蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.6 圓的對(duì)稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.6圓的對(duì)稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5的圓O中，，是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且，則的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是⊙的弦，且，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江杭州·二模）如圖，是的弦，是的直徑，于點(diǎn)．在下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024·陜西西安·一模）如圖，在內(nèi)，以弦為邊作等邊，的延長(zhǎng)線交于兩點(diǎn)，過作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．9 C．10 D．125．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，的半徑為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，以為一條直角邊，使，，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．6．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，AB是半圓O的直徑，以弦AC為折痕折疊后，恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則等于（

）

A．120° B．125° C．130° D．145°7．（18-19九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，⊙的直徑，是圓上任一點(diǎn)（、除外），的平分線交⊙于，弦過、的中點(diǎn)、，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．8．（2024·江西九江·三模）如圖1，是的直徑，C是上的一點(diǎn)，連接，D是上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，若P是圖象的最高點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）

A．10 B．6 C．5 D．9．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的上兩動(dòng)點(diǎn)，且，P為弦CD的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積的最大值是（

）

A．8 B．6 C．4 D．310．（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，．點(diǎn)F是弧上動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)B、C不重合，P是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）如圖，的半徑為，弦的長(zhǎng)是，，垂足為，則的長(zhǎng)為．12．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為．13．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半徑長(zhǎng)為4的上，點(diǎn)分別是弦，弦的中點(diǎn)，連接，若弧的度數(shù)為，弧的度數(shù)為，則的長(zhǎng)度為．14．（2023·廣東珠?！と＃┤鐖D，是的外接圓，交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，，則的面積是．15．（23-24九年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在中，圓心角是的中點(diǎn)，作，與交于，則圖中與相等的線段有條．16．（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，為的外接圓，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且垂直于點(diǎn)，若的半徑為cm，cm，則與的長(zhǎng)度之比為．

17．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，為的弦，點(diǎn)A在內(nèi)（點(diǎn)、A在弦的同一側(cè)），連接、，若線段的長(zhǎng)為8，線段的長(zhǎng)為12，的度數(shù)與的度數(shù)相等，均為，則弦的長(zhǎng)為．

18．（22-23九年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，點(diǎn)M是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在半徑OM和上，，，，則的半徑為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，以的邊上一點(diǎn)為圓心的圓，經(jīng)過、兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)，為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交于，若．（1）連接，求證：；（2）若，，求的半徑．20．（8分）（2024·上海靜安·二模）已知：如圖，是的直徑，、、是的弦，．

（1）求證：；（2）如果弦長(zhǎng)為8，它與劣弧組成的弓形高為2，求的長(zhǎng)．21．（10分）（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)E，．（1）寫出圖中一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形；（2）求證：；（3）若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．22．（10分）（22-23九年級(jí)上·湖北十堰·期中）如圖，是的直徑，為上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑長(zhǎng)．23．（10分）（21-22九年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．

（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．24．（12分）（20-21九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長(zhǎng)；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（∠NPB=45°不變），的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出其范圍．參考答案：1．D【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．作于M，于N，連接，，首先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后判定四邊形是正方形即可得到答案．【詳解】解：作于M，于N，連接，，由垂徑定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，故選：D．2．D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．此題考查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，故選：D3．D【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂徑定理、圓周角定理判斷求解即可．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理可以得到，故選項(xiàng)A不符合題意；∵是的直徑，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴，∵∴,故選項(xiàng)C不符合題意；∵無法證明，∴選項(xiàng)D符合題意．4．C【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理．由等邊得到，從而，進(jìn)而，，根據(jù)垂徑定理得到，從而，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵∴，∴，∴，∴，∵過圓心O，且，∴，∴，∴在等邊中，．故選：C5．A【分析】本題考查了垂徑定理，三角形的面積，勾股定理，過點(diǎn)作于，由垂徑定理得，由勾股定理得，利用三角形的等面積法求得，再由勾股定理得，進(jìn)而得，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，則，，

∵的半徑為，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．6．A【分析】連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接OC，BC，過O作OE⊥AC于D交圓O于E，

∵把半圓沿弦AC折疊，恰好經(jīng)過點(diǎn)O，∴OD=OE，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴OD∥BC，∵OA=OB，∴OD=BC，∴BC=OE=OB=OC，是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．A【詳解】∵是的角平分線，∴，∴弧弧，∴，又∵是直徑，∴，即為等腰直角三角形．連接，交于點(diǎn)，則，∵，是，的中點(diǎn)，∴，∴，，連接根據(jù)勾股定理，得，．故答案為．故選．8．C【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題和垂徑定理，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，由圖象可知此時(shí)，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可列方程，求出，得，從而可求出【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，結(jié)合圖象知，，，設(shè)，則，在中，∴解得，∴∴故選：C9．D【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，確定，再由題意得出當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好垂直時(shí)，垂足為點(diǎn)E，此時(shí)即為三角形的最大高，連接，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵的底邊為定值，∴使得底邊上的高最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線恰好垂直時(shí)，垂足為點(diǎn)E，此時(shí)即為三角形的最大高，連接，

∵，的半徑為1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，確定出高的最大值是解題關(guān)鍵．10．C【分析】本題主要考查了圓的對(duì)稱性，垂徑定理，勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，連接，利用垂徑定理可得是的垂直平分線，則；利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，可得不等式（當(dāng)D，P，F(xiàn)在一條直線上時(shí)取等號(hào)），結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，∵為的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴．∴．∵P是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，，∴是的垂直平分線，∴．∵，∴，∵（當(dāng)D，P，F(xiàn)在一條直線上時(shí)取等號(hào)），點(diǎn)F是弧BC上動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)B、C不重合，∴直徑，∴．故選：C．11．【分析】本題考查了垂徑定理，和勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理得出，再用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵弦的長(zhǎng)是，，∴，又∵半徑為，，∴，∴，故答案為．12．【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．13．【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形中位線定理以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角，連接，作于點(diǎn)，根據(jù)已知得，可得，，所以，再根據(jù)是的中位線，即可得出答案．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)，∵弧的度數(shù)為，弧的度數(shù)為，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)分別是弦，弦的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故答案為：．14．40【分析】由，得，結(jié)合，推出是的中位線，是的中位線，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，得到的長(zhǎng)，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角知道，從而利用即可求得面積．【詳解】為的中位線又，點(diǎn)是中點(diǎn)即為中點(diǎn)是的中位線是直徑的面積故答案為：40．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線，圓周角定理及其推論，勾股定理，二項(xiàng)式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．3【分析】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定；連接，，根據(jù)圓心角、弧的關(guān)系求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，圖中與相等的線段有條，故答案為：．16．【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接，根據(jù)題意可得：，根據(jù)垂徑定理得出，進(jìn)而得出，再得出，，即可得出答案．【詳解】解：連接，

根據(jù)題意可得：，∵cm，∴，∴，∴，，∴．故答案為：．17．20【分析】延長(zhǎng)交于D，根據(jù)，易證得是等邊三角形，由此可求出，的長(zhǎng)；過O作的垂線，設(shè)垂足為E；在中，根據(jù)的長(zhǎng)及的度數(shù)易求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)；由垂徑定理知，由此得解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于D，作于E．

∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：20．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，垂徑定理的應(yīng)用，難度適中．解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形．18．【分析】連接，易得點(diǎn)A在上，在中根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理得到，在中可得直徑，即可得到半徑．【詳解】解：連接，∵是圓的直徑，∴，∵，∴點(diǎn)A在上，∵點(diǎn)M是半圓的中點(diǎn)，∴，∴，在中∵，，∴，∴在中，的半徑為,故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理，勾股定理及直徑所對(duì)圓周角是直角，解題關(guān)鍵是得到點(diǎn)A在上．19．(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．（1）連接，由圓的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得，由垂徑定理可得，然后借助角關(guān)系轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；（2）在由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：連接，，，，，為的下半圓弧的中點(diǎn)，，，，；（2）在中，，，（不合題意舍去）或，的半徑為．20．(1)見解析(2)10【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接運(yùn)用證明，可得出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為，在中，運(yùn)用勾股定理列出方程求出的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接如圖，

∵∴∴∵∴∴∵∴，∴；（2）解：設(shè)的半徑為，則，又，∴，在中，，即：，解得，，∴.21．(1)(2)詳見解析(3)【分析】本題考查了圓的概念及性質(zhì)的應(yīng)用，垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）由得，再證明，從而證明出；（2）由垂徑定理可得結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理得出，再由垂徑定理得出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：，，，，，，，，∴．故答案為：．（2）證明：∵，，．（3）解：，，，，，，，．22．(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)半徑相等可得，等量代換得到，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理得到，再證明得到，然后利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：過點(diǎn)作于，如下圖，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．23．(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)等腰三角形的判定可得；（2）利用圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及垂徑定理證得，可得，再結(jié)合三角形中位線定理可得答案．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵弦，是直徑，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接，，

∵，∴，即，∴，又∵，，∴，，則，又∵，∴，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理、圓周角定理以及圓心角、弦、弧、圓心距之間的關(guān)系定理，掌握垂徑定理、圓周角定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理是正確解答的前提．24．（1）；（2）；（3）不變，值為【分析】（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=OP=，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計(jì)算出NH=，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2；（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計(jì)算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt