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文檔簡介
專題2.14直線與圓的位置關系(專項練習)(培優(yōu)練)一、單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(23-24九年級上·山東聊城·期中)在中,,,,若以C點為圓心、以13為半徑畫,則直線與的位置關系是()A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定2.(23-24九年級上·河北衡水·階段練習)如圖,是的直徑,是上一點,是外一點,過點作,垂足為,連接.若使切于點,添加的下列條件中,不正確的是(
)
A. B. C. D.3.(2024·重慶·模擬預測)如圖,以為直徑的與相切于點,且、、三點在同一直線上,過點作弦交圓于點,若,,則的長度為(
)A. B. C. D.4.(2024·四川南充·三模)如圖,過外一點作的兩條切線,,切點分別為,,與交于點,與交于點,為的直徑.若,,則的長為(
)A.2 B.3 C. D.5.(2024·湖北武漢·模擬預測)如圖,在中,,為中線,若,,設與的內切圓半徑分別為,,則的值為(
)A. B. C. D.6.(22-23九年級下·內蒙古赤峰·階段練習)如圖,內接于,是的直徑,,點D是劣弧上一點,連結,則的度數是()A. B. C. D.7.(2024·云南楚雄·模擬預測)如圖,是的直徑,點在上,過點作的切線交的延長線于點.若,,則的半徑為(
)A. B. C. D.8.(2024·河北·一模)如圖,三角板、量角器和直尺如圖擺放,三角板的斜邊與半圓相切于點,點B、D、E分別與直尺的刻度1、9、重合,則三角板直角邊的長為(
)A. B. C.5 D.69.(2023·重慶沙坪壩·二模)如圖,與相切于點,交直徑的延長線于點,為圓上一點,.若的長度為3,則的長度為(
).A. B. C. D.210.(23-24九年級上·四川綿陽·期末)如圖,的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上,與y軸交于C、D兩點,若與x軸相切,且,則半徑是(
)A.或5 B.5或6 C.或6 D.5二、填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.(23-24九年級上·北京海淀·階段練習)中,是的中點,以點為圓心作,若與邊有且僅有一個交點,則的半徑應滿足.12.(2024·河南周口·三模)已知一個等腰直角三角形,,,分別以A,B為圓心,以a的長為半徑作圓,兩圓的交點為點D,若的長度為2,則的長為.13.(2023·浙江衢州·中考真題)如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖,凹槽是矩形.當餐盤正立且緊靠支架于點A,D時,恰好與邊相切,則此餐盤的半徑等于cm.
14.(2023·山東煙臺·一模)如圖,,是的切線,是的直徑,延長,與的延長線交于點,過點作弦,連接并延長與圓交于點,連接,若,,則的長度為.15.(2023·浙江溫州·三模)如圖,在菱形中,是上的點,,連接,與過三點的相切于點,已知,則°.
16.(22-23九年級上·江蘇南京·期末)如圖,中,,,是邊上的高,,分別是,的內切圓,則與的面積比為.17.(23-24九年級上·浙江紹興·期末)如圖,為平面直角坐標的原點,直線與兩坐標軸交于兩點,,,若的圓心在直線上,且與所在直線相切,則圓心的坐標是.18.(22-23九年級上·四川南充·期末)如圖,在中,將劣弧沿弦折疊得弧,P是弧上一動點,過點P作弧的切線與交于C,D兩點,若⊙O的半徑為13,,則的長度最大值為.三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(8分)(2024·甘肅隴南·模擬預測)如圖,四邊形是平行四邊形,以為直徑的經過點D,與交于點E.連接,.作,與的延長線交于點F.(1)求證:是的切線;(2)求的度數.20.(8分)(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))如圖,為的切線,A為切點.直線與交于B、C兩點,,連接.
(1)求證:;(2)若,求的半徑.21.(10分)(2024·廣東梅州·模擬預測)如圖,P為外一點,為的切線,切點分別為A、B,直線交于點D、E,交于點C.(1)求證∶.(2)若,連接,求證:四邊形是菱形.22.(10分)(2024·山東青島·三模)如圖,以點為圓心,長為直徑作圓,在上取一點,延長至點,連接,,過點作交的延長線于點.(1)求證:是的切線;(2)若,,求的長.23.(10分)(23-24九年級上·福建廈門·期末)四邊形是菱形,點O為對角線交點,邊的垂直平分線交線段于點P(P不與O重合),連接,以點P為圓心,長為半徑的圓交直線于點E,直線與直線交于點F,如圖所示.(1)當時,求證:直線與相切;(2)當,時,求的度數;(3)在菱形的邊長與內角發(fā)生變化的過程中,若點C與E不重合,請?zhí)骄颗c的數量關系.24.(12分)(2024·廣東河源·模擬預測)綜合探究如1圖、2圖,已知,以為直徑作半圓O,半徑繞點O順時針旋轉得到,點A的對應點為C,當點C與點B重合時停止.連接并延長至點D,使得,過點D作于點E,連接.(1)如1圖,當點E與點O重合時,求證:是等邊三角形;(2)如2圖,若點P是線段上一點,連接,當與半圓O相切時,求證:.(3)當時,求的長.參考答案:1.C【分析】考查了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系和勾股定理,先根據題意可求出斜邊的長,再過點C作于點,設,則,根據勾股定理列出關于長的等式,求得的長,再根據勾股定理求得的長,與半徑相比較,即可得到直線與的位置關系.【詳解】解:,,,,如圖,過點C作于點,設,則,
此時有,即,解得:,此時,半徑為13,,直線與的位置關系是相交,故選:C.2.D【分析】本題考查切線的證明,涉及圓的切線的判定、平行線的判定與性質、圓的性質等知識,根據選項,逐項判定即可得到答案,熟記圓的切線的判定是解決問題的關鍵.【詳解】解:A、,,當時,則,即,根據切線的判定,切于點,該選項正確,不符合題意;B、,,則,,,當時,則,即,根據切線的判定,切于點,該選項正確,不符合題意;C、當時,,,,,即,根據切線的判定,切于點,該選項正確,不符合題意;D、當時,由得到,則是等腰三角形,無法確定,不能得到切于點,該選項不正確,符合題意;故選:D.3.D【分析】本題考查了切線的性質,直角三角形的性質,勾股定理,垂徑定理,連接,設與的交點為,由切線的性質得,進而由得,,根據,可得,再由垂徑定理得,,由得到,最后可由勾股定理求出即可求解,正確作出輔助線是解題的關鍵.【詳解】解:連接,設與的交點為,∵是的切線,∴,∴,∵,∴,,∵,,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∴,故選:.4.B【分析】此題重點考查切線的性質定理、切線長定理、等腰三角形的“三線合一”、直徑所對的圓周角是直角、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質等知識,正確地作出輔助線是解題的關鍵.連接,由切線長定理得,,則,,由為的直徑,得,,則,,再證明是等邊三角形,得,求得,則,可證明是等邊三角形,則,于是得到問題的答案.【詳解】解:連接,,分別與相切于點,,,,,,為的直徑,,,,,,,是等邊三角形,,,,,是等邊三角形,,故選:B.5.C【分析】此題考查了勾股定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,三角形的內切圓和面積,設的內切圓為,與分別相切于點,由,,得,,連接,由可得,即得,同理得,進而即可求解,正確地作出輔助線是解題的關鍵.【詳解】解:設的內切圓為,與分別相切于點,∵,,,∴,,∵為斜邊上的中線,∴,∴,連接,,,,,,則,∵,且,,,∴,解得,同理可得,,解得,∴,故選:C.6.C【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心,圓周角定理,先根據圓周角定理,由,則利用互余可計算出,然后根據圓內接四邊形的性質得到的度數,熟練掌握三角形的外心的定義與性質是解題的關鍵.【詳解】解:∵是的直徑,∴,∴,∵,∴.故選:C.7.C【分析】連接,根據圓的切線垂直于經過切點的半徑可得,根據等邊對等角可得,根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得,根據三角形內角和是求得,根據等角對等邊可得,設,根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方列出一元二次方程,解方程求出的值,即可求解.【詳解】解:連接,∵是的切線,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∴,設,則,在中,,即,整理得:,解得:,(舍去),即的半徑為.故選:C.【點撥】本題考查了切線的性質,三角形的外角性質,三角形內角和定理,等腰三角形的判定和性質,勾股定理,解一元二次方程等.掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.8.D【分析】本題考查了切線的性質,勾股定理,含的直角三角形等知識.熟練掌握切線的性質,勾股定理,含的直角三角形是解題的關鍵.由題意知,,,如圖,連接,則,,,由勾股定理得,,根據,計算求解即可.【詳解】解:由題意知,,,如圖,連接,∵三角板的斜邊與半圓相切于點,∴,,,由勾股定理得,,∵,∴,故選:D.9.B【分析】連接,根據,可得,進而有,結合與相切于點,可得,即可得,,在中,利用,可得,解方程即可求解.【詳解】連接,如圖,∵,∴,∴,∵與相切于點,∴,∴,∴,∴在中,,∵,,∴,∴,∵在中,,的長度為3,∴,∴(負值舍去),故選:B.【點撥】本題考查了圓周角定理,切線的性質,含30度角的直角三角形的性質,勾股定理等知識,掌握圓周角定理,切線的性質,是解答本題的關鍵.10.C【分析】如圖,設與軸相切于,連接,過點作于,連接,設,根據切線的性質及垂徑定理可得,,利用勾股定理列方程求出的值即可得答案.【詳解】如圖,設與軸相切于,連接,過點作于,連接,∵的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上,∴設,∵與軸相切于,,∴軸,,,∵,,∴,在中,,即,解得:,,∴或,∴半徑是或6,故選:C.【點撥】本題考查一次函數圖形上點的坐標特征、切線的性質、垂徑定理及勾股定理,熟練掌握垂徑定理,正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.11.或【分析】本題考查含角的直角三角形的性質,直線和圓的位置關系,掌握直線與圓的位置關系是解題的關鍵.過點D作的垂線,垂足為E,過點A作于點F,連接,根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可以得到,,利用勾股定理求出長,分為相切和當B在圓內部,點C在上或在外分類討論即可解題.【詳解】過點作的垂線,垂足為,過點作于點,連接,,,∵是的中點,,,,∵,∴,∴,,當,即時,與邊有且僅有一個交點,當在圓內部,點在上或在外時,即時,與邊也有且僅有一個交點,∴當或,與邊有且僅有一個交點,故答案為:或.12.或【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質,勾股定理和圓的有關知識,學會分類討論是解題的關鍵;根據勾股定理求出,設與其垂直平分線的交點為E,分和兩種情況討論,根據直角三角形的勾股定理分別求解即可.【詳解】以A,B為圓心,以a的長為半徑作圓,兩圓的交點D在AB的垂直平分線上.∵,,,如圖,
設與其垂直平分線的交點為E,則,當的長為2時,如圖,即,①在中,,②在中,,綜上,的長為或.故答案為:或13.10【分析】連接,過點作,交于點,交于點,則點為餐盤與邊的切點,由矩形的性質得,,,則四邊形是矩形,,得,,,設餐盤的半徑為,則,,然后由勾股定理列出方程,解方程即可.【詳解】由題意得:,,如圖,連接,過點作,交于點,交于點,
則,餐盤與邊相切,點為切點,四邊形是矩形,,,,四邊形是矩形,,,,,設餐盤的半徑為,則,,在中,由勾股定理得:,即,解得:,餐盤的半徑為,故答案為:10.【點撥】本題考查了切線的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識,熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.14.【分析】設交于點,連接,由切線的性質得,設的半徑為,則,,由勾股定理求得,再根據圓周角定理得,由平行線的性質推出,利用垂徑定理可得,由三角形的面積求得,再求出,利用勾股定理求得即可.【詳解】解:如圖,設交于點,連接,是的切線,,,設的半徑為,則,,在中,由勾股定理得,即,解得:,為直徑,,,,,,,,,在中,由勾股定理得,,故答案為:.【點撥】本題考查了切線的性質,圓周角定理,垂徑定理,勾股定理,熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵.15.15【分析】如圖,連接,,證明為直徑,即,,三點共線,四邊形為平行四邊形,;,結合為的切線,可得,從而可得答案.【詳解】解:如圖,連接,,
∵,∴為直徑,即,,三點共線,∵菱形,,∴,,,,∴四邊形為平行四邊形,;∴,∴,∵,∴,∴,∵為的切線,∴,∴,∵,,∴,∴,∴.故答案為:【點撥】本題考查的是菱形的性質,平行四邊形的判定與性質,圓的基本性質,切線的性質,熟練的掌握圖形的基本性質是解本題的關鍵.16./【分析】本題考查了勾股定理,三角形的內切圓性質,圓的面積,先用勾股定理求得得長,再利用內切圓性質求得圓的半徑,繼而求得面積計算即可.【詳解】∵,,是邊上的高,∴,,∴,,設與的半徑分別為x,y,則∴,,解得,∴與的面積比為,故答案為:.17.或【分析】本題考查切線的性質、勾股定理、三角形和梯形的面積及一次函數圖像上點的坐標特征,根據的圓心在直線上設,分點在直線下方和點在直線上方兩種情況,利用切線的性質及三角形面積公式和梯形面積公式列方程求出的值即可得答案.【詳解】解:如圖,當點在直線下方時,作,連接、,∵,,∴,∵的圓心在直線上,∴設,∵與所在直線相切于、,∴,,∴,,∵,∴,解得:,,∴.當點在直線上方時,連接、、,同理可得:,,∵,∴,∴,解得:,,∴,綜上所述:圓心的坐標是或,故答案為:或18.【分析】過點O作于點M,交于點N,交于點P,此時過點P的切線最長,連接,,根據垂徑定理得出,根據勾股定理求出,求出,根據勾股定理求出,即可得出答案.【詳解】解:過點O作于點M,交于點N,交于點P,此時過點P的切線最長,連接,,∵,∴,在中,根據勾股定理可得:,根據折疊可知,,∴,∵是弧的切線,∴,∴,,在中,根據勾股定理可得:,∴.故答案為:.【點撥】本題主要考查了垂徑定理,勾股定理,切線的性質,解題的關鍵是找出使最大時,點P的位置.19.(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質、切線的判定和性質以及圓周角定理,熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.(1)連接.先得出,進而得出,則,即可得出,即可得出結論;(2)連接,先推出,得出,再根據,得出,則,即可得出結論.【詳解】(1)證明:連接.∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵是的半徑,∴是的切線;(2)解:連接,在平行四邊形中∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴.20.(1)見解析(2)1【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質,全等三角形的判定與性質,正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.(1)由可得出,則,那么;根據已知條件我們不難得出,這樣就湊齊了角邊角,那么兩三角形就全等了.(2)根據切線的性質得在中,,,結合勾股定理列式計算,即可作答.【詳解】(1)證明:為的切線,.又,,,,,,,.又為直徑,,.(2)解:∵為的切線,A為切點.∴在中,,,∴設,則解得即⊙O的半徑為1.21.(1)見解析(2)見解析【分析】(1)連接,由,證明,,進而得證;(2)連接,連接,證明,得到,由為的切線得到,,證明,得到,則,得到,又由,即可證明四邊形是菱形.【詳解】(1)證明:如圖,連接,∵是直徑,∴即∵為的切線,∴,即.∴,∵∴,∴.(2)連接,連接,如圖,∵,∴,∵為的切線,∴,∴,∴∵為的切線,∴,,∵∴,∴∴∴,∵,∴四邊形是菱形.【點撥】此題考查了切線的性質、切線長定理、圓周角定理、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識,添加適當的輔助線是證明的關鍵.22.(1)詳見解析(2).【分析】本題考查了切線的判定與性質:過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線;也考查了圓周角定理的推論,正確的作出輔助線是解題的關鍵.(1)連接,如圖,根據圓周角定理得到,即,求得,得到,根據切線的判定定理得到是的切線;(2)根據勾股定理得到,求得,根據切線的性質得到,根據勾股定理即可得到結論.【詳解】(1)證明:連接,,如圖,為直徑,,即,又,,∴,,,即,是的半徑,是的切線;(2)解:,,,,,,,是的直徑,是的切線,是的切線;,,,解得.23.(1)見解析(2)(3)或【分析】(1)連接,根據菱形的性質得,,,有,根據垂直平分線的性質得,利用三角形內角和定理得.根據菱形的性質得點A在上即可.(2)由同弧所對圓周角相等得.結合菱形的性質得,可證得.由勾股定理逆定理得為直角三角形,且,利用即可求得.(3)設,分兩類討論:①當點E在延長線上時,可得:,以及,進一
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