蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.11一元二次方程(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專(zhuān)題1.11一元二次方程（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】一般形式：（其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，）.【知識(shí)點(diǎn)2】一元二次方程的解法：（1）一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法.（2）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒(méi)有要求，一般不用配方法.【知識(shí)點(diǎn)3】一元二次方程的根的判別式：（1）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（4）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)4】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個(gè)根，則,.【知識(shí)點(diǎn)5】實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（1）列一元二次方程解應(yīng)用題步驟：①審：審的目的找等量關(guān)系，注意找關(guān)鍵詞；②設(shè)：有直接設(shè)法與間接設(shè)法，注意要帶單位；③列：由等量關(guān)系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；④解：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；⑤檢：一是檢驗(yàn)是否正確，二是結(jié)合實(shí)際是否有意義；⑥答：寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案。常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系①傳播問(wèn)題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數(shù)；②增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式；（x是平均增長(zhǎng)率，n增長(zhǎng)次數(shù)）③幾何問(wèn)題：涉及三角形全等，勾股定理，各種規(guī)則圖形面積公式，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等等；④數(shù)字問(wèn)題：主要與數(shù)字與位數(shù)的關(guān)系；比如：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字；⑤商品銷(xiāo)售問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；售價(jià)=進(jìn)價(jià)（1+利潤(rùn)率）；總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本=單件利潤(rùn)總銷(xiāo)量等等第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】一元二次方程及相關(guān)概念【例1】（23-24九年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：，其中m是方程的根【變式1】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為．【變式2】（2023九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是A．3 B．C． D．以上答案都不對(duì)【題型2】選擇合適（指定）的方法解一元二次方程【例2】（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）按照指定方法解下列方程：(1)（用直接開(kāi)平方法）(2)（用配方法）(3)（用求根公式法）(4)（用因式分解法）【變式1】（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）請(qǐng)用指定方法解下列方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）【變式2】（23-24九年級(jí)上·山西晉中·階段練習(xí)）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)【題型3】配方法的應(yīng)用【例3】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）先閱讀下列問(wèn)題，再按要求解答問(wèn)題：例題：求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，∴的最小值是9．（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求代數(shù)式的最大值；（3）小紅的爸爸要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)）的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形雞舍，雞舍一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為的柵欄圍成．如圖，設(shè)；請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)x取何值時(shí)，雞舍的面積最大？最大面積是多少？【變式1】（23-24八年級(jí)下·四川眉山·期中）已知、是實(shí)數(shù)，，．則、的大小關(guān)系是（）A． B． C．＜ D．＞【變式2】（2024·山東濱州·一模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根的情況為．【題型4】根的判別式【例4】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，求的值．【變式1】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）若實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，則＝．【題型5】根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式綜合【例5】（2023·湖北孝感·一模）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，（1）求的取值范圍：（2）若，試求的值．【變式1】（2022·湖北荊州·三模）定義為方程的特征數(shù)．若特征數(shù)為的方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為12，則k的值為（

）A．或4 B．4 C． D．或1【變式2】（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩根為，，當(dāng)k取到最小整數(shù)時(shí)，此時(shí)代數(shù)式的值為．【題型6】實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程【例6】（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期中）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．（1）若每件襯衫降價(jià)5元，則商場(chǎng)平均每天可售出襯衫______件，每天獲得的利潤(rùn)為_(kāi)_____元．（2）若商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)1200元，請(qǐng)計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（3）商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)有可能達(dá)到1400元嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)每件襯衫的利潤(rùn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問(wèn)甲行幾何．”大意是說(shuō)：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直往東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)甲走了多遠(yuǎn)（

）A．步 B．步 C．步 D．步【變式2】（2024·山西朔州·一模）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場(chǎng)空地上搭建舞臺(tái)，并設(shè)計(jì)了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺(tái)．舞臺(tái)區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長(zhǎng)為x米，則可列方程．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)根為，，且，求的值．【例2】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)下·福建漳州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，且為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【例2】（21-22九年級(jí)下·浙江·期末）若存在正實(shí)數(shù)y，使得，則實(shí)數(shù)x的最大值為（

）A． B． C．1 D．4專(zhuān)題1.11一元二次方程（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】一般形式：（其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，）.【知識(shí)點(diǎn)2】一元二次方程的解法：（1）一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法.（2）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒(méi)有要求，一般不用配方法.【知識(shí)點(diǎn)3】一元二次方程的根的判別式：（1）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（4）當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)4】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個(gè)根，則,.【知識(shí)點(diǎn)5】實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（1）列一元二次方程解應(yīng)用題步驟：①審：審的目的找等量關(guān)系，注意找關(guān)鍵詞；②設(shè)：有直接設(shè)法與間接設(shè)法，注意要帶單位；③列：由等量關(guān)系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；④解：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋虎輽z：一是檢驗(yàn)是否正確，二是結(jié)合實(shí)際是否有意義；⑥答：寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案。常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系①傳播問(wèn)題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數(shù)；②增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式；（x是平均增長(zhǎng)率，n增長(zhǎng)次數(shù)）③幾何問(wèn)題：涉及三角形全等，勾股定理，各種規(guī)則圖形面積公式，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等等；④數(shù)字問(wèn)題：主要與數(shù)字與位數(shù)的關(guān)系；比如：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字；⑤商品銷(xiāo)售問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；售價(jià)=進(jìn)價(jià)（1+利潤(rùn)率）；總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本=單件利潤(rùn)總銷(xiāo)量等等第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】一元二次方程及相關(guān)概念【例1】（23-24九年級(jí)上·湖南·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：，其中m是方程的根【答案】；【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值和一元二次方程的解的概念根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)一元二次方程的解的定義，得出代入計(jì)算即可．解：原式，，，．∵m是方程的根，∴即∴原式【變式1】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為．【答案】6【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，即，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．解：把代入，得，即，，故答案為6．【變式2】（2023九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是A．3 B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于的方程是一元二次方程，可得，，進(jìn)一步求解即可．解：根據(jù)題意，得，，解得．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且，特別要注意的條件．【題型2】選擇合適（指定）的方法解一元二次方程【例2】（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）按照指定方法解下列方程：(1)（用直接開(kāi)平方法）；(2)（用配方法）；(3)（用求根公式法）；(4)（用因式分解法）.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）開(kāi)平方得到，即可求出方程的解；（2）把原方程配方成，再利用開(kāi)平方法解方程即可；（3）寫(xiě)出，求出，代入即可得到方程的解；（4）移項(xiàng)后因式分解得到，則或，即可得到方程的解．（1）解：開(kāi)平方得，，∴或，解得；（2）解：原方程整理得．二次項(xiàng)系數(shù)化1，得：，配方，得：，即，兩邊開(kāi)平方，得，∴．（3）∵，∴，∴，∴；（4）移項(xiàng)得，，因式分解得，，∴或，解得【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的各種方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）請(qǐng)用指定方法解下列方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）配方法解方程即可；（2）公式法解方程即可．（1）解：，∴，∴，∴，∴，∴，；（2），，∴，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24九年級(jí)上·山西晉中·階段練習(xí)）用適當(dāng)方法解下列方程：；(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．（1）解：，因式分解得，，∴，∴；（2）解：，，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【題型3】配方法的應(yīng)用【例3】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）先閱讀下列問(wèn)題，再按要求解答問(wèn)題：例題：求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，∴的最小值是9．（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求代數(shù)式的最大值；（3）小紅的爸爸要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)）的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形雞舍，雞舍一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為的柵欄圍成．如圖，設(shè)；請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)x取何值時(shí)，雞舍的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)4；(2)4；(3)當(dāng)時(shí)，花園的面積最大，最大面積是【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用：（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根據(jù)題意列出關(guān)系式，配方后根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．（1）解：，∵，∴，∴的最小值是4．（2），∵，∴，∴，∴的最大值是4．（3）設(shè)，則，由題意，得花園的面積是，，，的最大值是50，此時(shí)，，符合題意，則當(dāng)時(shí)，花園的面積最大，最大面積是．【變式1】（23-24八年級(jí)下·四川眉山·期中）已知、是實(shí)數(shù)，，．則、的大小關(guān)系是（）A． B． C．＜ D．＞【答案】B【分析】判斷、的大小關(guān)系，把進(jìn)行整理，判斷結(jié)果的符號(hào)可得、的大小關(guān)系．考查了配方法的應(yīng)用；關(guān)鍵是根據(jù)比較式子的大小進(jìn)行計(jì)算；通常是讓兩個(gè)式子相減，若為正數(shù)，則被減數(shù)大；反之減數(shù)大．解：，，，，，故選：B【變式2】（2024·山東濱州·一模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根的情況為．【答案】方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】本題考查了根的判別式，計(jì)算方程根的判別式，判斷其符號(hào)即可，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．∵，∴，∴不論k為何值，，即，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故答案為：方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【題型4】根的判別式【例4】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了方程的根的定義以及根的判別式．（1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于的不等式，求出的取值范圍．（2）是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，則，代入，求得的值．（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，解得；（2）解：∵是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，則，則，即，解得：（舍去）或．故的值為．【變式1】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．分情況①當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)兩種情況，前者是一元一次方程，必定有解，后者根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，解不等式即可．解：①當(dāng)，即時(shí)，原方程化為，解得：，即符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，且，綜上所述：m的取值范圍是．故選：D【變式2】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）若實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，則＝．【答案】/【分析】本題考查解一元二次方程，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵是掌握換元思想，因式分解法解一元二次方程．設(shè)，原方程化為，解這個(gè)一元二次方程，可得的值是或，用判別式是非負(fù)數(shù)排除，得，最后整體代入求值即可．解：設(shè)，∵，即：，∴，∴，∴或，∴或，當(dāng)時(shí)，即：，∵，∴此時(shí)無(wú)解，舍去；∴，故答案為：．【題型5】根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式綜合【例5】（2023·湖北孝感·一模）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，（1）求的取值范圍：（2）若，試求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根，熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵．（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，得到，由此可求k的取值范圍；（2）由一元二次方程的解的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之和與兩根之差的關(guān)系，解出兩根，進(jìn)而求得k．（1）解：方程中，，，，由題意可知：，解得：；（2）∵是關(guān)于x的一元二次方程的根，∴，即，∵，∴，即：①．∵②，聯(lián)立①②解得：∴，解得：．【變式1】（2022·湖北荊州·三模）定義為方程的特征數(shù)．若特征數(shù)為的方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為12，則k的值為（

）A．或4 B．4 C． D．或1【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的方程，對(duì)于一元二次方程，若，是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，．根據(jù)方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為12，得△，，，然后根據(jù)列方程求解即可．解：根據(jù)題意可知，該方程為，方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為12，，，設(shè)兩實(shí)數(shù)根為，，則，，，整理得：，解得：，，，，故選：C【變式2】（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩根為，，當(dāng)k取到最小整數(shù)時(shí)，此時(shí)代數(shù)式的值為．【答案】/【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，．也考查了根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式，建立關(guān)于的不等式，求出的取值范圍，可得，將代入方程得到，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到即可．解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根的判別式，解得，取到的最小整數(shù)為，方程為，．故答案為：．【題型6】實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程【例6】（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期中）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加利潤(rùn)，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．（1）若每件襯衫降價(jià)5元，則商場(chǎng)平均每天可售出襯衫______件，每天獲得的利潤(rùn)為_(kāi)_____元．（2）若商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)1200元，請(qǐng)計(jì)算出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（3）商場(chǎng)每天要獲得利潤(rùn)有可能達(dá)到1400元嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)每件襯衫的利潤(rùn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)30，1050；(2)每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元；(3)無(wú)法達(dá)到，理由見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售的利潤(rùn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到每天的銷(xiāo)售量，然后由銷(xiāo)售量×每件盈利進(jìn)行解答．（2）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，利用襯衣平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售這種襯衣利潤(rùn)列出方程解答即可．（3）同樣列出方程，若方程有實(shí)數(shù)根則可以，否則不可以．解：（1）根據(jù)題意可得：商場(chǎng)平均每天可售出襯衫（件），每天獲得的利潤(rùn)為（元）．故答案為：30，1050；（2）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得，解得，，∵要盡快減少庫(kù)存，∴，答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元；（3）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，化簡(jiǎn)得，，∴方程無(wú)實(shí)根，∴1400元的利潤(rùn)無(wú)法達(dá)到【變式1】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問(wèn)甲行幾何．”大意是說(shuō)：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直往東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)甲走了多遠(yuǎn)（

）A．步 B．步 C．步 D．步【答案】C【分析】題目主要考查一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意作出如下圖所示，設(shè)經(jīng)秒二人在處相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步數(shù)．設(shè)經(jīng)x秒二人在B處相遇，這時(shí)乙共行走：，甲共行走：，，，又，，，解得：（舍去）或，，，即甲走了步，故選：C．【變式2】（2024·山西朔州·一模）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場(chǎng)空地上搭建舞臺(tái)，并設(shè)計(jì)了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺(tái)．舞臺(tái)區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長(zhǎng)為x米，則可列方程．

【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．若設(shè)正方形空地的邊長(zhǎng)為x米，則中間空白的長(zhǎng)為米，寬為米，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式即可列出方程．解：根據(jù)題意，得，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)根為，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出，把字母和數(shù)代入求出的取值范圍；（2）根據(jù)兩根之積為：，把字母和數(shù)代入求出的值．（1）解：，∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，∴，解得：；（2）∵方程的兩個(gè)根為