工>錯(cuò)誤！>1;

當(dāng)0<xW錯(cuò)誤！時(shí)，/(無)+為t誤！=2葉錯(cuò)誤！+1=2葉尤+錯(cuò)誤！>2*>1；

當(dāng)xWO時(shí)/(%)+法|誤!=無+1+錯(cuò)誤!+1

=2x+錯(cuò)誤！，

.?.由八元)+通誤！>1,得2x+錯(cuò)誤！>1,即x>一錯(cuò)誤！，即一錯(cuò)誤！<xW0.

綜上,xe錯(cuò)誤!.

答案(1)C(2)錯(cuò)誤！

課時(shí)作業(yè)

g基礎(chǔ)保分練

1.下列圖像可以表示以M={x|04Wl)為定義域，以"={yIOWyWl}為值域的函數(shù)的是()

cD

答案C

解析A選項(xiàng)中的值域不對(duì)，B選項(xiàng)中的定義域錯(cuò)誤，D選項(xiàng)不是函數(shù)的圖像，由函數(shù)的定

義可知選項(xiàng)C正確.

X

2.(2018?鄭州調(diào)研)函數(shù)次無)=ln不行+x錯(cuò)誤！的定義域?yàn)?)

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+co)

答案B

解析要使函數(shù)八無)有意義，應(yīng)滿足錯(cuò)誤!解得尤>1,故函數(shù)/(x)=ln錯(cuò)誤!+/的定義域

為(1,+8).

3.(2016?全國(guó)II)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)>=10^的定義域和值域相同的是0

A.y—xB.y—lgxC.y—2xD.y=錯(cuò)誤！

答案D

解析函數(shù)y=10igx的定義域?yàn)閧小>0},值域?yàn)閧y|y>0},所以與其定義域和值域分別相同的

函數(shù)為y=錯(cuò)誤!，故選D.

4.(2017?湖南衡陽八中一模)已知危尸錯(cuò)誤!則福誤!等于()

A.-2B.-3C.9D.-9

答案C

解析：遭誤!=log3錯(cuò)誤!=—2,

.?.偌誤！=/(—2)=錯(cuò)誤「2=9。

5.己知編誤!=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！，則/(x)等于()

A.(X+1)2(XT^1)B.(x-1)2(XTM)

C.x2—x+l(xWl)D.f+尤+l(x#l)

答案C

解析.滯誤！=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!2—錯(cuò)誤！+1,令錯(cuò)誤!=改/1),則=?-/+1,

即危)=X2—x+1

6o如圖，△AO。是一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，平面圖形08。是四分之一圓的扇形,

點(diǎn)尸在線段A8上，PQLA氏且尸。交4?；蚪换B于點(diǎn)。，設(shè)AP=x(0<x<2),圖中陰影

部分表示的平面圖形APQ(或AP。。)的面積為y,則函數(shù)y=/(x)的大致圖像是()

A0PB

答案A

解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0<xWl時(shí)，y隨x的增大而增大，

而且增加的速度越來越快.(2)當(dāng)1〈X〈2時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來

越慢.分析四個(gè)答案中的圖像，只有選項(xiàng)A符合條件，故選A。

7.設(shè)於)=錯(cuò)誤!且通誤!=6,則/(/(—2))的值為()

A.27B.243

Co錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤！

答案B

解析,繾誤!=3流0—1)5=6,二/=5,

?'?fix)=錯(cuò)誤！

."(—2)=log2[(-2)2+5]=log29)0,

10g2921og29log292

A/(-2))=/(log29)=3X4=3X2=3X2=3X81=243=故選B。

8.已知/(%)=錯(cuò)誤！的值域?yàn)镽,那么a的取值范圍是()

A.(―8,—1]B.錯(cuò)誤！

Co錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤！

答案C

解析要使函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽,

需使錯(cuò)誤！

.?.錯(cuò)誤！.?.一IWaV錯(cuò)誤!.

即。的取值范圍是錯(cuò)誤！。

9.已知八錯(cuò)誤！+1)=尤+2錯(cuò)誤!，則/(勸=o

答案%2—1(x^l)

解析令錯(cuò)誤!+l=f,則x=Q-G>l),代入原式得/G)=(/-1)2+2G—1)=產(chǎn)

-1,

所以式尤)=/一1(無21).

10.已知函數(shù)/(%)的圖像如圖所示,則函數(shù)g(x)=logFf(x)的定義域是

答案(2,8]

解析要使函數(shù)有意義，需人尤)〉0,由/(%)的圖像可知，當(dāng)xe(2,8]時(shí)，/(尤)>0?

11.已知函數(shù)尤)=錯(cuò)誤!則滿足不等式八1一%2)〉八2無)的尤的取值范圍是.

答案(―1,錯(cuò)誤！—1)

解析由題意得錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤！

解得一l<x<0或OWx〈錯(cuò)誤!一1,

所求尤的取值范圍為(―1,錯(cuò)誤!-1).

12.(2018屆全國(guó)名校第一次聯(lián)考)定義新運(yùn)算”當(dāng)機(jī)》〃時(shí),〃2尢7=見當(dāng)機(jī)〈"時(shí)，777

=〃2.設(shè)函數(shù)/(x)=(2^x)x—(4*r),[1,4],則函數(shù)*x)的值域?yàn)?

答案[—2,0]U(4,60]

解析由題意知；/(x)=錯(cuò)誤！

當(dāng)問1,2]時(shí)/)