新人教A版必修一 函數(shù)的圖像 學(xué)案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修一函數(shù)的圖像學(xué)案

1.描點(diǎn)法作圖

方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、

周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì))；(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖像.

2.圖像變換

(1)平移變換

|y=/(x)+」|

上k(k>0)

移個(gè)單位

|>'=/(x+1)|二會(huì)卷—1t禁布|

I——I力個(gè)單位I——I力個(gè)單位1——]

">0)下碼>0)(〃>0)

移個(gè)單位

|y=f(x)1|

(2)對(duì)稱變換

①y=/(x)錯(cuò)誤!v=—f(無)；

不“、關(guān)于y軸對(duì)稱、

②尸危)---------?v=f(-X)；

③y=Ax)錯(cuò)誤!y=-f(―x)；

④y=cf(a>0且aWl)錯(cuò)誤!y=log〃無(a>0且aWl).

(3)伸縮變換

①y=7(x)錯(cuò)誤！y=*ax).

②y=兀0錯(cuò)誤!y=a《x).

(4)翻折變換

①y=Ax)錯(cuò)誤!y=I危v)|.

②(無)錯(cuò)誤!y=(IxI).

【知識(shí)拓展】

1.關(guān)于對(duì)稱的三個(gè)重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=/(x)與y=/(2a—尤)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與y=2b—式2a—x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,6)中心對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足：fia+x)=f(<J—x),則函數(shù)>=式尤)的圖像

關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

2.函數(shù)圖像平移變換八字方針

(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

r基礎(chǔ)自測(cè)

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打"或"X”)

(1)當(dāng)尤G(0,+8)時(shí)，函數(shù)y="(無)I與y=/(I尤|)的圖像相同.(義)

⑵函數(shù)y=獷(x)與y=f(ax)(a)0且a#l)的圖像相同.(X)

(3)函數(shù)y=/(x)與y=—/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(X)

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足TU+x)=/U—尤)，則函數(shù)/U)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱.(J)

題組二教材改編

2.函數(shù)式無)=尤+錯(cuò)誤!的圖像關(guān)于()

A.y軸對(duì)稱B.x軸對(duì)稱

C.原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

答案C

解析函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?一8,o)u(0,+°°)且式一x)=—/(x),即函數(shù)兀0為奇函數(shù),

故選C.

3.小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快

速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是()

答案C

解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖像為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故排除A。因交通堵

塞停留了一段時(shí)間,與學(xué)校的距離不變，故排除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故排除B.

故選C。

4.如圖，函數(shù)/(無)的圖像為折線ACB,則不等式次x)》log2(x+l)的解集是.

答案(-1,1]

解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=/(x)和y=k)g2(x+1)的圖像(如圖).由圖像知不等式的解

集是(-1』］.

題組三易錯(cuò)自糾

5.下列圖像是函數(shù)>=錯(cuò)誤!的圖像的是()

答案C

6.將函數(shù)y=/(—x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.

答案了(―x+1)

解析圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，是將/(—X)中的X變成X—1。

7.設(shè)無)=I1g(x—l)|,若0<。〈6且Kz)=f(b),則必的取值范圍是

答案(4,+8)

解析畫出函數(shù)/(無)=I1g(X—1)|的圖像如圖所示.

由/(a)=穴6)可得一lg(a—l)=lg(6—1),解得成=a+b>2錯(cuò)誤!(由于故取不到等

號(hào))，所以ab)4O

題型分類深度剖析

---------------------------------------------真題典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究---------------------------------------------

題型一作函數(shù)的圖像-------自主演練

作出下列函數(shù)的圖像：

(1)y=錯(cuò)誤!叫

(2)y=Ilog2(x+l)|；

(3)y=j^—2IxI—1.

解(1)作出y=錯(cuò)誤!”的圖像，保留y=錯(cuò)誤!%的圖像中x^O的部分，再作出>=錯(cuò)誤!尤的

圖像中元〉0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y=錯(cuò)誤！6的圖像，如圖①實(shí)線部分.

(2)將函數(shù)y=log2X的圖像向左平移1個(gè)單位，再將無軸下方的部分沿?zé)o軸翻折上去,即可得

到函數(shù)y=Ilog2(x+l)I的圖像，如圖②實(shí)線部分.

(3)錯(cuò)誤!且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)上的圖像，再根據(jù)對(duì)稱性作出

(-8,0)上的圖像，如圖③實(shí)線部分.

③

思維升華圖像變換法作函數(shù)的圖像

(1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖像,如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、森函

數(shù)、形如y=x+錯(cuò)誤！的函數(shù).

⑵若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱和伸縮得到，可利用圖像變

換作出，但要注意變換順序.

題型二函數(shù)圖像的辨識(shí).......》師生共研

典例(1)(2018屆東莞外國(guó)語學(xué)校月考)已知函數(shù)了(勸對(duì)任意的xGR有五彳)+八一x)=0,

且當(dāng)尤>0時(shí)，f(x)=ln(x+l),則函數(shù)/(無)的大致圖像為()

答案A

解析/G)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將y=lnx(x〉1)的圖像向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)

=ln(x+l)(x>0)的圖像.

(2)已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，則y=—/(2—x)的圖像

為()

答案B

解析方法一由y=/(x)的圖像知，

Kx)=錯(cuò)誤！

當(dāng)xd[0,2]時(shí)，2—xG[0,2],

所以/(2—x)=錯(cuò)誤！

故y=~f(2—x)=錯(cuò)誤！圖像應(yīng)為B。

方法二當(dāng)x=0時(shí)，一八2—無)=—八2)=—1；

當(dāng)X—1時(shí)，一f(2—X)——/(I)——1o

觀察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選B。

思維升華函數(shù)圖像的辨識(shí)可從以下方面入手

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)；

(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖像.

跟蹤訓(xùn)練(1)(2018屆全國(guó)名校聯(lián)考)函數(shù)y=錯(cuò)誤!3>1)的圖像的大致形狀是()

AB

答案C

解析y=錯(cuò)誤！（a>l）,對(duì)照?qǐng)D像選C.

⑵（2017?安徽“江南十?！甭?lián)考）函數(shù)尸log2（lxl+1）的圖像大致是（）

答案B

解析y=log2（|x|+l）是偶函數(shù)，當(dāng)x'O時(shí)，y=log2（x+l）是增函數(shù)，其圖像是由y=log2X

的圖像向左平移1個(gè)單位得到,且過點(diǎn)（0,0）,（1,1）,只有選項(xiàng)B滿足.

題型三函數(shù)圖像的應(yīng)用探

命題點(diǎn)1研究函數(shù)的性質(zhì)

典例（1）設(shè)函數(shù)>=錯(cuò)誤!，關(guān)于該函數(shù)圖像的命題如下：

①一定存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線平行于x軸；

②任意兩點(diǎn)的連線都不平行于y軸；

③關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

④關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

其中正確的是.

答案②③

解析y=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！=2+錯(cuò)誤！，圖像如圖所示，可知②③正確.

(2)(2017?沈陽一模)已知函數(shù)?x)=|log3%］,實(shí)數(shù)，，3〃滿足且/(M=j{n),若

＞)在［蘇，網(wǎng)上的最大值為2,則錯(cuò)誤！=.

答案9

解析作出函數(shù)/(x)=|log3x|的圖像，觀察可知且mn—1.

若/(x)在［蘇箝］上的最大值為2,

從圖像分析應(yīng)有/(m2)=2,.1.log3m2=-2,/.m2=＜T^!.

從而/"=錯(cuò)誤!,〃=3,故錯(cuò)誤！=9。

命題點(diǎn)2解不等式

典例函數(shù)/(x)是定義在［—4,4］上的偶函數(shù)，其在［0,4］上的圖像如圖所示，那么不等式錯(cuò)誤!

＜0的解集為.

答案錯(cuò)誤！U錯(cuò)誤！

解析當(dāng)xd錯(cuò)誤！時(shí),y=C0SX〉0.

當(dāng)錯(cuò)誤！時(shí)，y=cos尤＜0.

結(jié)合y=/(x),xe［0,4］上的圖像知，

當(dāng)1〈x＜錯(cuò)誤！時(shí),錯(cuò)誤！〈0.又函數(shù)＞=錯(cuò)誤!為偶函數(shù)，

所以在［—4,0］上，燃＜0的解集為錯(cuò)誤！，

所以錯(cuò)誤!＜0的解集為錯(cuò)誤！U錯(cuò)誤!.

命題點(diǎn)3求參數(shù)的取值范圍

典例(1)已知函數(shù)/(》)=錯(cuò)誤!若關(guān)于x的方程/(無)=上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上

的取值范圍是.

答案(0,1］

解析作出函數(shù)y=f(x)與＞=上的圖像，如圖所示，

O1\"

由圖可知上e(0,1].

(2)設(shè)函數(shù)人《)=Ix+aI,g(x)—x-l,對(duì)于任意的xdR,不等式/(x)2g(尤)恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案[―1,+°°)

解析如圖作出函數(shù)兀c)=Ix+aI與gCx)=x-l的圖像，觀察圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)一aWl,

即aN—1時(shí)，不等式/(x)Ng(x)恒成立，因此a的取值范圍是[—1,+8).

思維升華(1)注意函數(shù)圖像特征與性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(2)方程、不等式的求解可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)和上下關(guān)系問題.

跟蹤訓(xùn)練(1)已知函數(shù)式尤)=|x—2I+1,g(x)="若方程/(x)=g(x)有兩個(gè)不相等

的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

答案錯(cuò)誤！

解析先作出函數(shù)式X)=|X—2|+1的圖像，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=丘與直線AB平行

時(shí)斜率為1,當(dāng)直線g(x)=日過A點(diǎn)時(shí)斜率為3，故/(x)=g(X)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí),

上的取值范圍為錯(cuò)誤！。

(2)已知函數(shù)y=/(x)的圖像是圓/+產(chǎn)=2上的兩段弧，如圖所示，則不等式/(x)葉(一

x)—2x的解集是.

答案C-l,0)U(l,錯(cuò)誤!]

解析由圖像可知，函數(shù)無)為奇函數(shù)，故原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為大x)〉-X.

在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y=/(x)與>=—尤的圖像，由圖像可知不等式的解集為

(-1,0)U(1,錯(cuò)誤!].

?高頻小考點(diǎn)?

高考中的函數(shù)圖像及應(yīng)用問題

考點(diǎn)分析高考中考查函數(shù)圖像問題主要有函數(shù)圖像的識(shí)別，函數(shù)圖像的變換及函數(shù)圖像的應(yīng)

用等，多以小題形式考查，難度不大，常利用特殊點(diǎn)法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等解決.熟練

掌握高中涉及的幾種基本初等函數(shù)是解決前提.

一、函數(shù)的圖像和解析式問題

典例1(1)(2017?太原二模)函數(shù)式無)=錯(cuò)誤！的圖像大致為()

(2)已知函數(shù)/(x)的圖像如圖所示，則八尤)的解析式可以是()

A.fix')=錯(cuò)誤!B.f(x)=錯(cuò)誤!

C.f(x)=￡—1D./(x)=x—錯(cuò)誤！

解析(1)函數(shù)八%)=錯(cuò)誤！的定義域?yàn)?一8,1)U(1,+8),且圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，排

除B,C。取特殊值，當(dāng)時(shí)，/(x)=21n錯(cuò)誤！〈0,故選D。

(2)由函數(shù)圖像可知,函數(shù)人x)為奇函數(shù)，應(yīng)排除B,C。若函數(shù)為式x)=x—錯(cuò)誤！，貝I無一

+8時(shí)<x)—+8,排除D,故選A。

答案(1)D(2)A

二、函數(shù)圖像的變換問題

典例2若函數(shù)y=/(無)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=-f(尤+1)的圖像大致為()

解析由y=/(x)的圖像得到y(tǒng)=-/(x+l)的圖像，需要先將＞=/(尤)的圖像關(guān)于x軸對(duì)

稱得到y(tǒng)=一/(x)的圖像，然后再向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=—/(x+1)的圖像，根據(jù)上

述步驟可知C正確.

答案C

三、函數(shù)圖像的應(yīng)用

典例3(1)若函數(shù)40=錯(cuò)誤!的圖像如圖所示，則m的取值范圍為()

A.(—8,-1)B.(-1,2)

C.(0,2)D.(1,2)

(2)已知函數(shù)兀x)=錯(cuò)誤!若a,b,c互不相等，且/'(a)—f(Z?)=/(c),則a+b+c的

取值范圍是()

A.(1,2018)B.[1,2018]

C.(2,2019)D.[2,2019]

解析(1)根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像過原點(diǎn)，

即40)=0,.,.m^0o

當(dāng)x>0時(shí)，fix))0,.'.2—0,即m<2,

函數(shù)/(x)在[—LU上是增加的，

(x)>0在[―1,1]上恒成立，

，(%)=錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤!>0,

*?m—2〈0,?,?只需要％2—根<0在［—1,1］上恒成立，

??tn)max<0,,,加>1,

綜上所述，1<相〈2,故選D.

(2)函數(shù)/(x)=錯(cuò)誤！的圖像如圖所示，不妨令Q<Z?<G

y

OaIblc2018x

2

由正弦曲線的對(duì)稱性可知〃+Z?=l,而lvc<2018,

所以2(a+b+c<2019,故選C.

答案(1)D(2)C

課時(shí)作業(yè)

X基礎(chǔ)保分練

1.(2018屆珠海二中月考)函數(shù)丫=2*一%2的圖像大致是0

答案A

解析易知尤一+8時(shí)，yf+8,排除C；尤一一8時(shí),y——8,排除D；又當(dāng)X=2和X=4

時(shí)，y=0,故選Ao

2.已知函數(shù)八無)=錯(cuò)誤!則x)的圖像是()

AB

答案c

解析方法一畫出y=/(x)的圖像，再作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，得到y(tǒng)=/(—X)的圖像,

再將所得圖像向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=f{~(x—1))=/(―x+1)的圖像.

方法二(1—x)過點(diǎn)(0,3)，可排除A；過點(diǎn)(1,1),可排除B；又x=一錯(cuò)誤！時(shí)，

川―x)=/錯(cuò)誤!<0,可排除D。故選C.

e2x+1

3.(2018屆全國(guó)名校聯(lián)考)函數(shù)1x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖像()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱

答案B

解析..70)=3+屋”,；./(乃為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

4.已知函數(shù)兀r)=21nx,g(無)=/一4工+5,則方程/(x)=g(尤)的根的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出?x),g(x)的圖像如圖所示，由已知g(x)=(X-2)2+1,

得其頂點(diǎn)為(2,1)，又/(2)=21n2GQ,2),可知點(diǎn)(2,1)位于函數(shù)/(尤)=21nx圖像的

下方，故函數(shù)五%)=21nx的圖像與函數(shù)g(x)=f—4x+5的圖像有2個(gè)交點(diǎn).

5.函數(shù)/（無）的圖像向右平移1個(gè)單位，所得圖像與曲線＞=^關(guān)于y軸對(duì)稱，則/（無）的

解析式為（）

A./（x）=eA'+lB.危）=尸1

C.Xx）=ex+1D-f（x）=eTxl

答案D

解析與、=爐的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為〉=院工依題意，/（x）的圖像向右平移一個(gè)單

位，得＞=5工的圖像.二段）的圖像由＞=5"的圖像向左平移一個(gè)單位得到.5）=5a+D=e

_%一］

o

6.對(duì)于函數(shù)式無）=lg（U—2I+1）,給出如下三個(gè)命題：①*x+2）是偶函數(shù)；②于3在區(qū)

間（-8,2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2,+8）上是增函數(shù);③/'（X）沒有最小值.其中正確的個(gè)數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析作出/（x）的圖像，可知/（x）在（一8,2）上是減函數(shù)，在（2,+8）上是增函數(shù)；由圖

像可知函數(shù)存在最小值0.所以①②正確.

7.函數(shù)/（無）=Ix|—cosx在（-8,H-oo）內(nèi)有個(gè)零點(diǎn).

答案2

解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)yi=Ix|和y2=cosx的圖像如圖所示.這兩個(gè)函數(shù)的圖

像有且只有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)/（x）有2個(gè)零點(diǎn).

8.設(shè)函數(shù)y=/（x+l）是定義在（-8,0）U（0,+8）上的偶函數(shù),在區(qū)間（一8,0）上是減

函數(shù)，且圖像過點(diǎn)（1,0）,則不等式（無一l?Cr）W0的解集為.

答案{x|xW?；?＜XW2}

解析畫出兀X）的大致圖像如圖所示.

不等式(X—1次r)WO可化為錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤！

由圖可知符合條件的解集為{xlxWO或1〈xW2}.

9.(2017?銀川調(diào)研)給定min{a,b}=錯(cuò)誤！已知函數(shù)=min{x,x2—4x+4}+4,若動(dòng)直

線>=加與函數(shù)y=/(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為.

答案(4,5)

解析作出函數(shù)/(x)的圖像，函數(shù)式x)=min{x,f—4x+4}+4的圖像如圖所示，由于直

線與函數(shù)y=/(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得機(jī)的取值范圍為(4,5).

10.己知定義在R上的函數(shù)處0=錯(cuò)誤!關(guān)于x的方程/(x)=c(。為常數(shù))恰有三個(gè)不同的實(shí)

數(shù)根無1,尤2,X3,則尤1+&+%3=.

答案0

解析方程凡r)=c有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y=/(x)與y=c的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，畫出

函數(shù)/(x)的圖像(圖略)，易知c=l,且方程/5)=<?的一根為0,令lg|x|=1,解得x=一

10或10,故方程f(x)=c的另兩根為一10和10,所以制+無2+彳3=0。

11.函數(shù)y=lnIX—1|的圖像與函數(shù)y=-2cos/(一2WxW4)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

等于.

答案6

解析作出函數(shù)y=lnI尤一1I的圖像，又y=-2cos7tx的最小正周期為T=2,如圖所示，

兩圖像都關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，且共有6個(gè)交點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

和為6.

12.已知人彳)=|爐一4工+3Io

(1)作出函數(shù)黃龍)的圖像；

(2)求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；

(3)求集合M={詞使方程於)=7"有四個(gè)不相等的實(shí)根}.

解(1)當(dāng)4x+320時(shí)，xWl或尤23,

7一4%+3

xWl或

,—f+4x—3

{1<x<3

：.f(x)的圖像為：

(2)由函數(shù)的圖像可知武力的單調(diào)區(qū)間是(-8,i],(2,3),(1,2],[3,+8),其中(一

8,1],(2,3)是遞減區(qū)間；(1,2],[3,+8)是遞增區(qū)間.

(3)由7(x)的圖像知，當(dāng)0〈優(yōu)(1時(shí)，f(x)=機(jī)有四個(gè)不相等的實(shí)根，所以"={m|0

(m<1).

X技能提升練

13.已知函數(shù)/(尤)=錯(cuò)誤!則對(duì)任意XI,X2GR，若<|X2|,下列不等式成立的是()

A.八的)+力>2)<0B.於1)+/(%2)>0

c.y(xi)~f(X2)〉oD.—/(X2)<o

答案D

解析函數(shù)y(無)的圖像如圖實(shí)線部分所示，

且y(一無)=兀0，從而函數(shù)/