2021-2022學年新教材人教A版必修第二冊-7.2.1-復數(shù)的加減運算及其幾何意義-學案

7．2復數(shù)的四那么運算7．2.1復數(shù)的加、減運算及其幾何意義【問題1】復數(shù)集內(nèi)可進行復數(shù)的加減運算嗎？【問題2】復數(shù)的加減運算有什么運算法那么嗎？【問題3】復數(shù)的加減運算有什么幾何意義呢？1．復數(shù)的加、減法運算法那么設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2．復數(shù)加法的運算律(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．本質(zhì)：復數(shù)的加法與減法運算就是把兩個復數(shù)的實部與實部、虛部與虛局部別相加(減).2．混淆：復數(shù)的加、減運算，應注意以下幾點(1)一種規(guī)定：復數(shù)代數(shù)形式的加法法那么是一種規(guī)定，減法是加法的逆運算；特殊情形：當復數(shù)的虛部為零時，與實數(shù)的加法、減法法那么一致．(2)運算律：實數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復數(shù)集中仍成立．實數(shù)的移項法那么在復數(shù)中仍然成立．(3)運算結(jié)果：兩個復數(shù)的和(差)是唯一確定的復數(shù)．假設復數(shù)z1，z2滿足z1－z2>0，能否認為z1>z2?提示：不能，如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比擬大?。?．復數(shù)加、減法的幾何意義如下圖，設復數(shù)z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ,\s\up6(→))1，eq\o(OZ,\s\up6(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數(shù)z1＋z2對應，向量與復數(shù)z1－z2對應．類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內(nèi)點Z到點Z0的距離．1.兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù)嗎？2．復數(shù)加法的運算法那么類同于實數(shù)的加法法那么嗎？3．復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形嗎？4．(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)成立嗎？1．復數(shù)z1＝2－eq\f(1,2)i，z2＝eq\f(1,2)－2i，那么z1＋z2等于()A．0B．eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)iC．eq\f(5,2)－eq\f(5,2)iD．eq\f(5,2)－eq\f(3,2)i【解析】選C.z1＋z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i.2．向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1對應的復數(shù)為2－3i，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))2對應的復數(shù)為3－4i，那么向量對應的復數(shù)為________．【解析】＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.答案：1－i根底類型一復數(shù)的加法、減法運算(數(shù)學運算)1．a(chǎn)，b為實數(shù)，設z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當z1＋z2＝0時，復數(shù)a＋bi為()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i2．(2021·溫州高一檢測)假設復數(shù)z滿足z＋(5－6i)＝3，那么z的虛部是()A．－2iB．6iC．1D．63．復數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，那么z＝________．【解析】z1＝2＋bi，z2＝a＋i，所以z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.2．選D.z＝3－(5－6i)＝－2＋6i，那么z的虛部是6.3．方法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，因為z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.答案：4＋i.方法二：因為z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.答案：4＋i復數(shù)加、減運算的法那么(1)復數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算實質(zhì)就是將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實部與虛部，因此要準確地提取復數(shù)的實部與虛部．(2)復數(shù)的運算可以類比多項式的運算(類似于合并同類項)：假設有括號，括號優(yōu)先；假設無括號，可以從左到右依次進行計算．微提醒：當一個等式中同時含有|z|與z時，一般用待定系數(shù)法，設z＝x＋yi(x，y∈R).根底類型二復數(shù)加法的幾何意義(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)【典例】如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應復數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i，試求(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復數(shù)，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)；(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復數(shù)及eq\o(OB,\s\up6(→))的長度．【思路探求】要求某個向量對應的復數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量的相等直接給出所求的結(jié)論．【解析】(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).所以eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，它所對應的復數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).利用復數(shù)加減運算的幾何意義解題的技巧及常見結(jié)論(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理．(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復數(shù)作為工具運用于幾何之中．(2021·蘇州高一檢測)如圖，在復平面上，一個正方形的三個頂點A，B，O.對應的復數(shù)分別是1＋2i，－2＋i，0，那么這個正方形的第四個頂點C對應的復數(shù)為()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i【解析】選D.因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))對應的復數(shù)為1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以點C對應的復數(shù)為－1＋3i.綜合類型復數(shù)模的最值問題(數(shù)學運算、邏輯推理)代數(shù)法求復數(shù)模的最值【典例】復數(shù)z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，那么|z1－z2|的最大值為()A．3－2eq\r(2)B．eq\r(2)－1C．3＋2eq\r(2)D．eq\r(2)＋1【思路導引】根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式，求出復數(shù)z1－z2，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出復數(shù)模的最大值．【解析】選D.|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝eq\r(〔1－sinθ〕2＋〔1＋cosθ〕2)＝eq\r(3－2〔sinθ－cosθ〕)＝eq\r(3－2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))≤eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.利用代數(shù)法求復數(shù)模的最值，先根據(jù)復數(shù)的加減運算對復數(shù)進行運算，再結(jié)合其它數(shù)學知識求出最值．【加固訓練】復數(shù)z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，那么|z1－z2|的最大值為()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．6D．eq\r(6)【解析】選D.由題意，得|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝eq\r(〔cosθ－sinθ〕2＋4)＝eq\r(5－2sinθcosθ)＝eq\r(5－sin2θ)≤eq\r(6)，故|z1－z2|的最大值為eq\r(6).幾何法求復數(shù)模的最值【典例】如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\r(5)【解析】選A.設復數(shù)－i，i，－1－i在復平面內(nèi)對應的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.假設典例條件改為“設復數(shù)z滿足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．【解析】因為|z－3－4i|＝1所以復數(shù)z所對應點在以C(3，4)為圓心，半徑為1的圓上，由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是eq\r(32＋42)＋1＝6.復數(shù)的模的幾何意義：復數(shù)的模的幾何意義是復數(shù)所對應的點到原點的距離．利用此性質(zhì)，可把復數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結(jié)合，把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解．【加固訓練】設z∈C，且|z－i|＝|z－1|，那么復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點Z(x，y)的軌跡方程是________，|z＋i|的最小值是________．【解析】|z－i|＝|z－1|表示復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點Z到點A(0，1)，B(1，0)的距離相等，是線段AB的垂直平分線，所以點Z軌跡方程是x－y＝0.|z＋i|的最小值為點(0，－1)到直線x－y＝0的距離，所以|z＋i|min＝eq\f(\r(2),2).答案：x－y＝0eq\f(\r(2),2)1．(2021·杭州高一檢測)復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，那么z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i【解析】選B.z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.2．假設(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，那么a＋b＝()A．eq\f(7,5)B．－eq\f(11,5)C．－eq\f(18,5)D．5【解析】選B.(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3a－2b＝3，,b－a＝－5，))解得a＝eq\f(7,5)，b＝－eq\f(18,5)，故有a＋b＝－eq\f(11,5).3．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，假設向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)分別是3＋i，－1＋3i，那么eq\o(CD,\s\up6(→))對應的復數(shù)是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i【解析】選D.依題意有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq\o(CD,\s\up6(→))對應的復數(shù)為4－2i.4．復數(shù)z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，假設z1＋z2是純虛數(shù)，那么實數(shù)a＝________．【解析】由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{(