2020年湖南省郴州市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2020年郴州市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)（試卷卷）

第I卷（共24分）

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.如圖表示互為相反數(shù)的兩個點是（）

BD

I______|_

-3-2-10123

A.點A與點BB.點A與點￡）C.點C與點3D.點C與點。

2.2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可提供高

精度的授時服務(wù)，授時精度可達10納秒（1秒=1000000000納秒）用科學(xué)記數(shù)法表示10納秒為（）

Alxl（y8秒B.lxlCf9秒C.10x10—9秒D.0.1x10—9秒

3.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

?

4.下列運算正確的是()

A.(-a)4=a4B.a2-a3=a6C.網(wǎng)—丘=娓D.2a3+3〃=5笳

5.如圖，直線被直線c,d所截下列條件能判定a//b的是（）

A.Nl=N3B.N2+N4=180

C.Z4=Z5D.Z1=Z2

6.某鞋店試銷一種新款男鞋，試銷期間銷售情況如下表：

鞋的尺碼（cm）2424.52525.52626.5

銷售數(shù)量（雙）27181083

則該組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，對鞋店下次進貨最具有參考意義的是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.方差

7.如圖1,將邊長為X的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個

長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形.這兩個圖能解釋下列哪個等式（）

A.犬？-2x+1—(x—I)?B.犬之一1=(%+l)(x—1)C.+2x+1=(x+1)^D.—x-x(x—1)

8.在平面直角坐標系中，點A是雙曲線弘=2（x〉0）上任意一點，連接A0,過點。作A0的垂線與雙曲線

X

y,=幺（％<0）交于點3,連接A5.已知四=2,則3=（）

xBO必2

第II卷（共106分）

二、填空題（每題3分，滿分24分，將答案填在答題紙上）

9.若分式—的值不存在，則X=________.

X+1

10.已知關(guān)于X一元二次方程2/—5x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則。=

11.質(zhì)檢部門從1000件電子元件中隨機抽取100件進行檢測，其中有2件次品.試據(jù)此估計這批電子元件中大約

有一件次品.

12.某5人學(xué)習(xí)小組在寒假期間進行線上測試，其成績（分）分別為：86,88,90,92,94.方差為$2=8.0.后來老

師發(fā)現(xiàn)每人都少加了2分，每人補加2分后，這5人新成績的方差$新2=.

13.小紅在練習(xí)仰臥起坐，本月1日至4日的成績與日期具有如下關(guān)系：

日期X（日）1234

成績y（個）40434649

小紅的仰臥起坐成績y與日期x之間近似為一次函數(shù)關(guān)系，則該函數(shù)表達式為一—

2

14.在平面直角坐標系中，將AAOB以點。為位似中心，j■為位似比作位似變換，得到AA0用.已知A（2,3）,則

點4的坐標是

側(cè)面展開圖的面積為60?，則圓錐主視圖的面積為

16.如圖，在矩形ABCD中，A￡>=4,A3=8.分別以點民。為圓心，以大于,初的長為半徑畫弧，兩弧相交于

2

點E和歹.作直線EF分別與DC,DB,AB交于點M,O,N,則MN=

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

卷考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.計算：d)T—2cos45+|1-V2|-(V3+1),

18.解方程:

x-1%--1

19.如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和產(chǎn)，使得AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.求

證：四邊形BED廠是菱形.

20.疫情期間，我市積極開展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)活動，并通過電視、手機APP等平臺進行教學(xué)視頻推送.某

校隨機抽取部分學(xué)生進行線上學(xué)習(xí)效果自我評價的調(diào)查（學(xué)習(xí)效果分為：A.效果很好；B.效果較好；C.效果

一般；。.效果不理想）并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

人數(shù)/個f80

7OrrT"6o".....................//、

BCD學(xué)習(xí)委員

（1）此次調(diào)查中，共抽查了名學(xué)生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中/a的度數(shù)；

（3）某班4人學(xué)習(xí)小組，甲、乙2人認為效果很好，丙認為效果較好，丁認為效果一般.從學(xué)習(xí)小組中隨機抽取2

人，貝卜'1人認為效果很好，1人認為效果較好”的概率是多少？（要求畫樹狀圖或列表求概率）

21.2020年5月5日，為我國載人空間站工程研制的長征五號運較火箭在海南文昌首飛成功.運載火箭從地面。處

發(fā)射、當(dāng)火箭到達點A時，地面。處的雷達站測得AD=4000米，仰角為30。.3秒后，火箭直線上升到達點3處,

此時地面C處的雷達站測得3處的仰角為45。.已知兩處相距460米，求火箭從A到3處的平均速度（結(jié)果

精確到1米，參考數(shù)據(jù)：8。1.732,71=1.414）

22.為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元/噸，乙物資單價為2萬

元噸，采購兩種物資共花費1380萬元.

(1)求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？

(2)現(xiàn)在計劃安排A3兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運輸這批物資.甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡

車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛3型卡車.按此要求安排A3兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運輸方案？

23.如圖，ABC內(nèi)接于。。，AB是。。的直徑.直線/與。。相切于點A,在/上取一點。使得ZM=DC.線

段。C,的延長線交于點E.

(1)求證：直線。C是。。的切線；

(2)若BC=2,NC43=30。，求陰影部分面積(結(jié)果保留萬).

24.為了探索函數(shù)丁=%+工(1>0)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法.

X

列表:

1j_

X12345

432

171055_101726

y2

TT22TTy

描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標，描出相應(yīng)的點，如圖1所

示：

5-

圖1圖2

(1)如圖1,觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖象；

(2)已知點(%,%),(&,%)在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：

若0<占</<1,貝U/%；

若1<%<%,則%_為；

若石?々=1,則/_%(填“>”，"="，“<”)?

(3)某農(nóng)戶要建造一個圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1米.已知底面造價為1千元/平

方米，側(cè)面造價為0.5千元/平方米，設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價為y千元.

①請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若該農(nóng)戶預(yù)算不超過3.5千元，則水池底面一邊的長X應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

25.如圖1,在等腰直角三角形ADC中，NADC=90,AD=4.點E是的中點,以DE為邊作正方形DEFG,

連接AG,CE.將正方形。E5G繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為e(0<e<90).

AAA

GDDCDC

圖1圖2圖3

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷AAGD與ACED是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=CD時，AG與EF交于點H,求GH的長.

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點P.

①求證：AG±CP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

26.如圖1,拋物線丁=以2+云+3(4/0)與％軸交于4—1,0),3(3,0),與y軸交于點C.已知直線,=丘+”過

5c兩點.

(1)求拋物線和直線的表達式；

(2)點尸是拋物線上的一個動點，

①如圖1,若點尸在第一象限內(nèi)，連接K4,交直線于點。.設(shè)APZJC的面積為Sj,AAOC的面積為邑，求

1t的最大值；

②如圖2,拋物線的對稱軸/與％軸交于點￡,過點石作石尸，8C,垂足為斤.點。是對稱軸/上的一個動點，

是否存在以點E,F,RQ為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點RQ的坐標；若不存在，請說明理由.

t'情'4>'iZ

\0尸\ZT\P\/7\

c)\/\C/\\

（圖1）（圖2）(備用圖)

2020年郴州市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)（試卷卷）

第I卷（共24分）

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.如圖表示互為相反數(shù)的兩個點是（）

ACBD

-3-2-10123

A.點A與點BB.點A與點￡）C.點C與點3D.點C與點。

【答案】B

【分析】

根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)定義求解即可.

【詳解】解：在-3,-1,2,3中，3和-3互為相反數(shù)，則點A與點D表示互為相反數(shù)的兩個點.

故選：B.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個

負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

2.2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可提供高

精度的授時服務(wù)，授時精度可達10納秒（1秒=1000000000納秒）用科學(xué)記數(shù)法表示10納秒為（）

A.1x10-8秒B.lxlCf9秒C.10x1。一?秒D.0.1x10—9秒

【答案】A

【分析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axlO-,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用

的是負整數(shù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】秒=1000000000納秒，

.1.10納秒=10+1000000000秒=0.00000001秒=1x10-8秒.

故選：A.

【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl。-',其中l(wèi)W|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不

為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

3.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

?B⑤

【答案】D

【分析】

根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖

形可得答案.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

4.下列運算正確的是（）

A.（一＜7）"=/B.a~-a3=a6C.yjs—A/2=y/60.2a3+3a1—5a5

【答案】A

【分析】

根據(jù)積的乘方、同底數(shù)騫的乘法、二次根式的減法以及合并同類項法則進行計算得出結(jié)果進行判斷即可.

【詳解】A.（-a）4=a4,計算正確，符合題意；

B.。2./="+3=。5,故本選項錯誤；

C.78-72=272-72=72,故本選項錯誤；

D.2a3+3/不能計算，故本選項錯誤；

故選：A.

【點睛】本題綜合考查了積的乘方、同底數(shù)累的乘法、二次根式的減法以及合并同類項，熟練掌握運算性質(zhì)和法則

是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線a力被直線c,d所截下列條件能判定「//的是()

A.Z1=Z3B.N2+N4=180

C.Z4=Z5D.Z1=Z2

【答案】D

【分析】

直接利用平行線的判定方法進而分析得出答案.

【詳解】A、當(dāng)/1=/3時，c〃d,不能判定2〃比故此選項不合題意；

B、當(dāng)/2+/4=180°時，c〃d,不能判定@〃1),故此選項不合題意；

C、當(dāng)N4=/5時，c//d,不能判定2〃9故此選項不合題意；

D、當(dāng)N1=N2時，a〃b,故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，正確掌握判定方法是解題關(guān)鍵.

6.某鞋店試銷一種新款男鞋，試銷期間銷售情況如下表：

鞋的尺碼(cm)2424.52525.52626.5

銷售數(shù)量(雙)27181083

則該組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，對鞋店下次進貨最具有參考意義的是()

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】C

【分析】

鞋店的經(jīng)理最關(guān)心的是各種鞋號的鞋的銷售量，特別是銷售量最大的鞋號.

【詳解】解：對這個鞋店的經(jīng)理來說，他最關(guān)注的是哪一型號的賣得最多，即是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

故選：C.

【點睛】本題考查對統(tǒng)計量的意義的理解與運用，能對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\用是解題的關(guān)鍵.

7.如圖1,將邊長為X的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個

長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形.這兩個圖能解釋下列哪個等式（）

M11*12

A.x-2x+1=(x-1)~B.x"-1—(x+1)(%-1)C.x~+2%+1=(x+1)?D.x~-x—x(x-1)

【答案】B

【分析】

利用大正方形的面積減去小正方形的面積得到空白部分的面積，然后根據(jù)面積相等列出等式即可.

【詳解】第一個圖形空白部分的面積是X2-1,

第二個圖形的面積是（X+1）（X-1）.

則x2-l=（X+1）（X-1）.

故選：B.

【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示空白部分的面積是解決問題的關(guān)鍵.

8.在平面直角坐標系中，點A是雙曲線％=2（x>0）上任意一點，連接AO,過點。作AO的垂線與雙曲線

%=8（x<0）交于點瓦連接已知也=2,則?=（）

xBO化2

D.-2

【答案】B

【分析】

分別作AEJ_x軸，BFJ_x軸，垂足分別為E,F,證明△AOEs^OBF得到多"=（士^/=4,結(jié)合反比例函數(shù)

S'BOFBO

的系數(shù)的幾何意義即可得到答案.

【詳解】解：過A作AE，x軸，過B作BF，x軸，垂足分別為E,F,如圖,

貝IJNAEO=NBFO=90°

ZAOE+ZOAE=90°

VZAOB=90°,

ZBOF+ZAOE=90°

.?.ZOAE=ZBOF,

AAOE^AOBF,

.S^AOE_[A。。_A

??or宜

,:勺>0,攵2<°，

故選：B.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，利用相似三角形的

s

判定與性質(zhì)表示出=4是解題的關(guān)鍵.

QARC尸

第II卷（共106分）

二、填空題（每題3分，滿分24分，將答案填在答題紙上）

9.若分式’的值不存在，則X=.

【答案】-1

【分析】

根據(jù)分式無意義的條件列出關(guān)于X的方程，求出X的值即可.

【詳解】???分式」一的值不存在，

X+1

x+l=O,

解得：x=-l,

故答案為:-1.

【點睛】本題考查的是分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母等于零是解答此題的關(guān)鍵.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程2f—5x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，貝1Jc=.

25

【答案】y

【分析】

利用判別式的意義得至U_=廿一4ac=(—5『一4x2c=0,然后解關(guān)于c的方程即可.

【詳解】b=-5,c=c,

根據(jù)題意得=/—4ac=(—5『一4x2c=0,

25

解得c，

8

故答案為：一25.

8

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程以2+陵+C=0(「wo)的根與_=尸-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)>

。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng).<0時，方程無實數(shù)根.

口.質(zhì)檢部門從1000件電子元件中隨機抽取100件進行檢測，其中有2件是次品.試據(jù)此估計這批電子元件中大約

有件次品.

【答案】20

【分析】

先求出次品所占的百分比，再根據(jù)生產(chǎn)這種零件1000件，直接相乘得出答案即可.

【詳解】：隨機抽取100件進行檢測，檢測出次品2件，

2

次品所占的百分比是：一xl00%=2%,

100

...這一批次產(chǎn)品中的次品件數(shù)是：：1000x2%=20m),

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查了用樣本估計總體，根據(jù)出現(xiàn)次品的數(shù)量求出次品所占的百分比是解題關(guān)鍵.

12.某5人學(xué)習(xí)小組在寒假期間進行線上測試，其成績（分）分別為：86,88,90,92,94,方差為1=8.0.后來老

師發(fā)現(xiàn)每人都少加了2分，每人補加2分后，這5人新成績的方差§新2=.

【答案】80

【分析】

根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動情況不變，即方差不變，即可得出答案.

【詳解】：一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上（或都減去）同一個常數(shù)后，它的平均數(shù)都加上（或都減去）這一個常

數(shù)，方差不變，

，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差為S新2=8。;

故答案為：8.0.

【點睛】本題考查方差的意義，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立，關(guān)鍵是掌握

一組數(shù)據(jù)都加上同一個非零常數(shù)，方差不變.

13.小紅在練習(xí)仰臥起坐，本月1日至4日的成績與日期具有如下關(guān)系：

日期X（日）1234

成績y（個）40434649

小紅的仰臥起坐成績y與日期x之間近似為一次函數(shù)關(guān)系，則該函數(shù)表達式為.

【答案】y=3x+37.

【分析】

利用待定系數(shù)法即可求出該函數(shù)表達式.

【詳解】解：設(shè)該函數(shù)表達式為y=kx+b,根據(jù)題意得：

k+b=40

<2k+b=43'

k=3

解得/cr，

[b=31

.,.該函數(shù)表達式為y=3x+37.

故答案為:y=3x+37.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，會利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

2

14.在平面直角坐標系中，將AAO3以點。為位似中心，!■為位似比作位似變換，得到用.已知42,3),則

點4的坐標是—

【分析】

直接利用位似圖形的性質(zhì)進而得出對應(yīng)點坐標即可.

2

【詳解】解：：將aAOB以點0為位似中心，§為位似比作位似變換，得到△AiOBi,A(2,3),

...點Ai的坐標是：||x2,gx3),

即Ait".

故答案為c.

【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.如圖，圓錐的母線長為10,側(cè)面展開圖的面積為60%,則圓錐主視圖的面積為.

【答案】48

【分析】

圓錐的主視圖是等腰三角形，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S=7irl代入數(shù)據(jù)求出圓錐的底面半徑長，再由勾股定理求出圓錐

的高即可.

【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S=7trl,圓錐的母線長為10,側(cè)面展開圖的面積為60兀，

故60兀=7txl()xr,

解得：r=6.

由勾股定理可得圓錐的高=Jl()2_62=8

..?圓錐主視圖是一個底邊為12,高為8的等腰三角形，

.?.它的面積=！><12x8=48,

2

故答案為：48

【點睛】本題考查了三視圖的知識，圓錐側(cè)面積公式的應(yīng)用，正確記憶圓錐側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在矩形ABCD中，AO=4,AB=8.分別以點5。為圓心，以大于工初的長為半徑畫弧，兩弧相交于

2

點E和尸.作直線EF分別與DC,DB,AB交于煎M,O,N,則MN=.

【答案】275

【分析】

連接DN,在矩形ABCD中，AD=4,AB=8,根據(jù)勾股定理可得BD的長，根據(jù)作圖過程可得，MN是BD的垂直

平分線，所以DN=BN,在RtAADN中，根據(jù)勾股定理得DN的長，在RtADON中，根據(jù)勾股定理得ON的長，進

而可得MN的長.

【詳解】如圖，連接DN,

在矩形ABCD中，AD=4,AB=8,

BD=7AB2+AD2=4行

根據(jù)作圖過程可知：

MN是BD的垂直平分線，

.\DN=BN,0B=0D=2逐,

AN=AB-BN=AB-DN=8-DN,

在RSADN中，根據(jù)勾股定理，得

DN2=AN2+AD2,

.\DN2=（8-DN）2+42,

解得DN=5,

在RtADON中，根據(jù)勾股定理，得

ON=JDN2_O￡>2=非,

:CD〃AB,

，ZMDO=ZNBO,

ZDMO=ZBNO,

VOD=OB,

AADMO^ABNO(AAS),

.-.0M=0N=^/5,

：.MN=2y/5.

故答案為：2逐.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段

垂直平分線的性質(zhì).

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

卷考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.計算：(g)T—2cos45+|1-V2|-(A/3+1)°

【答案】1

【分析】

根據(jù)負整指數(shù)騫的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值，零指數(shù)募的性質(zhì)，直接計算即可.

【詳解】(1)-1-2cos45+|1-V2|-(V3+1)0

=3-2x—+V2-1-1

2

=3-V2+V2-l-l

=1

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，包含零指數(shù)募，負整數(shù)指數(shù)募，絕對值及特殊角的余弦值等，靈活運用

是解題關(guān)鍵.

【答案】x=3.

【分析】

觀察可得方程最簡公分母為（X2-1）,去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，結(jié)果要檢驗.

【詳解】解：3=-匚+1

x-lX—1

去分母得，x（x+l）=4+x2-1

解得，x=3,

經(jīng)檢驗，x=3是原方程的根，

所以，原方程的根為：x=3.

【點睛】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意

要檢驗.

19.如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和尸，使得AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.求

證：四邊形3EDP是菱形.

【答案】見解析

【分析】

連接BD,由菱形ABCD的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,AC±BD,得出OE=OF,證出四邊形BEDF是平行四邊形,

再由EFLBD,即可證出四邊形BEDF是菱形.

【詳解】證明：連接BD,交AC于O,如圖所示：

:四邊形ABCD是菱形，

.?.OA=OC,OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,

.?.OE=OF,

四邊形BEDF是平行四邊形，

VEFXBD,

四邊形BEDF是菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì).

20.疫情期間，我市積極開展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)活動，并通過電視、手機APP等平臺進行教學(xué)視頻推送.某

校隨機抽取部分學(xué)生進行線上學(xué)習(xí)效果自我評價的調(diào)查（學(xué)習(xí)效果分為：A.效果很好；B.效果較好；C.效果

一般；。.效果不理想）并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中/a的度數(shù)；

（3）某班4人學(xué)習(xí)小組，甲、乙2人認為效果很好，丙認為效果較好，丁認為效果一般.從學(xué)習(xí)小組中隨機抽取2

人，貝卜'1人認為效果很好，1人認為效果較好”的概率是多少？（要求畫樹狀圖或列表求概率）

【答案】（1）200；（2）補全條形統(tǒng)計圖見解析，72。；（3）J.

6

【分析】

（1）用評價為“效果很好”的人數(shù)除以評價為“效果很好”的人數(shù)所占百分比即可得到抽查的總?cè)藬?shù)；

（2）首先求出評價為“效果一般”的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；用評價為“效果一般”的人數(shù)除以抽查的總?cè)藬?shù),

得到評價為“效果一般”的人數(shù)所占百分比乘以360?？傻玫絅oc；

（3）用A,B,C,D分別表示甲，乙，丙，丁四人，畫出樹狀圖（或列表）表示所有等可能的情況數(shù)，得到“1人

認為效果很好，1人認為效果較好”結(jié)果數(shù)，進而用概率公式求解即可.

【詳解】（1）80+40%=200（人），

故答案為：200；

（2）“C”的人數(shù)為：200-80-60-20=40（人）,

補全條形統(tǒng)計圖如下：

200

（3）用A,B,C,D分別表示甲，乙，丙，丁,

①畫樹狀圖如下：

共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的有2種,

21

AP（1人認為效果很好，1人認為效果較好）=—=-；

②列表如下

認為效果很好

ABCD

認為效果較好

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的有2種，

2I

AP（1人認為效果很好，1人認為效果較好）=—=-；

126

【點睛】本題考查了從條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，要

把兩圖形結(jié)合在一起進行解答.同時還考查了畫樹狀圖或列表求概率.

21.2020年5月5日，為我國載人空間站工程研制的長征五號運較火箭在海南文昌首飛成功.運載火箭從地面。處

發(fā)射、當(dāng)火箭到達點A時，地面。處的雷達站測得AD=4000米，仰角為30。.3秒后，火箭直線上升到達點3處,

此時地面C處的雷達站測得3處的仰角為45。.已知兩處相距460米，求火箭從A到5處的平均速度（結(jié)果

精確到1米，參考數(shù)據(jù)：百。1.732,0^1.414）

【答案】火箭從A到B處的平均速度為335米/秒.

【分析】

設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可得AB=3x,在Rt^ADO中，ZADO=30°,AD=4000,可得

A0=2000,00=200073,在RtZXBOC中，NBCO=45。，可得BO=OC,即可得2000+3x=2000百-460,進而解得

x的值.

【詳解】解：設(shè)火箭從A到B處平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可知：

AB=3x,

在RtZXADO中，ZADO=30°,AD=4000,

.?.A0=2000,

.,.DO=200073,

VCD=460,

.\OC=OD-CD=200073-460,

在RtZXBOC中，ZBCO=45°,

.?.BO=OC,

OB=OA+AB=2000+3x,

2000+3x=200073-460,

解得x-335（米/秒）.

答：火箭從A到B處的平均速度為335米/秒.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義.

22.為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元/噸，乙物資單價為2萬

元噸，采購兩種物資共花費1380萬元.

（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？

（2）現(xiàn)在計劃安排A8兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運輸這批物資.甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡

車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛3型卡車.按此要求安排A,3兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運輸方案？

【答案】（1）甲物資采購了300噸，乙物質(zhì)采購了240噸；（2）共有3種運輸方案，方案1：安排25輛A型卡車，

25輛B型卡車；方案2：安排26輛A型卡車，24輛B型卡車；方案3：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車.

【分析】

（1）設(shè)甲物資采購了x噸，乙物質(zhì)采購了y噸，根據(jù)“某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，且采購兩

種物資共花費1380萬元”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50-m）輛，根據(jù)安排的這50輛車一次可運輸300噸甲物質(zhì)及240

噸乙物質(zhì)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)即可得出各運

輸方案.

【詳解】解：（1）設(shè)甲物資采購了x噸，乙物質(zhì)采購了y噸,

x+y=540

依題意,

3x+2y=1380

戶300

解得：

y=240

答：甲物資采購了300噸，乙物質(zhì)采購了240噸.

（2）設(shè)安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50-m）輛,

7/Tz+5（50-m）>300

依題意,得：＜

+7（50-7”）2240

解得：25勺把27人

2

：m為正整數(shù)，

；.m可以為25,26,27,

，共有3種運輸方案，方案1：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車；方案2:安排26輛A型卡車，24輛B型卡車；

方案3：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正

確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組.

23.如圖，ABC內(nèi)接于。。，AB是。。的直徑.直線/與。。相切于點4,在/上取一點。使得ZM=DC.線

段。C,A6的延長線交于點E.

（1）求證：直線。。是。。的切線；

（2）若BC=2,ZCAB=30°,求陰影部分的面積（結(jié)果保留力）.

l)\

【答案】(1)見解析；(2)273

【分析】

(1)連接0C,根據(jù)OA=OC,D4=OC可得/OAC=/OCA,/DAC=/DCA,再根據(jù)直線/與。。相切于點A

可得NZMO=90。，進而可得乙DCO=90。，由此可證得直線。C是。。的切線；

2

(2)先證明BOC為等邊三角形，可得05二OC=2,根據(jù)扇形面積公式可求得S扇形30c=耳左，再利用含30°

的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得。石=26，由此可求得5根維=2百，最后便可得

2

S陰影=SMOE_S扇形30c=2J5.

【詳解】(1)證明：連接OC

?.?。4二OC

：.ZOAC=ZOCA,

9：DA=DC,

：.ZDAC=ZDCA,

??,直線/與。。相切于點A,

：.ZDAO=90°,

：.ZDAC+ZOAC=90°,

AZ￡)CA+ZOCA=90o,

AZDCO=90°,

??.OC±DC,

又??,點C在。。上，

???直線oc是。。的切線；

(2)解：???NCAB=30。,

：.ZCOB=2ZCAB^60°,

^9：OB=OC,

?BOC為等邊三角形,

0B=0C=BC=2,

_60?萬"_2

扇形B*=360=§"'

VZOCE=90°,ZCOB=60°,

ZE=90°-ZCOB=30°,

???OE=2OC=4,

???在Rt?COE中，CE=y]OE2-OC2=2^

***SMOE=E℃,OE

二：x2x2百

=2G)

?*,S陰影=S4COE~S扇形80c=20

...陰影部分的面積為2j§—2乃.

3

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定、扇形的面積公式以及含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切

線的性質(zhì)與判定、扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.

24.為了探索函數(shù)y=x+'(x>0)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法.

x

列表：

1J_

X12345

432

171055_101726

y2

TT22TT1~

描點：在平面直角坐標系中，以自變量X的取值為橫坐標，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標，描出相應(yīng)的點，如圖I所

示：

5-

4-

3■

21

1-

~~1~2~3~4~5_*

圖1圖2

(1)如圖1,觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖象；

(2)已知點(%,%),(&,%)在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：

若0<占</<1,貝U/%；

若1<X]<%,則%_為；

若石.々=1,則/_%(填“>”，"="，“<”)?

(3)某農(nóng)戶要建造一個圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1米.已知底面造價為1千元/平

方米，側(cè)面造價為0.5千元/平方米，設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價為y千元.

①請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若該農(nóng)戶預(yù)算不超過3.5千元，則水池底面一邊的長X應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【答案】⑴見解析；(2)>；<；=；(3)@y=x+-+l；②工VxV2.

x2

【分析】

(1)用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖象即可；

(2)觀察函數(shù)圖象可以看出有最低點，即函數(shù)有最小值，結(jié)合表格提供的信息即可解決問題；

(3)①根據(jù)底面面積可求出底面另一條邊長，進而可求出水池的側(cè)面積，分別表示出底面和側(cè)面的造價，從而可

表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②根據(jù)函數(shù)關(guān)系式結(jié)合表格可得出X的控制范圍.

【詳解】(1)如圖1所示；

y八

5

____A，11J.

~~1~2~3~4~5x

圖1

(2)根據(jù)圖象和表格可知，當(dāng)0<%</<1時，%>為；當(dāng)1<%<々，則為<為；當(dāng)為?々=1,貝U%=%；

(3)①?..底面面積為1平方米，一邊長為x米，

.?.與之相鄰的另一邊長為工米，

X

二水池側(cè)面面積的和為：1XXX2+1XLX2=2(X+L)

XX

V底面造價為1千元/平方米，側(cè)面造價為0.5千元/平方米，

y=1x1+2(%H—)x0.5—xH1

XX

即：y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+-+l；

X

②??,該農(nóng)戶預(yù)算不超過3.5千元，即y<3.5

1?一

x----F1V3.5

x

1-L

xH—V2.5,

X

根據(jù)圖象或表格可知，當(dāng)2<y<2.5時，^<x<2,

因此，該農(nóng)戶預(yù)算不超過3.5千元，則水池底面一邊的長工應(yīng)控制在.

2

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

25.如圖1,在等腰直角三角形ADC中，NADC=90,AD=4.點E是4。的中點，以O(shè)E為邊作正方形DEFG,

連接AG,CE.將正方形DEFG繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為e(0<a<90)

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷AAGD與ACED是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=CD時，AG與EF交干點H,求GH的長.

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點P.

①求證：AG±CP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)①全等，證明見解析；②生叵；(2)①證明見解析；②26+2.

15

【分析】

(1)①由等腰直角三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)根據(jù)全等三角形判定定理(SAS)即可證明；②過A點作AM,G。垂

足為M,交FE與N,利用等腰三角形三線合一性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求出AM的長，進而得出

cosZGAM=cosZAGF=巫,再由G"=———求出結(jié)果；

4cosZAGF

(2)①根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得NG4￡>=NECD,再在△APC和ADC中由三角形內(nèi)角和定理得出

ZGAD+ZECA+ZDAC=90°,從而證明結(jié)論；②根據(jù)NAPC=90。得出PC最大值是NG4D最大時，即GD±AG

時，進而可知CEF三點共線，尸與尸重合，求出此時CE長，繼而可得C尸最大值.

【詳解】解：(1)①全等，理