專題07 解題技巧專題：構造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題07解題技巧專題：構造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用平行線+角平分線構造新等腰三角形】 1【類型二過腰或底作平行線構造新等腰(邊)三角形】 12【類型三利用倍角關系構造新等腰三角形】 21【典型例題】【類型一利用平行線+角平分線構造新等腰三角形】例題：（2022秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關系是．【變式訓練】1．（2023春·重慶合川·八年級期末）如圖，在中，，是的角平分線，交AB于點F．的一個外角的平分線與的延長線交于點G．(1)求證：；(2)若，求的大?。?．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分交于點，過點作交的延長線于點．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點，且，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．3．（2023春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知平分且點M是射線上一動點，交射線于點N．

(1)當時，求的度數(shù)；(2)當時，求證：；(3)試探究線段之間的數(shù)量關系．4．（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．已知△ABC．(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖①，若點D是和的角平分線的交點，過點D作分別交，于E，F(xiàn)．填空：與的數(shù)量關系是______．請說明理由(2)猜想論證如圖②，若點D是外角和的角平分線的交點，其他條件不變，填：與的數(shù)量關系是______．請說明理由(3)類比探究如圖③，若點D是和外角的角平分線的交點．其他條件不變，則（1）中的關系成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出關系式，再證明．5．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【類型二過腰或底作平行線構造新等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【變式訓練】1．（2023春·廣東·八年級統(tǒng)考期末）已知，在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當點E為的中點時，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結(jié)論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點E為邊上任意一點時，確定線段與的大小關系，請你寫出結(jié)論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作，交于點F．（請你完成以下解答過程）．(3)【拓展結(jié)論，設計新題】在等邊三角形中，點E在直線上，點D在線段的延長線上，且，若的邊長為1，，求的長（直接寫出結(jié)果）．2．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)3．（2022春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）在等邊中，是的中點，，的兩邊分別交直線、于、．(1)問題：如圖1，當、分別在邊、上，，時，直接寫出線段與的數(shù)量關系；(2)探究：如圖2，當落在邊上，落在射線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出理由；(3)應用：如圖3，當落在射線上，F(xiàn)落在射線上時，，，則___________．【類型三利用倍角關系構造新等腰三角形】例題：（2022秋·黑龍江大慶·八年級大慶市第六十九中學?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點D．求證：．

【變式訓練】1．（2022春·浙江·八年級專題練習）在中，，(1)如圖①，當，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．請證明；(2)①如圖②，當，為的角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想并證明．3．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關系__________________；【類比運用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在邊上的E處