2023–2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記與巧練（人教版）第七章 平面直角坐標(biāo)系壓軸專練（解析版）

第七章平面直角坐標(biāo)系（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】 1【類型二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】 8【類型三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題】 11【類型四平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】 15【類型五平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】 19【類型六平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】 22【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】例題：（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，且，滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求，的值；(2)求的面積．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，即可求得，的值；（2）根據(jù)，的值可以確定點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，的距離，即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，（2）解：∵，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，又∵點(diǎn)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出，的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·天津?yàn)I海新·七年級?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，三角形的頂點(diǎn)，，．

(1)求三角形的面積．(2)若P是x軸上一動點(diǎn)，若三角形的面積等于三角形面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，由得到，由及得到，利用三角形面積公式即可得到三角形的面積；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，根據(jù)題意得到，解得或，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，

∵，∴，∵三角形的頂點(diǎn)，．∴，∴三角形的面積，即三角形的面積為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵三角形的面積等于三角形面積的一半，∴，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形與坐標(biāo)、絕對值方程、三角形面積公式等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的邊在軸上，且，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)畫出所有符合條件的三角形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求三角形的面積．【答案】(1)點(diǎn)或，圖見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式即可解答；（2）根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可解答．【詳解】（1）解：∵三角形的邊在軸上∴設(shè)點(diǎn)，∵，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，，∴點(diǎn)或，∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴如圖所示：

（2）解：∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵，∴，即的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，利用網(wǎng)格求三角形的面積，掌握平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北廊坊·七年級?？计谥校┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，其中a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上求一點(diǎn)P，使得的面積與的面積相等．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求解即可；（2）由（1）可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而可求出，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式可求出，結(jié)合題意可列出關(guān)于x的等式，解出x的值即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∴，∴；（3）解：設(shè)，∴，∴．∵的面積與的面積相等，∴，解得：或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，絕對值方程的應(yīng)用等知識．掌握絕對值和平方的非負(fù)性，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4．（2023春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，．

(1)求三角形的面積；(2)設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，若，試求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在線段上，求用含的式子表示．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式和坐標(biāo)特點(diǎn)得出方程解答即可；（3）根據(jù)，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，，，，，即，解得：或，或；（3）解：如圖，連接，

，，，，，，，，，點(diǎn)在第三象限，，，，整理得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【類型二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】例題：（2023春·江西南昌·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知點(diǎn)，，，求三角形的面積．【答案】18【分析】方法一：如圖，作長方形，由可得答案；方法二：如圖，過點(diǎn)B作軸，并分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，由可得答案；方法三：如圖，過點(diǎn)A作軸，并分別過點(diǎn)C和點(diǎn)B作的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，由可得答案．【詳解】解：方法一：如圖，作長方形，則．方法二：如圖，過點(diǎn)B作軸，并分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．∴，，，，，∴．方法三：如圖，過點(diǎn)A作軸，并分別過點(diǎn)C和點(diǎn)B作的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E．∴，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積，坐標(biāo)與圖形，熟練的構(gòu)建與網(wǎng)格三角形面積相關(guān)的長方形與梯形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北恩施·七年級校聯(lián)考期中）如圖，有一塊不規(guī)則的四邊形地皮，各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，圖上一個單位長度表示米，求這個四邊形的面積．【答案】這個四邊形的面積為【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，先計算出相關(guān)線段的長，再根據(jù)求解即可【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，，，，，，，，，，，，．答：這個四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正確得到相關(guān)線段的長度、掌握割補(bǔ)法求解的方法是關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江綏化·七年級校考期中）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，多邊形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，確定這個多邊形的面積，你是怎樣做的?【答案】25，見解析【分析】根據(jù)矩形、三角形和梯形面積公式以及進(jìn)行計算．【詳解】解：如圖所示，多邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一些不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化為一些易求面積的圖形的和或差來計算．【類型三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，在坐標(biāo)系中，已知，，，連接交軸于點(diǎn)，，．(1)請直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)，______，______；(2)如圖2，、分別表示三角形、三角形的面積，點(diǎn)在軸上，使，點(diǎn)若存在，求點(diǎn)縱坐標(biāo)、若不存在，說朋理由；(3)如圖3，若是軸上方一點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積為20時，求出的值．【答案】(1)，；(2)存在，12或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)可得a，b的值，即可求解；（2）設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，然后分兩種情況討論：當(dāng)在上方時，當(dāng)在下方時，結(jié)合，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)在右側(cè)時，當(dāng)在左側(cè)時，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，；故答案為：，（2）解：存在，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為．當(dāng)在上方時，，，，，∴，解得：；當(dāng)在下方時，，，，，，∴，解得：．綜上：點(diǎn)縱坐標(biāo)為12或．（3）解：當(dāng)在右側(cè)時，，過左軸于，連接，∴，∵三角形的面積為20，∴，；當(dāng)在左側(cè)時，，過左軸于，連接，，∵三角形的面積為20，∴，；綜上所述，的值為12或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東湛江·七年級?？计谥校┤鐖D所示，，，點(diǎn)在軸上，且．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求三角形的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或【分析】（1）分點(diǎn)在點(diǎn)的左邊和右邊兩種情況解答；（2）利用三角形的面積公式列式計算即可得解；（3）利用三角形的面積公式列式求出點(diǎn)到軸的距離，然后分兩種情況寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時，，所以的坐標(biāo)為或；（2）的面積，答：的面積為；（3）設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則，解得，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸時，，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸時，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，三角形的面積公式，分類討論，坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離公式等有關(guān)知識；能求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．【類型四平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】例題：（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)沿箭頭所示的方向，依次得到點(diǎn)，，，，，…，則的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】由圖可得，，，，，…，當(dāng)n能夠被3整除時，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)得，點(diǎn)按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，則，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，即可得．【詳解】解：由圖可得，，，，，…當(dāng)n能夠被3整除時，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，∴，∵點(diǎn)在點(diǎn)的上方，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵找出圖形的變化規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)A從出發(fā)，向上運(yùn)動1個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，分裂為兩個點(diǎn)，分別向左、右運(yùn)動到點(diǎn)C，D，此時稱動點(diǎn)A完成第一次跳躍；再分別從C，D點(diǎn)出發(fā)，每個點(diǎn)重復(fù)上面的運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)G，H，I，此時稱動點(diǎn)A完成第二次跳躍；依此規(guī)律跳躍下去，動點(diǎn)A完成第2023次跳躍時，最右邊一個點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意找到點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律即可．【詳解】解：由題意可得：A、D、I．．．每完成一次跳躍，最右邊一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加2，到達(dá)點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加1，則動點(diǎn)A完成第2023次跳躍時，最右邊一個點(diǎn)縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的探索．根據(jù)題意尋找變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個點(diǎn)的坐標(biāo)為(

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A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，把第一個點(diǎn)作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，由，可知第40個點(diǎn)的坐標(biāo)在第9列，從上往下第4個點(diǎn)，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由題意知，把第一個點(diǎn)作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，∵，∴第40個點(diǎn)的坐標(biāo)在第9列，從上往下第4個點(diǎn)，坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)規(guī)律的探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】對奇數(shù)點(diǎn)，偶數(shù)點(diǎn)分開討論，找出點(diǎn)坐標(biāo)與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，由開始的幾個點(diǎn)坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論．4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，把一條長為a個單位長度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當(dāng)時，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）當(dāng)時，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出四邊形的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長為，∴細(xì)線繞一圈的長度為10，∵，∴當(dāng)時，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)與點(diǎn)重合，坐標(biāo)為：；∵，∴當(dāng)時，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)在點(diǎn)下方1個單位長度處，即為：；故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形的周長。【類型五平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過第二次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)一個循環(huán)，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)一個循環(huán)，，∵點(diǎn)，長方形的周長為：，∴經(jīng)過505次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．∴的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查探究點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的變化規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直角三角形，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，將按如圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經(jīng)過的路程恰好為的周長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經(jīng)過的路程恰好為的周長：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：同理：從到經(jīng)過的路程恰好為：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：…∴、、、…、的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵∴的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵與的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與規(guī)律．根據(jù)題意確定坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)的位置，則的橫坐標(biāo)為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點(diǎn)坐標(biāo)可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，按照此規(guī)律，求出的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，，，，，，，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，，，，的橫坐標(biāo)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)和題意，找出坐標(biāo)規(guī)律．【類型六平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P伴隨點(diǎn)．已知點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，…，這樣依次得到點(diǎn)，，，…，，…．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵的坐標(biāo)為，∴，，，，…．依此類推，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)依次循環(huán)，∵,∴點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義并求出每4個點(diǎn)為一個循序組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)．……以此類推，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的坐標(biāo)為和友好點(diǎn)的定義，順次寫出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，……以此類推，∴，，，（n為自然數(shù)），∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，．在平面直角坐標(biāo)系中有三個點(diǎn)，，，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為（即，，三點(diǎn)共線，且），關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對稱點(diǎn)重復(fù)前面的操作，依次得到，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可求得點(diǎn)至點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察各點(diǎn)坐標(biāo)，可知每個點(diǎn)循環(huán)一次，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)與已知某個點(diǎn)的坐標(biāo)相同．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．根據(jù)題意，得解得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理可得，，，，．觀察各點(diǎn)坐標(biāo)可知，點(diǎn)至點(diǎn)為一個循環(huán)，即每個點(diǎn)循環(huán)一次．∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相同．∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得某點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)到軸、軸的距離之差的絕對值等于點(diǎn)到軸、軸的距離之差的絕對值，則稱兩點(diǎn)互為“等差點(diǎn)”．例如．點(diǎn)與點(diǎn)到軸、軸的距離之差的絕對值都