2025千題百煉- 高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第65煉 直線(xiàn)的方程與性質(zhì)含答案

2025千題百煉—高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第65煉直線(xiàn)的方程與性質(zhì)含答案第65煉直線(xiàn)的方程與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）直線(xiàn)的要素與方程：1、傾斜角：若直線(xiàn)與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱(chēng)為直線(xiàn)的傾斜角，通常用表示（1）若直線(xiàn)與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、斜率：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則的正切值稱(chēng)為直線(xiàn)的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線(xiàn)是不存在斜率的（2）所有的直線(xiàn)均有傾斜角，但是不是所有的直線(xiàn)均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線(xiàn)方程相聯(lián)系）（4）越大，直線(xiàn)越陡峭（5）斜率的求法：已知直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，則，即直線(xiàn)的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)。3、截距：若直線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于，則稱(chēng)分別為直線(xiàn)的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線(xiàn)為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線(xiàn)4、直線(xiàn)方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線(xiàn)有兩種方法：一種是已知直線(xiàn)上一點(diǎn)與直線(xiàn)的方向（即斜率），另一種是已知兩點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)），直線(xiàn)方程的形式與這兩種方法有關(guān)（1）一點(diǎn)一方向：①點(diǎn)斜式：已知直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)上一點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為：證明：設(shè)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，根據(jù)斜率計(jì)算公式可得：，所以直線(xiàn)上的每一點(diǎn)都應(yīng)滿(mǎn)足：，即為直線(xiàn)方程②斜截式：已知直線(xiàn)的斜率，縱截距，則直線(xiàn)的方程為：證明：由縱截距為可得直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，從而利用點(diǎn)斜式得：化簡(jiǎn)可得：（2）兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)：③兩點(diǎn)式：已知直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為：④截距式：若直線(xiàn)的橫縱截距分別為，則直線(xiàn)的方程為：證明：從已知截距可得：直線(xiàn)上兩點(diǎn)，所以⑤一般式：由前幾類(lèi)直線(xiàn)方程可知：直線(xiàn)方程通常由的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，所以可將直線(xiàn)的通式寫(xiě)為：（不同時(shí)為0），此形式稱(chēng)為直線(xiàn)的一般式一般式方程的作用：可作為直線(xiàn)方程的最終結(jié)果可用于判定直線(xiàn)的平行垂直關(guān)系點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式與平行線(xiàn)間距離公式需要用直線(xiàn)的一般式5、五種直線(xiàn)形式所不能表示的直線(xiàn)：（1）點(diǎn)斜式，斜截式：與斜率相關(guān)，所以無(wú)法表示斜率不存在的直線(xiàn)（即豎直線(xiàn)）（2）截距式：①截距不全的直線(xiàn)：水平線(xiàn)，豎直線(xiàn)②截距為0的直線(xiàn)：過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)6、求曲線(xiàn)（或直線(xiàn)）方程的方法：在已知曲線(xiàn)類(lèi)型的前提下，求曲線(xiàn)（或直線(xiàn)）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線(xiàn)方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線(xiàn)中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線(xiàn)方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）（二）直線(xiàn)位置關(guān)系：1、在解析幾何中直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線(xiàn)”，則不存在重合的情況，如果只是，則要考慮重合的情況。2、直線(xiàn)平行的條件（1）斜截式方程：設(shè)直線(xiàn)①②若直線(xiàn)的斜率存在，則（2）一般式方程：設(shè)，則①當(dāng)時(shí)，∥②，且和中至少一個(gè)成立，則∥（此條件適用于所有直線(xiàn)）3、直線(xiàn)垂直的條件：（1）斜截式方程：設(shè)直線(xiàn)，則（2）一般式方程：設(shè)，則：4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律：可選擇與一般式方程對(duì)應(yīng)的向量：，即有：，從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系，例如：（注意驗(yàn)證是否會(huì)出現(xiàn)重合的情況）（三）距離問(wèn)題：1、兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)，則2、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：設(shè)則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離3、平行線(xiàn)間的距離：則的距離為（四）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1、中心對(duì)稱(chēng)：（1）幾何特點(diǎn)：若關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則為線(xiàn)段的中點(diǎn)（2）解析特征：設(shè)，，則與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)滿(mǎn)足：2、軸對(duì)稱(chēng)（1）幾何特點(diǎn)：若若關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，則為線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，即，且的中點(diǎn)在上（2）解析特征：設(shè)，，則與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)滿(mǎn)足：，解出即可（3）求軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)：設(shè)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，直線(xiàn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為①若∥，則∥，且到對(duì)稱(chēng)軸的距離與到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等②若與相交于，則取上一點(diǎn)，求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則即為對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)（五）直線(xiàn)系方程：滿(mǎn)足某種特征的一類(lèi)直線(xiàn)組成的集合稱(chēng)為直線(xiàn)系，直線(xiàn)系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線(xiàn)）1、平行線(xiàn)系：集合中的直線(xiàn)呈兩兩平行關(guān)系——參數(shù)不會(huì)影響斜率的取值（1）與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)系方程為：（為參數(shù)，且）（2）與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)系方程為：（為參數(shù)）2、過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)：（1）若參數(shù)的取值影響直線(xiàn)的斜率，則可尋找該直線(xiàn)是否圍繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項(xiàng)劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知（與不重合），則過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為：（該直線(xiàn)無(wú)法表示）3、直線(xiàn)系方程的用途：主要是在求直線(xiàn)方程時(shí)可充分利用平行，垂直或過(guò)定點(diǎn)的條件，將直線(xiàn)設(shè)為只含一個(gè)參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線(xiàn)方程二、典型例題：例1：直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．思路：要求傾斜角（設(shè)為），可將直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為斜截式得：，所以，即，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得：答案：B小煉有話(huà)說(shuō)：一是要注意由正切值求角時(shí)，通過(guò)圖像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫(xiě)區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：，所以當(dāng)時(shí)，傾斜角為（而不是）例2：經(jīng)過(guò)作直線(xiàn)，若直線(xiàn)與連接的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為．思路：直線(xiàn)可視為繞進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在坐標(biāo)系中作出線(xiàn)段，即可由圖判斷出若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一條直線(xiàn)與最后一條直線(xiàn)分別為直線(xiàn)，則，由圖像可得：答案：小煉有話(huà)說(shuō)：本題如果沒(méi)有圖像輔助，極易將結(jié)果寫(xiě)成，通過(guò)觀察可得旋轉(zhuǎn)的過(guò)程當(dāng)中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應(yīng)為正負(fù)值之外，而非正負(fù)值之間。所以處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)：一定作圖，作圖，作圖?。±?：若的圖象是兩條平行直線(xiàn)，則的值是（）A．或B．C．D．的值不存在思路：由平行線(xiàn)可得：可解得：或，檢驗(yàn)是否存在重合情況，將代入直線(xiàn)可得：，符合題意，將代入直線(xiàn)可得：，則重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：答案：B小煉有話(huà)說(shuō)：在已知平行關(guān)系求參數(shù)取值時(shí)，盡管在求解時(shí)可僅用系數(shù)關(guān)系，但解出參數(shù)后要進(jìn)行驗(yàn)證，看是否會(huì)導(dǎo)致直線(xiàn)重合。例4：已知直線(xiàn)互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（）A．或B．或C．或D．或思路：由兩直線(xiàn)相互垂直可得：，即，解得或答案：A例5：已知直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，被直線(xiàn)：反射，反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是．思路：本題與物理知識(shí)相結(jié)合，可知反射光線(xiàn)過(guò)已知點(diǎn)在鏡面中的虛像（即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），所以考慮求出的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用確定反射光線(xiàn)即可。解：設(shè)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有，且的中點(diǎn)在上即答案：例6：直線(xiàn)（且不同時(shí)為0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)____思路：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則意味著定點(diǎn)坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”——即無(wú)論參數(shù)取何值，不會(huì)影響表達(dá)式的值，能夠達(dá)到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線(xiàn)進(jìn)行變形，將含的項(xiàng)與含的項(xiàng)分別歸為一組，可得：，若要讓“失去作用”，則，解得，即定點(diǎn)為答案：小煉有話(huà)說(shuō)：含參數(shù)的直線(xiàn)方程要么是一組平行線(xiàn)（斜率為常數(shù)），要么考慮過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)的求解可參照例6的求法。尋找定點(diǎn)是一種意識(shí)，即遇到含參數(shù)的直線(xiàn)時(shí)，便可考慮能否找到定點(diǎn)，從而抓住此類(lèi)直線(xiàn)的特征（繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），有助于解題。例7：已知直線(xiàn)上存在點(diǎn)滿(mǎn)足與兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率與之積為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路：設(shè)直線(xiàn)上的點(diǎn)，則需同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是符合直線(xiàn)方程，二是保證斜率乘積為3.對(duì)于條件一，即，對(duì)于條件二，按照斜率計(jì)算公式可得，所以即。所以存在滿(mǎn)足條件的，等價(jià)于方程組有解，所以判別式，可解得答案：例8：若不全為零的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，點(diǎn)在動(dòng)直線(xiàn)上的射影為，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值是__________思路：從成等差數(shù)列可得：，所以，方程含參進(jìn)而考慮尋找定點(diǎn)。，所以有，解得定點(diǎn)為，即為繞旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線(xiàn)，對(duì)于任意點(diǎn)，的最小值為點(diǎn)到的距離，而的所有位置中，只有過(guò)點(diǎn)時(shí)，最短，即答案：小煉有話(huà)說(shuō)：（1）本題的突破口在于對(duì)含參直線(xiàn)的分析，首先對(duì)于含參直線(xiàn)要分析出屬于平行線(xiàn)系（斜率為定值），還是過(guò)定點(diǎn)系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對(duì)于多參數(shù)方程也能夠找到定點(diǎn)。（2）本題的均為動(dòng)點(diǎn)，雙動(dòng)點(diǎn)求最值時(shí)，通常固定一個(gè)點(diǎn)，分析此點(diǎn)固定時(shí)，達(dá)到最值時(shí)另一個(gè)點(diǎn)位置的特征（例如本題中固定，分析出到的距離為最?。?，然后再讓該點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)的過(guò)程中找到“最值”中的最值。例9：已知的兩條高所在直線(xiàn)方程為，若，求直線(xiàn)的方程思路：本題并沒(méi)有說(shuō)明高線(xiàn)是否過(guò)，但可以將帶入方程進(jìn)行驗(yàn)證，可得兩條高線(xiàn)均不過(guò)，從而尋找確定直線(xiàn)的要素，可連接，由三角形“三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)”的性質(zhì)可得，且點(diǎn)可由兩條高線(xiàn)解得，從而得到，只需再求得一點(diǎn)即可，觀察到為三條直線(xiàn)的公共點(diǎn)，已知，而可求。進(jìn)而解得的坐標(biāo)，然后通過(guò)和求出的方程解：設(shè)，所以由“三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)”可得：設(shè)，代入解得：整理后可得：答案：例10：已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A.B.C.D.思路：觀察發(fā)現(xiàn)所給直線(xiàn)為兩條平行線(xiàn)，所以點(diǎn)的軌跡為夾在兩條直線(xiàn)之間的平行線(xiàn)，即，所以，代入所求，下面確定的范圍，將代入可得：解得：所以：答案：A小煉有話(huà)說(shuō)：（1）本題的軌跡可通過(guò)圖像觀察到，也可進(jìn)行代數(shù)分析：設(shè)，則有，①②可得：即，所以點(diǎn)的軌跡為（2）本題對(duì)于求的范圍可以有兩個(gè)角度考慮：一個(gè)角度是利用進(jìn)行消元，從而轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式利用函數(shù)求范圍。另一個(gè)角度可考慮的幾何意義，即的斜率，從而通過(guò)作出可行域，數(shù)形結(jié)合處理。第59煉新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題含“新信息”背景的數(shù)列問(wèn)題，以其難度通常位于試卷的最后一題。此類(lèi)問(wèn)題有以下幾個(gè)難點(diǎn)：一是對(duì)于新的概念與規(guī)則，學(xué)生在處理時(shí)會(huì)有一個(gè)熟悉的過(guò)程，不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中，二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)每一問(wèn)所指向的知識(shí)點(diǎn)，傳統(tǒng)題目通常在問(wèn)法上就直接表明該用哪些知識(shí)進(jìn)行處理，例如“求通項(xiàng)，求和”。但新信息問(wèn)題所問(wèn)的因?yàn)榕c新信息相關(guān)，所以要運(yùn)用的知識(shí)隱藏的較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向。三是此類(lèi)問(wèn)題在設(shè)計(jì)時(shí)通常注重幾問(wèn)之間的聯(lián)系，即前面問(wèn)題的處理是為了最后一問(wèn)做好鋪墊。但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系，從而導(dǎo)致在處理最后一問(wèn)時(shí)還要重整旗鼓，再加上可能要進(jìn)行的分類(lèi)討論，解題難度陡然增加。本節(jié)通過(guò)10道例題來(lái)說(shuō)明如何對(duì)這種“新信息”題目進(jìn)行理解與分析，如何尋找到解題的突破口與思路一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、此類(lèi)問(wèn)題常涉及的知識(shí)點(diǎn)（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式（2）數(shù)列的單調(diào)性（3）放縮法證明不等式（4）簡(jiǎn)單的有關(guān)整數(shù)的結(jié)論（5）數(shù)學(xué)歸納法與反證法2、解決此類(lèi)問(wèn)題的一些技巧：（1）此類(lèi)問(wèn)題在設(shè)立問(wèn)題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點(diǎn)，第（1）問(wèn)讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問(wèn)便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過(guò)程中要注意解決前面一問(wèn)中的過(guò)程與結(jié)論，因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。抓住“新信息”的特點(diǎn)，找到突破口，第（2）（3）問(wèn)便可尋找到處理的思路（2）盡管此類(lèi)題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。所以在考慮問(wèn)題時(shí)也要向一些基本知識(shí)點(diǎn)靠攏，弄清本問(wèn)所考察的與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，以便找到一些線(xiàn)索。（3）在分類(lèi)討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手，可能在解決的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。二、典型例題：例1：定義：若對(duì)任意，數(shù)列的前項(xiàng)和都為完全平方數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“完全平方數(shù)列”；特別的，若存在，使得數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“部分平方數(shù)列”（1）若數(shù)列為“部分平方數(shù)列”，且，求使數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)時(shí)的值（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列解：（1）思路：依題意可知先求出的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)尋找到完全平方式即可時(shí)，時(shí)，時(shí)，是完全平方數(shù)（2）思路：若要觀察的前項(xiàng)和是否為完全平方數(shù)，則要先求出的通項(xiàng)公式。由可求得，因?yàn)闉橥耆椒绞?，所以若有些?xiàng)為中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的相反數(shù)，則再求和時(shí)很有可能不是完全平方數(shù)。根據(jù)時(shí)，，可知只有時(shí)，恒大于0，即，所以是“完全平方數(shù)列”；時(shí)，中存在部分項(xiàng)小于0，可知不是“完全平方數(shù)列”解：時(shí)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，的前項(xiàng)和即為，所以為“完全平方數(shù)列”當(dāng)時(shí)，不是完全平方數(shù)不是“完全平方數(shù)列”綜上所述：時(shí)，是“完全平方數(shù)列”，時(shí)，不是“完全平方數(shù)列”（3）思路：依題意可知該等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式應(yīng)為完全平方式，由等差數(shù)列求和公式出發(fā)，可將其通過(guò)配方向完全平方式進(jìn)行靠攏，可得：，所以有，再根據(jù)利用整數(shù)的特性求解即可。解：設(shè)所求等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為若為“完全平方數(shù)列”則，為完全平方式由①可令由②令，可得：代入到③可得：或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式綜上所述，例2：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，設(shè)，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫(xiě)成(且)的形式，則稱(chēng)為“指數(shù)型和”．問(wèn)中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）思路：證明為等比數(shù)列，可以利用條件中的作為中間橋梁尋找的關(guān)系，則有，只需找到的關(guān)系，由及可得：，進(jìn)而代入解出解：為公比是的等比數(shù)列（2）思路：由（1）可解出，進(jìn)而可求出，由可在的情況下得到關(guān)于的恒成立不等式，從而通過(guò)參變分離可求出的范圍：，再驗(yàn)證是否成立即可解：由（1）可得：時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立（3）思路：時(shí)，可代入求出，從而，利用“指數(shù)型和”的定義，可先求出前項(xiàng)和，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可否寫(xiě)成的形式，本題不便將變形為的形式，所以考慮利用等式轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問(wèn)題。即判斷是否有解。，為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，。而只是個(gè)2相乘，所以可通過(guò)對(duì)分解后的每個(gè)因式能否表示為的形式進(jìn)行討論即可。解：由（1）可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，假設(shè)中的項(xiàng)存在“指數(shù)型和”，則使得：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：設(shè)，則可解得：，即，為“指數(shù)型和”當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)為奇數(shù)，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為個(gè)奇數(shù)之和也為奇數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不存在“指數(shù)型和”綜上所述：只有為“指數(shù)型和”例3：如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿(mǎn)足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，那么就稱(chēng)數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值（2）若有窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和（3）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，試判斷數(shù)列是否為“兌換數(shù)列”？如果是，給予證明，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）思路：依照“兌換數(shù)列”的定義可知，應(yīng)均在數(shù)列中，在第（1）問(wèn)中涉及兩個(gè)變量，故考慮尋找兩個(gè)等量，通過(guò)方程解決。其最重要的等量關(guān)系就是找到是數(shù)列中的哪一項(xiàng)。通過(guò)排序可知，則通過(guò)不等式性質(zhì)可知：，此數(shù)列一共就4項(xiàng)且單調(diào)遞增，所以得，從而解得解：由已知可得：在“兌換數(shù)列”中，且也在該數(shù)列中，且（2）思路：第（1）問(wèn)提供了這樣一個(gè)思路：如果數(shù)列是有限數(shù)列且單調(diào)，則由對(duì)應(yīng)生成的數(shù)列也單調(diào)，且單調(diào)性相反。由“兌換數(shù)列”的定義即可知兩個(gè)數(shù)列中項(xiàng)應(yīng)存在相等關(guān)系。所以利用這個(gè)特征可知在中，由且能夠得到，即，根據(jù)首尾和是個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)可知求和時(shí)使用倒序相加法即可得到解：不妨設(shè)有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為為遞增數(shù)列即（3）思路：由（2）可得：若有窮單調(diào)數(shù)列為“兌換數(shù)列”，則要滿(mǎn)足。那么在等差數(shù)列中，有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)，所以就可得到：，且等差數(shù)列若不是常數(shù)列，則為單調(diào)數(shù)列。由這兩點(diǎn)并結(jié)合（2）的思路則可證明等差數(shù)列均為“兌換數(shù)列”，，再通過(guò)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可解出數(shù)列是“兌換數(shù)列”，證明如下：設(shè)的公差為若，則遞增設(shè)，由可得：同理，若，則遞減若，則為常數(shù)列，只需即可，則為“兌換數(shù)列”由（2）可知：例4：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：①；②所有項(xiàng)；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿(mǎn)足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱(chēng)數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項(xiàng)之和；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和（1）思路：首先要根據(jù)例子及定義理解什么是“伴隨數(shù)列”，“是數(shù)列中滿(mǎn)足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值”，則意味著每取一個(gè)值，則可通過(guò)解不等式得到的最大值即為，那么按此規(guī)律可知在（1）中，，，說(shuō)明在中，小于等于3的只有1項(xiàng)，即，，則，所以，同理，則解：（2）思路：由（1）可知：伴隨數(shù)列中的項(xiàng)即為解不等式得到的最大值，本題已知，則可建立不等式，則對(duì)取每一個(gè)值，計(jì)算的最大值即可。例如，則；，則；以此類(lèi)推便可尋找到規(guī)律，即時(shí)，，即，抓住這個(gè)規(guī)律即可得到的前30項(xiàng)，進(jìn)而求和若考慮解關(guān)于的不等式當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的前30項(xiàng)和為（3）思路：已知即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合（2）對(duì)“伴隨數(shù)列”定義的使用，即可建立不等式，從而可得到：，根據(jù)項(xiàng)的的特點(diǎn)可考慮以相鄰兩項(xiàng)為一組進(jìn)行求和，則需對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行奇偶分類(lèi)討論，進(jìn)而得到，則解關(guān)于的不等式時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即綜上所述：例5：對(duì)于數(shù)列，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”，定義變換：將“數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成，原有的每個(gè)0都變成.例如：，則，設(shè)是“數(shù)列”，令（1）若數(shù)列，求數(shù)列（2）若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為，求關(guān)于的表達(dá)式（1）思路：依題意可知變換的特點(diǎn)為1項(xiàng)分裂為2項(xiàng)，所以可將中的項(xiàng)兩兩一組，再根據(jù)規(guī)則即可還原為，照此方法即可得到解：由變換的規(guī)則可知：（2）思路：首先可先觀察兩次變換的特點(diǎn)，可知，，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是從1開(kāi)始還是從0開(kāi)始，兩次變換后均可得到一對(duì)相鄰的數(shù)，且首尾也相同，這意味著若中若含相鄰的數(shù)，則兩次變換后這兩個(gè)數(shù)生成的數(shù)首尾也將連接成相鄰的數(shù)對(duì)，例如：。進(jìn)而可知：共有10項(xiàng)，那么兩次變換后至少會(huì)有對(duì)，（例如當(dāng)時(shí)）若作兩次變換：，中的每一項(xiàng)通過(guò)兩次變換均生成一對(duì)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)，所以至少有10對(duì)（3）思路：依題意可將視為一個(gè)數(shù)列，則所求即為該數(shù)列的通項(xiàng)公式。由數(shù)列的知識(shí)可知，求通項(xiàng)公式常用的手段有三種：利用數(shù)列中的項(xiàng)尋找規(guī)律并證明；通過(guò)遞推公式；通過(guò)求和公式。所以若不愿列出具體項(xiàng)尋找規(guī)律，則需要先找到關(guān)于的一個(gè)遞推公式，即尋找第次變換與前幾次變換數(shù)對(duì)的聯(lián)系。由（2）可知，若產(chǎn)生數(shù)對(duì)，則上一步只能為，所以數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)與上一步數(shù)對(duì)（記為）的個(gè)數(shù)相同。即，再考慮數(shù)對(duì)的來(lái)源，共有兩個(gè)，一個(gè)是由上一步的得到，一個(gè)是由上一步的得到由變換的規(guī)則及（2）可知：中數(shù)對(duì)只能由中的數(shù)對(duì)生成，中的1共有個(gè)（因?yàn)槊恳淮巫儞Q生成相同個(gè)數(shù)的，所以中含個(gè)1，個(gè)0），所以，聯(lián)立兩個(gè)等式可得：，消去即可得到關(guān)于的遞推公式，然后再求得的通項(xiàng)公式即可解：設(shè)中有個(gè)數(shù)對(duì)①另一方面：，且中和的總個(gè)數(shù)相等中項(xiàng)有個(gè)中有個(gè)，有個(gè)而中的數(shù)對(duì)從處只有兩條途徑能夠得到：一個(gè)是由中的得到（個(gè)），一個(gè)是由中的得到（個(gè)）②由①②可得：由，可得：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：綜上所述：例6：已知數(shù)列是正整數(shù)的一個(gè)全排列，若對(duì)每個(gè)都有或，則稱(chēng)為數(shù)列（1）寫(xiě)出滿(mǎn)足的所有數(shù)列（2）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足的數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或解：（1）或（2）思路：中的項(xiàng)為的一個(gè)全排列，所以在構(gòu)造最好符合一定的規(guī)律，以便于寫(xiě)出通項(xiàng)公式，由（1）的啟發(fā)可知的前5個(gè)數(shù)可為第（1）問(wèn)中的一種情況，因?yàn)榛?，即只關(guān)心相鄰兩項(xiàng)的差，故可為的一個(gè)排列，且，這樣就保證了在第2組中，相鄰項(xiàng)的差均符合條件，只需驗(yàn)證即可：以為例，則，可知符合題意。按此規(guī)律構(gòu)造，5個(gè)數(shù)為一組，第組的數(shù)為第組對(duì)應(yīng)的數(shù)加上5，從而得到解：由（1）可知，記為的第一組數(shù)考慮構(gòu)造數(shù)列滿(mǎn)足，則對(duì)任意的，或且當(dāng)時(shí)，符合要求綜上所述：（3）思路：若的公差為，則，因?yàn)橹邢噜忢?xiàng)的差為，所以必然由若干個(gè)組成，但不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)且不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)（否則數(shù)列會(huì)出相同項(xiàng)，不符題意）即可以寫(xiě)成的形式，且，由此可解得，然后根據(jù)的取值分別進(jìn)行驗(yàn)證，看中的項(xiàng)是否在中（主要抓住），即可判斷出的值只能是解：為等差數(shù)列且由或，可得：或且①若，則，不符題意②若，則，不符題意③若，則當(dāng)時(shí)，，不符題意當(dāng)時(shí)，或，所以可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問(wèn)中的結(jié)論）④若，則，可得不符題意⑤若，則當(dāng)時(shí)，，不符題意當(dāng)時(shí)，同③可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問(wèn)中的結(jié)論）⑥若，則，不符題意綜上所述，若為等差數(shù)列，則或例7：若有窮數(shù)列滿(mǎn)足：（1）；（2），則稱(chēng)該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”（1）分別寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增的“3階非凡數(shù)列”和一個(gè)單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列”（2）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式（3）記“階非凡數(shù)列”的前項(xiàng)的和為，求證：①②解：（1）3階非凡數(shù)列：4階非凡數(shù)列：（2）思路：首先明確其通項(xiàng)公式應(yīng)該是關(guān)于和序數(shù)的表達(dá)式，要求得通項(xiàng)公式，關(guān)鍵要確定，因?yàn)榉浅?shù)列的等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，所以由一方面利用等差數(shù)列性質(zhì)可得到，另一方面也可知該數(shù)列以為分界線(xiàn)，左右兩側(cè)分為正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)（與的符號(hào)有關(guān)），可分進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，從而可知為負(fù)項(xiàng)，為正項(xiàng)。再由可得，從而用可表示出，另一方面，進(jìn)而均可用表示，所以可求得其通項(xiàng)公式。按同樣的方法可求出時(shí)的通項(xiàng)公式解：設(shè)等差數(shù)列的公差為即當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且；且當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，同理可得：，即（3）①證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②思路一：本題的難點(diǎn)在于不知中各項(xiàng)的符號(hào)，但從（1）（2）問(wèn)可得到一個(gè)規(guī)律，任意“歸化數(shù)列”，其正項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，進(jìn)而可以考慮在求和時(shí)正項(xiàng)一組，負(fù)項(xiàng)一組進(jìn)行放縮。解：依題意可得：中的項(xiàng)有正有負(fù)設(shè)中的正項(xiàng)為，負(fù)項(xiàng)為，零項(xiàng)為而（所有系數(shù)放大為1）（所有系數(shù)變?yōu)椋┧悸范罕绢}從通項(xiàng)公式入手，考慮，從而，合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到：，聯(lián)想到裂項(xiàng)相消，且由第①問(wèn)可知，可利用放縮及絕對(duì)值不等式得到解：，且即不等式得證小煉有話(huà)說(shuō)：（1）對(duì)于“新概念”的題目，要善于利用具體實(shí)例或者前面的小問(wèn)掌握其規(guī)律，為最后一問(wèn)做準(zhǔn)備。在本題中通過(guò)前兩問(wèn)所總結(jié)出的“正項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為”即為第三問(wèn)的突破口（2）從一個(gè)已知數(shù)列中抽出若干項(xiàng)形成新數(shù)列，要善于運(yùn)用雙字母進(jìn)行書(shū)寫(xiě)。可參考本題中的寫(xiě)法?？梢员硎境鲂聰?shù)列的項(xiàng)源自于的第幾項(xiàng)，而表示新數(shù)列中該項(xiàng)的序數(shù)。一種寫(xiě)法，兩個(gè)含義均顯現(xiàn)其中。例8：對(duì)于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或（）作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）寫(xiě)出的所有可能值；（2）若生成數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為．（1）思路：由“生成數(shù)列”的定義可知的前三項(xiàng)可能的值為，進(jìn)而通過(guò)不同的組合可求得解：由已知可得：，且可能的求和為：可能的取值為（2）思路：本題已知的表達(dá)式，可類(lèi)比在數(shù)列中已知求數(shù)列通項(xiàng)的方式，得到，計(jì)算可得：，由為生成數(shù)列可得：，通過(guò)合理組合即可得到：，從而得到通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列若，則以上各種組合中，只有（3）思路：由生成數(shù)列的定義可知，所以其共計(jì)中情況。而觀察中元素的個(gè)數(shù)恰好也為個(gè)（從取到個(gè)），且本題無(wú)法一一計(jì)算出，故從可取的值的個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)相等作為突破口，若要證取值集合所給集合相等，則可通過(guò)兩個(gè)步驟證明：一是證明的值一定都在中，可通過(guò)，其中為奇數(shù)可得，二是證明對(duì)于不同的生成數(shù)列，其和也必然不同（利用反證法），進(jìn)而再利用可取的值的個(gè)數(shù)與的個(gè)數(shù)均為即可證明結(jié)論共有種情況，即：，可知為奇數(shù)滿(mǎn)足且分子為奇數(shù)的共有種共有種情況只需證明兩個(gè)不同的生成數(shù)列，其和不同即可設(shè)數(shù)列為兩個(gè)不同的生成數(shù)列，且和分別記為則為生成數(shù)列，所以或不同，使得所以種不同的生成數(shù)列，其和共有種可能只有種可能∴可能值必恰為，共個(gè)．的所有可能值組成的集合為例9：有限數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①對(duì)于任意的（），；②對(duì)于任意的（），，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng).（1）若，且，，，，求的值；（2）證明：不可能是數(shù)列中的項(xiàng)；（3）求的最大值解：（1）由①可知：考慮，依題意三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)在中且均不在中（2）思路：本題并不容易去證明“不可能”，故考慮用反證法，先假設(shè)可能，再推出矛盾。若均在中，則中至少有一項(xiàng)在里，此時(shí)就會(huì)“創(chuàng)造出一項(xiàng)”位于中，進(jìn)而可知這種“創(chuàng)造”是無(wú)休止的，所生成的新的項(xiàng)要大于之前的每一個(gè)數(shù)（數(shù)列遞增）那么以此類(lèi)推下去，的項(xiàng)數(shù)會(huì)無(wú)限增加下去，與“為有限數(shù)列”矛盾。所以本題的證明可以以“為有限數(shù)列”為突破口，假定最后的三項(xiàng)為，則，則比都大，那么只能為，即，同理對(duì)于，也可得到，從而推出，與數(shù)列遞增矛盾。所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng)解：（反證法）：假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng)由②可知：6，10，15中至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則有限數(shù)列的最后一項(xiàng)，且.由①，.對(duì)于數(shù)，由②可知：；對(duì)于數(shù)，由②可知：.所以，這與①矛盾.所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng).（3）思路：本題的主旨在于盡可能構(gòu)造項(xiàng)數(shù)多的，由（2）的證明過(guò)程可提供一條線(xiàn)索，當(dāng)大于1的項(xiàng)超過(guò)3項(xiàng)時(shí)，則不成立，所以可知中至多有3項(xiàng)，且這3項(xiàng)中兩項(xiàng)的乘積等于第三項(xiàng)。同時(shí)還可對(duì)其進(jìn)行推廣得到中至多有3項(xiàng)，絕對(duì)值大于1；然后可將這種思路拓展至其它范圍，比如絕對(duì)值在0至1之間同理也至多只有3項(xiàng)。再補(bǔ)充上，所以的最大值為，可構(gòu)造為解：的最大值為，證明如下：（1）令，則符合①、②.（2）設(shè)符合①、②，則：①中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1.假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1，不妨設(shè)，，，是中絕對(duì)值最大的四項(xiàng)，其中.則對(duì)有，所以均不是數(shù)列中的項(xiàng)，即是數(shù)列中的項(xiàng)同理：也是數(shù)列中的項(xiàng)但，與①矛盾②中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1.假設(shè)中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于0且小于1，類(lèi)似（ⅰ）得出矛盾.③中至多有兩項(xiàng)絕對(duì)值等于1.④中至多有一項(xiàng)等于0.綜合①②③④可知中至多有9項(xiàng).由（1），（2）可得，的最大值為9.例10：對(duì)于實(shí)數(shù)，將滿(mǎn)足“且為整數(shù)”的實(shí)數(shù)稱(chēng)為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，用記號(hào)表示，對(duì)于實(shí)數(shù)，無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足如下條件：其中.（1）若，求數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合．（3）若是有理數(shù)，設(shè)（是整數(shù)，是正整數(shù)，、互質(zhì)），問(wèn)對(duì)于大于的任意正整數(shù)，是否都有成立，并證明你的結(jié)論．（1）思路：按照題目規(guī)則可知即為的小數(shù)部分，所以只有確定介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，才能夠求出。由得，，由得，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，且計(jì)算的過(guò)程與計(jì)算相同，可猜想，考慮到可由求出，所以用數(shù)學(xué)歸納法即可證明解：猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，，則時(shí)成立（2）思路：由（1）的過(guò)程可知本題在計(jì)算各項(xiàng)時(shí)關(guān)鍵要把握住“”里面數(shù)的范圍，，意味著故的范圍是本問(wèn)的關(guān)鍵，由得，所以要對(duì)分為進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定的結(jié)果，得到關(guān)于的方程，求解即可依題意可知當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述：（3）思路：因?yàn)椋瑥亩?，所以也可?xiě)成“”的形式，且，所以均可表示為的形式，依規(guī)則可知一旦，則后面的項(xiàng)均為0，所以要證明大于的任意正整數(shù)，，則需要在中尋找出得0的項(xiàng)。本題已知遞推公式，所以考慮以相鄰項(xiàng)的關(guān)系入手，即尋找與的關(guān)系，，確定的范圍是關(guān)鍵，對(duì)于且可知利用帶余除法得到，從而中，所以，再由即可得到，從而可知為遞減數(shù)列，且均為正整數(shù)。則有，此處便可發(fā)現(xiàn)突破口，小于的正整數(shù)共有個(gè)，但中小于的項(xiàng)共有個(gè)，則里面必含，即證明結(jié)論解：該結(jié)論成立，證明如下：，即，為正有理數(shù)或0設(shè)，則有，即若，則可知，所以當(dāng)時(shí)，均有若，可設(shè)，依假設(shè)可知由可得：為遞減數(shù)列，且對(duì)于給定的，若均不為0，則即小于的整數(shù)有個(gè)但小于的正整數(shù)為共個(gè)，所以矛盾中至少有一個(gè)為0，即存在，