2025千題百煉- 高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第65煉 直線的方程與性質(zhì)含答案

2025千題百煉—高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第65煉直線的方程與性質(zhì)含答案第65煉直線的方程與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識：（一）直線的要素與方程：1、傾斜角：若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、斜率：設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）斜率的求法：已知直線上任意兩點，則，即直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)。3、截距：若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標(biāo)系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點（兩點確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關(guān)（1）一點一方向：①點斜式：已知直線的斜率，直線上一點，則直線的方程為：證明：設(shè)直線上任意一點，根據(jù)斜率計算公式可得：，所以直線上的每一點都應(yīng)滿足：，即為直線方程②斜截式：已知直線的斜率，縱截距，則直線的方程為：證明：由縱截距為可得直線與軸交點為，從而利用點斜式得：化簡可得：（2）兩點確定一條直線：③兩點式：已知直線上的兩點，則直線的方程為：④截距式：若直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為：證明：從已知截距可得：直線上兩點，所以⑤一般式：由前幾類直線方程可知：直線方程通常由的一次項與常數(shù)項構(gòu)成，所以可將直線的通式寫為：（不同時為0），此形式稱為直線的一般式一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果可用于判定直線的平行垂直關(guān)系點到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線：（1）點斜式，斜截式：與斜率相關(guān)，所以無法表示斜率不存在的直線（即豎直線）（2）截距式：①截距不全的直線：水平線，豎直線②截距為0的直線：過原點的直線6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）（二）直線位置關(guān)系：1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是，則要考慮重合的情況。2、直線平行的條件（1）斜截式方程：設(shè)直線①②若直線的斜率存在，則（2）一般式方程：設(shè)，則①當(dāng)時，∥②，且和中至少一個成立，則∥（此條件適用于所有直線）3、直線垂直的條件：（1）斜截式方程：設(shè)直線，則（2）一般式方程：設(shè)，則：4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律：可選擇與一般式方程對應(yīng)的向量：，即有：，從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系，例如：（注意驗證是否會出現(xiàn)重合的情況）（三）距離問題：1、兩點間距離公式：設(shè)，則2、點到直線距離公式：設(shè)則點到直線的距離3、平行線間的距離：則的距離為（四）對稱問題1、中心對稱：（1）幾何特點：若關(guān)于點中心對稱，則為線段的中點（2）解析特征：設(shè)，，則與點關(guān)于點中心對稱的點滿足：2、軸對稱（1）幾何特點：若若關(guān)于直線軸對稱，則為線段的中垂線，即，且的中點在上（2）解析特征：設(shè)，，則與點關(guān)于軸對稱的點滿足：，解出即可（3）求軸對稱的直線：設(shè)對稱軸為直線，直線關(guān)于的對稱直線為①若∥，則∥，且到對稱軸的距離與到對稱軸的距離相等②若與相交于，則取上一點，求出關(guān)于的對稱點，則即為對稱直線（五）直線系方程：滿足某種特征的一類直線組成的集合稱為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線）1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系——參數(shù)不會影響斜率的取值（1）與直線平行的直線系方程為：（為參數(shù)，且）（2）與直線垂直的直線系方程為：（為參數(shù)）2、過定點的直線：（1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個定點旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知（與不重合），則過交點的直線系方程為：（該直線無法表示）3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時可充分利用平行，垂直或過定點的條件，將直線設(shè)為只含一個參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程二、典型例題：例1：直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．思路：要求傾斜角（設(shè)為），可將直線轉(zhuǎn)化為斜截式得：，所以，即，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得：答案：B小煉有話說：一是要注意由正切值求角時，通過圖像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：，所以當(dāng)時，傾斜角為（而不是）例2：經(jīng)過作直線，若直線與連接的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍為．思路：直線可視為繞進行旋轉(zhuǎn)，在坐標(biāo)系中作出線段，即可由圖判斷出若直線與線段有公共點，旋轉(zhuǎn)過程中的第一條直線與最后一條直線分別為直線，則，由圖像可得：答案：小煉有話說：本題如果沒有圖像輔助，極易將結(jié)果寫成，通過觀察可得旋轉(zhuǎn)的過程當(dāng)中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應(yīng)為正負值之外，而非正負值之間。所以處理此類問題時：一定作圖，作圖，作圖?。±?：若的圖象是兩條平行直線，則的值是（）A．或B．C．D．的值不存在思路：由平行線可得：可解得：或，檢驗是否存在重合情況，將代入直線可得：，符合題意，將代入直線可得：，則重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：答案：B小煉有話說：在已知平行關(guān)系求參數(shù)取值時，盡管在求解時可僅用系數(shù)關(guān)系，但解出參數(shù)后要進行驗證，看是否會導(dǎo)致直線重合。例4：已知直線互相垂直，則實數(shù)等于（）A．或B．或C．或D．或思路：由兩直線相互垂直可得：，即，解得或答案：A例5：已知直線通過點，被直線：反射，反射光線通過點，則反射光線所在直線的方程是．思路：本題與物理知識相結(jié)合，可知反射光線過已知點在鏡面中的虛像（即對稱點），所以考慮求出的對稱點，再利用確定反射光線即可。解：設(shè)的對稱點，則有，且的中點在上即答案：例6：直線（且不同時為0）經(jīng)過定點____思路：直線過定點，則意味著定點坐標(biāo)使得參數(shù)“失去作用”——即無論參數(shù)取何值，不會影響表達式的值，能夠達到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進行變形，將含的項與含的項分別歸為一組，可得：，若要讓“失去作用”，則，解得，即定點為答案：小煉有話說：含參數(shù)的直線方程要么是一組平行線（斜率為常數(shù)），要么考慮過定點，而定點的求解可參照例6的求法。尋找定點是一種意識，即遇到含參數(shù)的直線時，便可考慮能否找到定點，從而抓住此類直線的特征（繞定點旋轉(zhuǎn)），有助于解題。例7：已知直線上存在點滿足與兩點連線的斜率與之積為，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：設(shè)直線上的點，則需同時滿足兩個條件：一是符合直線方程，二是保證斜率乘積為3.對于條件一，即，對于條件二，按照斜率計算公式可得，所以即。所以存在滿足條件的，等價于方程組有解，所以判別式，可解得答案：例8：若不全為零的實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線上的射影為，點在直線上，則線段長度的最小值是__________思路：從成等差數(shù)列可得：，所以，方程含參進而考慮尋找定點。，所以有，解得定點為，即為繞旋轉(zhuǎn)的動直線，對于任意點，的最小值為點到的距離，而的所有位置中，只有過點時，最短，即答案：小煉有話說：（1）本題的突破口在于對含參直線的分析，首先對于含參直線要分析出屬于平行線系（斜率為定值），還是過定點系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對于多參數(shù)方程也能夠找到定點。（2）本題的均為動點，雙動點求最值時，通常固定一個點，分析此點固定時，達到最值時另一個點位置的特征（例如本題中固定，分析出到的距離為最小），然后再讓該點動起來，在動的過程中找到“最值”中的最值。例9：已知的兩條高所在直線方程為，若，求直線的方程思路：本題并沒有說明高線是否過，但可以將帶入方程進行驗證，可得兩條高線均不過，從而尋找確定直線的要素，可連接，由三角形“三條高線交于一點”的性質(zhì)可得，且點可由兩條高線解得，從而得到，只需再求得一點即可，觀察到為三條直線的公共點，已知，而可求。進而解得的坐標(biāo)，然后通過和求出的方程解：設(shè)，所以由“三條高線交于一點”可得：設(shè)，代入解得：整理后可得：答案：例10：已知點在直線上，點在直線上，線段的中點為，且滿足，則的取值范圍為（）A.B.C.D.思路：觀察發(fā)現(xiàn)所給直線為兩條平行線，所以點的軌跡為夾在兩條直線之間的平行線，即，所以，代入所求，下面確定的范圍，將代入可得：解得：所以：答案：A小煉有話說：（1）本題的軌跡可通過圖像觀察到，也可進行代數(shù)分析：設(shè)，則有，①②可得：即，所以點的軌跡為（2）本題對于求的范圍可以有兩個角度考慮：一個角度是利用進行消元，從而轉(zhuǎn)為一元表達式利用函數(shù)求范圍。另一個角度可考慮的幾何意義，即的斜率，從而通過作出可行域，數(shù)形結(jié)合處理。第59煉新信息背景下的數(shù)列問題含“新信息”背景的數(shù)列問題，以其難度通常位于試卷的最后一題。此類問題有以下幾個難點：一是對于新的概念與規(guī)則，學(xué)生在處理時會有一個熟悉的過程，不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中，二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)每一問所指向的知識點，傳統(tǒng)題目通常在問法上就直接表明該用哪些知識進行處理，例如“求通項，求和”。但新信息問題所問的因為與新信息相關(guān)，所以要運用的知識隱藏的較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向。三是此類問題在設(shè)計時通常注重幾問之間的聯(lián)系，即前面問題的處理是為了最后一問做好鋪墊。但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系，從而導(dǎo)致在處理最后一問時還要重整旗鼓，再加上可能要進行的分類討論，解題難度陡然增加。本節(jié)通過10道例題來說明如何對這種“新信息”題目進行理解與分析，如何尋找到解題的突破口與思路一、基礎(chǔ)知識：1、此類問題常涉及的知識點（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式（2）數(shù)列的單調(diào)性（3）放縮法證明不等式（4）簡單的有關(guān)整數(shù)的結(jié)論（5）數(shù)學(xué)歸納法與反證法2、解決此類問題的一些技巧：（1）此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進”的特點，第（1）問讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問便進行進一步的應(yīng)用，那么在解題的過程中要注意解決前面一問中的過程與結(jié)論，因為這本身就是對“新信息”的詮釋與應(yīng)用。抓住“新信息”的特點，找到突破口，第（2）（3）問便可尋找到處理的思路（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識與方法。所以在考慮問題時也要向一些基本知識點靠攏，弄清本問所考察的與哪個知識點有關(guān)，以便找到一些線索。（3）在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程中會發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。二、典型例題：例1：定義：若對任意，數(shù)列的前項和都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”；特別的，若存在，使得數(shù)列的前項和為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“部分平方數(shù)列”（1）若數(shù)列為“部分平方數(shù)列”，且，求使數(shù)列的前項和為完全平方數(shù)時的值（2）若數(shù)列的前項和，那么數(shù)列是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出的值；若不是，請說明理由（3）試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列解：（1）思路：依題意可知先求出的表達式，再根據(jù)表達式的特點尋找到完全平方式即可時，時，時，是完全平方數(shù)（2）思路：若要觀察的前項和是否為完全平方數(shù)，則要先求出的通項公式。由可求得，因為為完全平方式，所以若有些項為中對應(yīng)項的相反數(shù)，則再求和時很有可能不是完全平方數(shù)。根據(jù)時，，可知只有時，恒大于0，即，所以是“完全平方數(shù)列”；時，中存在部分項小于0，可知不是“完全平方數(shù)列”解：時，時，當(dāng)，時，的前項和即為，所以為“完全平方數(shù)列”當(dāng)時，不是完全平方數(shù)不是“完全平方數(shù)列”綜上所述：時，是“完全平方數(shù)列”，時，不是“完全平方數(shù)列”（3）思路：依題意可知該等差數(shù)列的前項和公式應(yīng)為完全平方式，由等差數(shù)列求和公式出發(fā)，可將其通過配方向完全平方式進行靠攏，可得：，所以有，再根據(jù)利用整數(shù)的特性求解即可。解：設(shè)所求等差數(shù)列的首項為，公差為若為“完全平方數(shù)列”則，為完全平方式由①可令由②令，可得：代入到③可得：或當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，符合上式綜上所述，例2：已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設(shè)，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，，求實數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時，給出一個新數(shù)列，其中設(shè)這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成(且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．（1）思路：證明為等比數(shù)列，可以利用條件中的作為中間橋梁尋找的關(guān)系，則有，只需找到的關(guān)系，由及可得：，進而代入解出解：為公比是的等比數(shù)列（2）思路：由（1）可解出，進而可求出，由可在的情況下得到關(guān)于的恒成立不等式，從而通過參變分離可求出的范圍：，再驗證是否成立即可解：由（1）可得：時，時，即當(dāng)時，成立（3）思路：時，可代入求出，從而，利用“指數(shù)型和”的定義，可先求出前項和，從而將問題轉(zhuǎn)化為可否寫成的形式，本題不便將變形為的形式，所以考慮利用等式轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題。即判斷是否有解。，為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，。而只是個2相乘，所以可通過對分解后的每個因式能否表示為的形式進行討論即可。解：由（1）可得：當(dāng)時，當(dāng)時，時，假設(shè)中的項存在“指數(shù)型和”，則使得：當(dāng)為偶數(shù)時：設(shè)，則可解得：，即，為“指數(shù)型和”當(dāng)為奇數(shù)時，若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)為奇數(shù)，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為個奇數(shù)之和也為奇數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時，不存在“指數(shù)型和”綜上所述：只有為“指數(shù)型和”例3：如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項，則也是數(shù)列中的一項，那么就稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值（2）若有窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項和（3）已知有窮等差數(shù)列的項數(shù)是，所有項之和是，試判斷數(shù)列是否為“兌換數(shù)列”？如果是，給予證明，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，請說明理由（1）思路：依照“兌換數(shù)列”的定義可知，應(yīng)均在數(shù)列中，在第（1）問中涉及兩個變量，故考慮尋找兩個等量，通過方程解決。其最重要的等量關(guān)系就是找到是數(shù)列中的哪一項。通過排序可知，則通過不等式性質(zhì)可知：，此數(shù)列一共就4項且單調(diào)遞增，所以得，從而解得解：由已知可得：在“兌換數(shù)列”中，且也在該數(shù)列中，且（2）思路：第（1）問提供了這樣一個思路：如果數(shù)列是有限數(shù)列且單調(diào)，則由對應(yīng)生成的數(shù)列也單調(diào)，且單調(diào)性相反。由“兌換數(shù)列”的定義即可知兩個數(shù)列中項應(yīng)存在相等關(guān)系。所以利用這個特征可知在中，由且能夠得到，即，根據(jù)首尾和是個常數(shù)的特點可知求和時使用倒序相加法即可得到解：不妨設(shè)有窮數(shù)列的項數(shù)為為遞增數(shù)列即（3）思路：由（2）可得：若有窮單調(diào)數(shù)列為“兌換數(shù)列”，則要滿足。那么在等差數(shù)列中，有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)，所以就可得到：，且等差數(shù)列若不是常數(shù)列，則為單調(diào)數(shù)列。由這兩點并結(jié)合（2）的思路則可證明等差數(shù)列均為“兌換數(shù)列”，，再通過等差數(shù)列前項和公式即可解出數(shù)列是“兌換數(shù)列”，證明如下：設(shè)的公差為若，則遞增設(shè)，由可得：同理，若，則遞減若，則為常數(shù)列，只需即可，則為“兌換數(shù)列”由（2）可知：例4：設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和；（3）若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和（1）思路：首先要根據(jù)例子及定義理解什么是“伴隨數(shù)列”，“是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值”，則意味著每取一個值，則可通過解不等式得到的最大值即為，那么按此規(guī)律可知在（1）中，，，說明在中，小于等于3的只有1項，即，，則，所以，同理，則解：（2）思路：由（1）可知：伴隨數(shù)列中的項即為解不等式得到的最大值，本題已知，則可建立不等式，則對取每一個值，計算的最大值即可。例如，則；，則；以此類推便可尋找到規(guī)律，即時，，即，抓住這個規(guī)律即可得到的前30項，進而求和若考慮解關(guān)于的不等式當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，的前30項和為（3）思路：已知即可求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合（2）對“伴隨數(shù)列”定義的使用，即可建立不等式，從而可得到：，根據(jù)項的的特點可考慮以相鄰兩項為一組進行求和，則需對項數(shù)進行奇偶分類討論，進而得到，則解關(guān)于的不等式時，即當(dāng)時，即綜上所述：例5：對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，定義變換：將“數(shù)列”中原有的每個1都變成，原有的每個0都變成.例如：，則，設(shè)是“數(shù)列”，令（1）若數(shù)列，求數(shù)列（2）若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由（3）若，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是的數(shù)對個數(shù)為，求關(guān)于的表達式（1）思路：依題意可知變換的特點為1項分裂為2項，所以可將中的項兩兩一組，再根據(jù)規(guī)則即可還原為，照此方法即可得到解：由變換的規(guī)則可知：（2）思路：首先可先觀察兩次變換的特點，可知，，發(fā)現(xiàn)無論是從1開始還是從0開始，兩次變換后均可得到一對相鄰的數(shù)，且首尾也相同，這意味著若中若含相鄰的數(shù)，則兩次變換后這兩個數(shù)生成的數(shù)首尾也將連接成相鄰的數(shù)對，例如：。進而可知：共有10項，那么兩次變換后至少會有對，（例如當(dāng)時）若作兩次變換：，中的每一項通過兩次變換均生成一對兩項相等的數(shù)對，所以至少有10對（3）思路：依題意可將視為一個數(shù)列，則所求即為該數(shù)列的通項公式。由數(shù)列的知識可知，求通項公式常用的手段有三種：利用數(shù)列中的項尋找規(guī)律并證明；通過遞推公式；通過求和公式。所以若不愿列出具體項尋找規(guī)律，則需要先找到關(guān)于的一個遞推公式，即尋找第次變換與前幾次變換數(shù)對的聯(lián)系。由（2）可知，若產(chǎn)生數(shù)對，則上一步只能為，所以數(shù)對的個數(shù)與上一步數(shù)對（記為）的個數(shù)相同。即，再考慮數(shù)對的來源，共有兩個，一個是由上一步的得到，一個是由上一步的得到由變換的規(guī)則及（2）可知：中數(shù)對只能由中的數(shù)對生成，中的1共有個（因為每一次變換生成相同個數(shù)的，所以中含個1，個0），所以，聯(lián)立兩個等式可得：，消去即可得到關(guān)于的遞推公式，然后再求得的通項公式即可解：設(shè)中有個數(shù)對①另一方面：，且中和的總個數(shù)相等中項有個中有個，有個而中的數(shù)對從處只有兩條途徑能夠得到：一個是由中的得到（個），一個是由中的得到（個）②由①②可得：由，可得：當(dāng)為偶數(shù)時當(dāng)為奇數(shù)時：綜上所述：例6：已知數(shù)列是正整數(shù)的一個全排列，若對每個都有或，則稱為數(shù)列（1）寫出滿足的所有數(shù)列（2）寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式（3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或解：（1）或（2）思路：中的項為的一個全排列，所以在構(gòu)造最好符合一定的規(guī)律，以便于寫出通項公式，由（1）的啟發(fā)可知的前5個數(shù)可為第（1）問中的一種情況，因為或，即只關(guān)心相鄰兩項的差，故可為的一個排列，且，這樣就保證了在第2組中，相鄰項的差均符合條件，只需驗證即可：以為例，則，可知符合題意。按此規(guī)律構(gòu)造，5個數(shù)為一組，第組的數(shù)為第組對應(yīng)的數(shù)加上5，從而得到解：由（1）可知，記為的第一組數(shù)考慮構(gòu)造數(shù)列滿足，則對任意的，或且當(dāng)時，符合要求綜上所述：（3）思路：若的公差為，則，因為中相鄰項的差為，所以必然由若干個組成，但不會同時出現(xiàn)且不會同時出現(xiàn)（否則數(shù)列會出相同項，不符題意）即可以寫成的形式，且，由此可解得，然后根據(jù)的取值分別進行驗證，看中的項是否在中（主要抓?。?，即可判斷出的值只能是解：為等差數(shù)列且由或，可得：或且①若，則，不符題意②若，則，不符題意③若，則當(dāng)時，，不符題意當(dāng)時，或，所以可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問中的結(jié)論）④若，則，可得不符題意⑤若，則當(dāng)時，，不符題意當(dāng)時，同③可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問中的結(jié)論）⑥若，則，不符題意綜上所述，若為等差數(shù)列，則或例7：若有窮數(shù)列滿足：（1）；（2），則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”（1）分別寫出一個單調(diào)遞增的“3階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列”（2）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式（3）記“階非凡數(shù)列”的前項的和為，求證：①②解：（1）3階非凡數(shù)列：4階非凡數(shù)列：（2）思路：首先明確其通項公式應(yīng)該是關(guān)于和序數(shù)的表達式，要求得通項公式，關(guān)鍵要確定，因為非常數(shù)列的等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，所以由一方面利用等差數(shù)列性質(zhì)可得到，另一方面也可知該數(shù)列以為分界線，左右兩側(cè)分為正項與負項（與的符號有關(guān)），可分進行討論。當(dāng)時，為遞增數(shù)列，從而可知為負項，為正項。再由可得，從而用可表示出，另一方面，進而均可用表示，所以可求得其通項公式。按同樣的方法可求出時的通項公式解：設(shè)等差數(shù)列的公差為即當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且；且當(dāng)時，為遞減數(shù)列，同理可得：，即（3）①證明：當(dāng)時，當(dāng)時，②思路一：本題的難點在于不知中各項的符號，但從（1）（2）問可得到一個規(guī)律，任意“歸化數(shù)列”，其正項和為，負項和為，進而可以考慮在求和時正項一組，負項一組進行放縮。解：依題意可得：中的項有正有負設(shè)中的正項為，負項為，零項為而（所有系數(shù)放大為1）（所有系數(shù)變?yōu)椋┧悸范罕绢}從通項公式入手，考慮，從而，合并同類項即可得到：，聯(lián)想到裂項相消，且由第①問可知，可利用放縮及絕對值不等式得到解：，且即不等式得證小煉有話說：（1）對于“新概念”的題目，要善于利用具體實例或者前面的小問掌握其規(guī)律，為最后一問做準(zhǔn)備。在本題中通過前兩問所總結(jié)出的“正項和為，負項和為”即為第三問的突破口（2）從一個已知數(shù)列中抽出若干項形成新數(shù)列，要善于運用雙字母進行書寫。可參考本題中的寫法?？梢员硎境鲂聰?shù)列的項源自于的第幾項，而表示新數(shù)列中該項的序數(shù)。一種寫法，兩個含義均顯現(xiàn)其中。例8：對于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項，把或（）作為新數(shù)列的第項，數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和．（1）寫出的所有可能值；（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為．（1）思路：由“生成數(shù)列”的定義可知的前三項可能的值為，進而通過不同的組合可求得解：由已知可得：，且可能的求和為：可能的取值為（2）思路：本題已知的表達式，可類比在數(shù)列中已知求數(shù)列通項的方式，得到，計算可得：，由為生成數(shù)列可得：，通過合理組合即可得到：，從而得到通項公式當(dāng)時，當(dāng)時，數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列若，則以上各種組合中，只有（3）思路：由生成數(shù)列的定義可知，所以其共計中情況。而觀察中元素的個數(shù)恰好也為個（從取到個），且本題無法一一計算出，故從可取的值的個數(shù)與元素個數(shù)相等作為突破口，若要證取值集合所給集合相等，則可通過兩個步驟證明：一是證明的值一定都在中，可通過，其中為奇數(shù)可得，二是證明對于不同的生成數(shù)列，其和也必然不同（利用反證法），進而再利用可取的值的個數(shù)與的個數(shù)均為即可證明結(jié)論共有種情況，即：，可知為奇數(shù)滿足且分子為奇數(shù)的共有種共有種情況只需證明兩個不同的生成數(shù)列，其和不同即可設(shè)數(shù)列為兩個不同的生成數(shù)列，且和分別記為則為生成數(shù)列，所以或不同，使得所以種不同的生成數(shù)列，其和共有種可能只有種可能∴可能值必恰為，共個．的所有可能值組成的集合為例9：有限數(shù)列同時滿足下列兩個條件：①對于任意的（），；②對于任意的（），，，三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項.（1）若，且，，，，求的值；（2）證明：不可能是數(shù)列中的項；（3）求的最大值解：（1）由①可知：考慮，依題意三個數(shù)至少有一個在中且均不在中（2）思路：本題并不容易去證明“不可能”，故考慮用反證法，先假設(shè)可能，再推出矛盾。若均在中，則中至少有一項在里，此時就會“創(chuàng)造出一項”位于中，進而可知這種“創(chuàng)造”是無休止的，所生成的新的項要大于之前的每一個數(shù)（數(shù)列遞增）那么以此類推下去，的項數(shù)會無限增加下去，與“為有限數(shù)列”矛盾。所以本題的證明可以以“為有限數(shù)列”為突破口，假定最后的三項為，則，則比都大，那么只能為，即，同理對于，也可得到，從而推出，與數(shù)列遞增矛盾。所以不可能是數(shù)列中的項解：（反證法）：假設(shè)是數(shù)列中的項由②可知：6，10，15中至少有一個是數(shù)列中的項，則有限數(shù)列的最后一項，且.由①，.對于數(shù)，由②可知：；對于數(shù)，由②可知：.所以，這與①矛盾.所以不可能是數(shù)列中的項.（3）思路：本題的主旨在于盡可能構(gòu)造項數(shù)多的，由（2）的證明過程可提供一條線索，當(dāng)大于1的項超過3項時，則不成立，所以可知中至多有3項，且這3項中兩項的乘積等于第三項。同時還可對其進行推廣得到中至多有3項，絕對值大于1；然后可將這種思路拓展至其它范圍，比如絕對值在0至1之間同理也至多只有3項。再補充上，所以的最大值為，可構(gòu)造為解：的最大值為，證明如下：（1）令，則符合①、②.（2）設(shè)符合①、②，則：①中至多有三項，其絕對值大于1.假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于1，不妨設(shè)，，，是中絕對值最大的四項，其中.則對有，所以均不是數(shù)列中的項，即是數(shù)列中的項同理：也是數(shù)列中的項但，與①矛盾②中至多有三項，其絕對值大于0且小于1.假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于0且小于1，類似（?。┑贸雒?③中至多有兩項絕對值等于1.④中至多有一項等于0.綜合①②③④可知中至多有9項.由（1），（2）可得，的最大值為9.例10：對于實數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實數(shù)稱為實數(shù)的小數(shù)部分，用記號表示，對于實數(shù)，無窮數(shù)列滿足如下條件：其中.（1）若，求數(shù)列；（2）當(dāng)時，對任意的，都有，求符合要求的實數(shù)構(gòu)成的集合．（3）若是有理數(shù)，設(shè)（是整數(shù)，是正整數(shù)，、互質(zhì)），問對于大于的任意正整數(shù)，是否都有成立，并證明你的結(jié)論．（1）思路：按照題目規(guī)則可知即為的小數(shù)部分，所以只有確定介于哪兩個整數(shù)之間，才能夠求出。由得，，由得，進而發(fā)現(xiàn)，且計算的過程與計算相同，可猜想，考慮到可由求出，所以用數(shù)學(xué)歸納法即可證明解：猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，假設(shè)時，，則時成立（2）思路：由（1）的過程可知本題在計算各項時關(guān)鍵要把握住“”里面數(shù)的范圍，，意味著故的范圍是本問的關(guān)鍵，由得，所以要對分為進行分類討論，從而確定的結(jié)果，得到關(guān)于的方程，求解即可依題意可知當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：綜上所述：（3）思路：因為，從而，所以也可寫成“”的形式，且，所以均可表示為的形式，依規(guī)則可知一旦，則后面的項均為0，所以要證明大于的任意正整數(shù)，，則需要在中尋找出得0的項。本題已知遞推公式，所以考慮以相鄰項的關(guān)系入手，即尋找與的關(guān)系，，確定的范圍是關(guān)鍵，對于且可知利用帶余除法得到，從而中，所以，再由即可得到，從而可知為遞減數(shù)列，且均為正整數(shù)。則有，此處便可發(fā)現(xiàn)突破口，小于的正整數(shù)共有個，但中小于的項共有個，則里面必含，即證明結(jié)論解：該結(jié)論成立，證明如下：，即，為正有理數(shù)或0設(shè)，則有，即若，則可知，所以當(dāng)時，均有若，可設(shè)，依假設(shè)可知由可得：為遞減數(shù)列，且對于給定的，若均不為0，則即小于的整數(shù)有個但小于的正整數(shù)為共個，所以矛盾中至少有一個為0，即存在，