蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.14 直線與圓的位置關(guān)系（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.14直線與圓的位置關(guān)系（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24九年級(jí)上·山東聊城·期中）在中，，，，若以C點(diǎn)為圓心、以13為半徑畫，則直線與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（23-24九年級(jí)上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，是外一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接．若使切于點(diǎn)，添加的下列條件中，不正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)，且、、三點(diǎn)在同一直線上，過點(diǎn)作弦交圓于點(diǎn)，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川南充·三模）如圖，過外一點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的直徑．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為中線，若，，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（22-23九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，點(diǎn)D是劣弧上一點(diǎn)，連結(jié)，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）A． B． C． D．8．（2024·河北·一模）如圖，三角板、量角器和直尺如圖擺放，三角板的斜邊與半圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)B、D、E分別與直尺的刻度1、9、重合，則三角板直角邊的長為（

）A． B． C．5 D．69．（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，與相切于點(diǎn)，交直徑的延長線于點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，．若的長度為3，則的長度為（

）．A． B． C． D．210．（23-24九年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖，的圓心M在一次函數(shù)位于第一象限中的圖象上，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，若與x軸相切，且，則半徑是（

）A．或5 B．5或6 C．或6 D．5二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24九年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）中，是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作，若與邊有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的半徑應(yīng)滿足．12．（2024·河南周口·三模）已知一個(gè)等腰直角三角形，，，分別以A，B為圓心，以a的長為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)D，若的長度為2，則的長為．13．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

14．（2023·山東煙臺(tái)·一模）如圖，，是的切線，是的直徑，延長，與的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作弦，連接并延長與圓交于點(diǎn)，連接，若，，則的長度為．15．（2023·浙江溫州·三模）如圖，在菱形中，是上的點(diǎn)，，連接，與過三點(diǎn)的相切于點(diǎn)，已知，則°．

16．（22-23九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，中，，，是邊上的高，，分別是，的內(nèi)切圓，則與的面積比為．17．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，為平面直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，直線與兩坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，，，若的圓心在直線上，且與所在直線相切，則圓心的坐標(biāo)是．18．（22-23九年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在中，將劣弧沿弦折疊得弧，P是弧上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作弧的切線與交于C，D兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為13，，則的長度最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024·甘肅隴南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E．連接，．作，與的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）求的度數(shù)．20．（8分）（24-25九年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）如圖，為的切線，A為切點(diǎn)．直線與交于B、C兩點(diǎn)，，連接．

（1）求證：；（2）若，求的半徑．21．（10分）（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，P為外一點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線交于點(diǎn)D、E，交于點(diǎn)C．（1）求證∶．（2）若，連接，求證：四邊形是菱形．22．（10分）（2024·山東青島·三模）如圖，以點(diǎn)為圓心，長為直徑作圓，在上取一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．23．（10分）（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期末）四邊形是菱形，點(diǎn)O為對(duì)角線交點(diǎn)，邊的垂直平分線交線段于點(diǎn)P（P不與O重合），連接，以點(diǎn)P為圓心，長為半徑的圓交直線于點(diǎn)E，直線與直線交于點(diǎn)F，如圖所示．（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線與相切；（2）當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（3）在菱形的邊長與內(nèi)角發(fā)生變化的過程中，若點(diǎn)C與E不重合，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系．24．（12分）（2024·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究如1圖、2圖，已知，以為直徑作半圓O，半徑繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)停止．連接并延長至點(diǎn)D，使得，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接．（1）如1圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求證：是等邊三角形；（2）如2圖，若點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，連接，當(dāng)與半圓O相切時(shí)，求證：．（3）當(dāng)時(shí)，求的長．參考答案：1．C【分析】考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系和勾股定理，先根據(jù)題意可求出斜邊的長，再過點(diǎn)C作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于長的等式，求得的長，再根據(jù)勾股定理求得的長，與半徑相比較，即可得到直線與的位置關(guān)系．【詳解】解：，，，，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)，設(shè)，則，

此時(shí)有，即，解得：，此時(shí)，半徑為13，，直線與的位置關(guān)系是相交，故選：C．2．D【分析】本題考查切線的證明，涉及圓的切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定即可得到答案，熟記圓的切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，，當(dāng)時(shí)，則，即，根據(jù)切線的判定，切于點(diǎn)，該選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，，則，，，當(dāng)時(shí)，則，即，根據(jù)切線的判定，切于點(diǎn)，該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，，，，即，根據(jù)切線的判定，切于點(diǎn)，該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，由得到，則是等腰三角形，無法確定，不能得到切于點(diǎn)，該選項(xiàng)不正確，符合題意；故選：D．3．D【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為，由切線的性質(zhì)得，進(jìn)而由得，，根據(jù)，可得，再由垂徑定理得，，由得到，最后可由勾股定理求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，設(shè)與的交點(diǎn)為，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：．4．B【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、切線長定理、等腰三角形的“三線合一”、直徑所對(duì)的圓周角是直角、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，由切線長定理得，，則，，由為的直徑，得，，則，，再證明是等邊三角形，得，求得，則，可證明是等邊三角形，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，，分別與相切于點(diǎn)，，，，，，為的直徑，，，，，，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，故選：B．5．C【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內(nèi)切圓和面積，設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，由，，得，，連接，由可得，即得，同理得，進(jìn)而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵為斜邊上的中線，∴，∴，連接，，，，，，則，∵，且，，，∴，解得，同理可得，，解得，∴，故選：C．6．C【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，先根據(jù)圓周角定理，由，則利用互余可計(jì)算出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到的度數(shù)，熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴．故選：C．7．C【分析】連接，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和是求得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，設(shè)，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，整理得：，解得：，（舍去），即的半徑為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等．掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形等知識(shí)．熟練掌握切線的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，如圖，連接，則，，，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，如圖，連接，∵三角板的斜邊與半圓相切于點(diǎn)，∴，，，由勾股定理得，，∵，∴，故選：D．9．B【分析】連接，根據(jù)，可得，進(jìn)而有，結(jié)合與相切于點(diǎn)，可得，即可得，，在中，利用，可得，解方程即可求解．【詳解】連接，如圖，∵，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴在中，，∵，，∴，∴，∵在中，，的長度為3，∴，∴（負(fù)值舍去），故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理，切線的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．10．C【分析】如圖，設(shè)與軸相切于，連接，過點(diǎn)作于，連接，設(shè)，根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．【詳解】如圖，設(shè)與軸相切于，連接，過點(diǎn)作于，連接，∵的圓心M在一次函數(shù)位于第一象限中的圖象上，∴設(shè)，∵與軸相切于，，∴軸，，，∵，，∴，在中，，即，解得：，，∴或，∴半徑是或6，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、切線的性質(zhì)、垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11．或【分析】本題考查含角的直角三角形的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作的垂線，垂足為E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，連接，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以得到，，利用勾股定理求出長，分為相切和當(dāng)B在圓內(nèi)部，點(diǎn)C在上或在外分類討論即可解題．【詳解】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，∵是的中點(diǎn),，，，∵，∴，∴，，當(dāng)，即時(shí)，與邊有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)在圓內(nèi)部，點(diǎn)在上或在外時(shí)，即時(shí),與邊也有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)或，與邊有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故答案為：或．12．或【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和圓的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)分類討論是解題的關(guān)鍵；根據(jù)勾股定理求出，設(shè)與其垂直平分線的交點(diǎn)為E，分和兩種情況討論，根據(jù)直角三角形的勾股定理分別求解即可．【詳解】以A，B為圓心，以a的長為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)D在AB的垂直平分線上．∵，，，如圖，

設(shè)與其垂直平分線的交點(diǎn)為E，則，當(dāng)?shù)拈L為2時(shí)，如圖，即，①在中，，②在中，，綜上，的長為或．故答案為：或13．10【分析】連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，，如圖，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

則，餐盤與邊相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，餐盤的半徑為，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．【分析】設(shè)交于點(diǎn)，連接，由切線的性質(zhì)得，設(shè)的半徑為，則，，由勾股定理求得，再根據(jù)圓周角定理得，由平行線的性質(zhì)推出，利用垂徑定理可得，由三角形的面積求得，再求出，利用勾股定理求得即可．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，是的切線，，，設(shè)的半徑為，則，，在中，由勾股定理得，即，解得：，為直徑，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．15．15【分析】如圖，連接，，證明為直徑，即，，三點(diǎn)共線，四邊形為平行四邊形，；，結(jié)合為的切線，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，

∵，∴為直徑，即，，三點(diǎn)共線，∵菱形，，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形，；∴，∴，∵，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練的掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．16．/【分析】本題考查了勾股定理，三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)，圓的面積，先用勾股定理求得得長，再利用內(nèi)切圓性質(zhì)求得圓的半徑，繼而求得面積計(jì)算即可．【詳解】∵，，是邊上的高，∴，，∴，，設(shè)與的半徑分別為x，y，則∴，，解得，∴與的面積比為，故答案為：．17．或【分析】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、三角形和梯形的面積及一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)的圓心在直線上設(shè)，分點(diǎn)在直線下方和點(diǎn)在直線上方兩種情況，利用切線的性質(zhì)及三角形面積公式和梯形面積公式列方程求出的值即可得答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，作，連接、，∵，，∴，∵的圓心在直線上，∴設(shè)，∵與所在直線相切于、，∴，，∴，，∵，∴，解得：，，∴．當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接、、，同理可得：，，∵，∴，∴，解得：，，∴，綜上所述：圓心的坐標(biāo)是或，故答案為：或18．【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，此時(shí)過點(diǎn)P的切線最長，連接，，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，此時(shí)過點(diǎn)P的切線最長，連接，，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)折疊可知，，∴，∵是弧的切線，∴，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最大時(shí)，點(diǎn)P的位置．19．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）連接．先得出，進(jìn)而得出，則，即可得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，先推出，得出，再根據(jù)，得出，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，在平行四邊形中∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．20．(1)見解析(2)1【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）由可得出，則，那么；根據(jù)已知條件我們不難得出，這樣就湊齊了角邊角，那么兩三角形就全等了．（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得在中，，，結(jié)合勾股定理列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）證明：為的切線，．又，，，，，，，．又為直徑，，．（2）解：∵為的切線，A為切點(diǎn)．∴在中，，，∴設(shè)，則解得即⊙O的半徑為1．21．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，由,證明，，進(jìn)而得證；（2）連接，連接，證明，得到，由為的切線得到，，證明，得到，則，得到，又由，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是直徑，∴即∵為的切線，∴，即．∴，∵∴，∴．（2）連接，連接，如圖，∵，∴，∵為的切線，∴，∴，∴∵為的切線，∴，，∵∴，∴∴∴，∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是證明的關(guān)鍵．22．(1)詳見解析(2)．【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，即，求得，得到，根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，如圖，為直徑，，即，又，，∴，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，是的直徑，是的切線，是的切線；，，，解得．23．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，有，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，利用三角形內(nèi)角和定理得．根據(jù)菱形的性質(zhì)得點(diǎn)A在上即可．（2）由同弧所對(duì)圓周角相等得．結(jié)合菱形的性質(zhì)得，可證得．由勾股定理逆定理得為直角三角形，且，利用即可求得．（3）設(shè)，分兩類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，可得：，以及，進(jìn)一