天津市南開中學2025屆高三上學期統(tǒng)練2數(shù)學試題

2025屆南開中學高三數(shù)學統(tǒng)練2一?單選題（每小題5分，共45分）1.已知數(shù)集滿足：，若，則一定有：（）A.B.C.D.2.設為虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A.2B.1C.0D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.4.某零售行業(yè)為了解宣傳對銷售額的影響，在本市內(nèi)隨機抽取了5個大型零售賣場，得到其宣傳費用（單位：萬元）和銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：（萬元）34567（萬元）4550606570由統(tǒng)計數(shù)據(jù)知與滿足線性回歸方程，其中，當宣傳費用時，銷售額的估計值為（）A.89.5B.90.5C.92.5D.94.55.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，又，則的解集是（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)滿足：，則；當時，則（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知定義域為的函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.9.函數(shù)滿足：當時，是奇函數(shù).記關于的方程的根為，若，則的值可以為（）A.B.C.D.1二?填空題（每小題5分，共30分）10.已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則實數(shù)的值是__________.11.的展開式中，不含字母的項為__________.12.計算的值為__________.13.甲乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機.已知甲乙兩人擊中無人機的概率分別為，且甲乙射擊互不影響，則無人機被擊中的概率為__________.若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6，那么無人機被擊落的概率為__________.14.已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.15.設函數(shù)，若有三個零點，則的取值范圍是__________.三?解答題16.（14分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上的最大值為8，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍.17.（15分）已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當時，求函數(shù)在上的最小值；（3）若對任意恒有，試確定的取值范圍.18.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面.（1）若點是邊的中點，點是邊的中點，求異面直線所成角的余弦值；（2）求平面和平面的夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由.19.（15分）已知橢圓C：的離心率為，左?右焦點分別為，直線交橢圓于兩點，當直線過點時，的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為軸上一點，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程及點的坐標.20.（16分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調性；（2）若方程有兩個不同的根.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.2025屆南開中學高三數(shù)學統(tǒng)練2試卷答案一?單選題123456789CCABDAAAD二?填空題10111213141528；三?解答題16.【詳解】解：因為，令，則，（1）因為，所以，所以當，即時，此時當，即時，取最大值，即，解得，滿足；當，即時，此時當時，即時，取最大值，即，解得，滿足.所以實數(shù)的值為1或.（2）因為，所以，因為函數(shù)在上有唯一的零點，且在是增函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的零點，令，因為，①當，即時，滿足題意②當，則時，此時，令，解得或，不滿足；③當時，且此時無解；綜上，實數(shù)的取值范圍為.17.解：（1）由，得，當時，恒成立，定義域為，當時，定義域為且，當時，定義域為或.（2）設，當時，.因此在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù).則.（3）對任意，恒有.即對恒成立..令.由于在上是減函數(shù)，.故時，恒有.因此實數(shù)的取值范圍為.18.（1）解：取中點，連接，因為，所以因為平面平面，平面平面且平面所以平面，又因為平面平面，所以因為，所以所以四邊形是平行四邊形，所以，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，可得，設異面直線所成角為，則所以異面直線所成角的余弦值為.（2）解：由（1）得，.設平面的法向量為，則，令，可得，所以，因為平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）解：設是棱上一點，則存在使得，設，則，，所以.所以，所以.所以因為，且，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.若平面，則，所以，此時方程組無解，所以在棱上不存在點，使得平面.19.（1）的周長為8，由橢圓的定義得，所以.橢圓的離心率為，所以，所以，所以，故橢圓的標準方程為.（2）設的中點為，聯(lián)立消去得，因為直線與橢圓交于兩點，所以，解得，①②.則，代入，得，故，由題意知，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，，故，即，故，即，解得③，故，由，得，即，整理得，將①②③代入上式，化簡得，解得，因為，所以，故直線的方程為，點的坐標為.20.（1）由題意得，，由，得.若，則當時，單調遞增，當時，單調遞減；若，則當時，單調遞減，當時，單調遞增.綜上，當時，在區(qū)間內(nèi)單調遞增，在區(qū)間內(nèi)單調遞減；當時，在區(qū)間內(nèi)單調遞減，在區(qū)間內(nèi)單調遞增.（2）（i）由，得.設，由（1）得在區(qū)間內(nèi)單