2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是x＝1，則m的值為（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣23．（3分）方程x2+1＝3x二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．1，﹣3，1 B．﹣1，﹣3，1 C．1，3，﹣1 D．1，3，14．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2向右平移2個單位長度，向上平移1個單位長度，得到拋物線（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣15．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程應(yīng)變形為（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣6）2＝86．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判斷7．（3分）如圖是一條拋物線的圖象，則其解析式為（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣38．（3分）已知點(diǎn)（﹣1，y1）、（﹣3，y2）都在函數(shù)y＝x2的圖象上，則（）A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y2＜y1 D．0＜y1＜y29．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°（）A． B． C． D．10．（3分）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項目之一，運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動員起跳后的豎直高度y（單位：m）（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二、填空題（每題2分，共16分）11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．12．（2分）已知y＝（m+2）x|m|+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為．13．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1的最小值是．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝35°，得到△AB′C′，則∠B′AC的度數(shù)是．15．（2分）寫出一個開口向下，頂點(diǎn)為（1，2）的二次函數(shù)．16．（2分）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意．17．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x與y滿足下表：x…﹣2﹣1012…y…﹣8﹣20﹣2﹣8…則下列說法：①圖象經(jīng)過原點(diǎn)；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸是y軸（﹣3，﹣18）．其中正確的是．18．（2分）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實(shí)踐活動．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/分鐘99797104在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要分鐘．三、解答題（19題8分，20題12分，21-23題5分，24-25題6分，26題7分）19．（8分）解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0．20．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5．（1）用配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象．x……﹣5﹣4﹣201……y……059……（3）根據(jù)圖象回答下列問題：①當(dāng)x時，y隨x的增大而減??；②當(dāng)x時，函數(shù)y有最值，是；③當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是；④當(dāng)﹣5＜x＜0時，y的取值范圍是．21．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′；（2）直接寫出點(diǎn)C′的坐標(biāo)；（3）求△ABC的面積．22．（5分）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，求剪去小正方形的邊長．23．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．24．（6分）已知乒乓球桌的長度為274cm，某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球向正前方拋向?qū)γ孀烂?，乒乓球的運(yùn)動路線近似是拋物線的一部分．（1）建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；水平距離x/cm04080120160豎直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在拋物線y＝mx2+2以及兩點(diǎn)A（﹣3，m）和B（1，m）．（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，m），求此拋物線的表達(dá)式；（3）若該拋物線與線段AB只有一個公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，求m的取值范圍．26．（7分）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE的垂線交CB延長線于點(diǎn)F，連接EF．（1）計算∠AEF的度數(shù)；（2）如圖2，過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G，并證明．

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．既是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．2．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是x＝1，則m的值為（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x﹣m＝0得1+7﹣m＝0，解得m＝4，即m的值為4．故選：B．3．（3分）方程x2+1＝3x二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．1，﹣3，1 B．﹣1，﹣3，1 C．1，3，﹣1 D．1，3，1【解答】解：把原方程化為一般式為x2﹣3x+7＝0，∴原方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為﹣3，故選：A．4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2向右平移2個單位長度，向上平移1個單位長度，得到拋物線（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1【解答】解：拋物線y＝x2向右平移2個單位長度，得：y＝（x﹣5）2；再向上平移1個單位長度，得：y＝（x﹣6）2+1．故選：A．5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程應(yīng)變形為（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣6）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+6＝0，∴x2﹣8x+9＝8，∴（x﹣5）2＝8，故選：A．6．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判斷【解答】解：由題意得，Δ＝m2﹣4×（﹣6）＝m2+32＞0，∴原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．7．（3分）如圖是一條拋物線的圖象，則其解析式為（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3【解答】解：因為拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），5），可設(shè)交點(diǎn)式為y＝a（x+1）（x﹣3），把（3，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得：﹣3＝a（0+3）（0﹣3），解得：a＝3，所以解析式為：y＝x2﹣2x﹣5，故選：B．8．（3分）已知點(diǎn)（﹣1，y1）、（﹣3，y2）都在函數(shù)y＝x2的圖象上，則（）A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y2＜y1 D．0＜y1＜y2【解答】解：∵點(diǎn)（﹣1，y1）、（﹣7，y2）都在函數(shù)y＝x2的圖象上，當(dāng)x＝﹣7時，y1＝1，當(dāng)x＝﹣2時，y2＝9，∴.3＜y1＜y2．故選：D．9．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝6，∴B′（﹣，3），故選：A．10．（3分）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項目之一，運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動員起跳后的豎直高度y（單位：m）（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【解答】解：法一：根據(jù)題意知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（2，54.0），46.2），57.5），則解得，所以x＝﹣＝﹣．法二：∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越近，位置越高，從A、C兩點(diǎn)來看，即在20左邊，從A、B兩點(diǎn)來看，即在10右邊，故選：B．二、填空題（每題2分，共16分）11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，3）．故答案為：（﹣8，3）．12．（2分）已知y＝（m+2）x|m|+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為2．【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝3．故答案為：2．13．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1的最小值是﹣5．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）5﹣5，可見二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1的最小值是﹣5．故答案為﹣7．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝35°，得到△AB′C′，則∠B′AC的度數(shù)是15°．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴∠BAB'＝50°，又∵∠BAC＝35°，∴∠B′AC＝50°﹣35°＝15°．故答案為：15°．15．（2分）寫出一個開口向下，頂點(diǎn)為（1，2）的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【解答】解：∵頂點(diǎn)為（1，2），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝a（x﹣6）2+2，∵開口向下，∴a＝﹣2＜0，∴y＝﹣（x﹣1）7+2，故答案為：y＝﹣（x﹣1）5+2（答案不唯一）．16．（2分）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意301（1+x）2＝500．【解答】解：設(shè)該市新建智能充電樁個數(shù)的月平均增長率為x，依題意得：301（1+x）2＝500．故答案為：301（6+x）2＝500．17．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x與y滿足下表：x…﹣2﹣1012…y…﹣8﹣20﹣2﹣8…則下列說法：①圖象經(jīng)過原點(diǎn)；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸是y軸（﹣3，﹣18）．其中正確的是①②③④．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（2，0），∴該拋物線圖象經(jīng)過原點(diǎn)，故①正確；∵當(dāng)x＝﹣1和x＝5的函數(shù)值相同，∴對稱軸為直線，即對稱軸為y軸，∵當(dāng)x＝﹣1時的函數(shù)值小于x＝6的函數(shù)值，∴在對稱軸左邊，y隨x增大而增大，∴圖象開口向下，故②正確；設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+c，把（1，﹣6），﹣8）代入y＝ax2+c中得：，∴，∴拋物線解析式為y＝﹣2x5，∴當(dāng)x＝﹣3時，y＝﹣2×（﹣8）2＝﹣18，∴圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，﹣18）；故答案為：①②③④．18．（2分）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實(shí)踐活動．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/分鐘99797104在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要53分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要28分鐘．【解答】解：由題意得：9+9+5+9+7+10+2＝55（分鐘），即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要55分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，D都完成后進(jìn)行，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時做工序B，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時做工序C，需要11分鐘，最后甲學(xué)生做工序F，乙學(xué)生同時做工序E，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要9+11+6＝28（分鐘），故答案為：55，28．三、解答題（19題8分，20題12分，21-23題5分，24-25題6分，26題7分）19．（8分）解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0．【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝8，∴（x﹣6）（x+2）＝8，則x﹣6＝0或x+3＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．20．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5．（1）用配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）補(bǔ)全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象．x……﹣5﹣4﹣201……y……059……（3）根據(jù)圖象回答下列問題：①當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減小；②當(dāng)x＝﹣2時，函數(shù)y有最大值，是9；③當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣5＜x＜1；④當(dāng)﹣5＜x＜0時，y的取值范圍是0＜y≤9．【解答】解：（1）依題意，y＝﹣x2﹣4x+4＝﹣（x2+4x+4﹣4）+5＝﹣（x+8）2+9，∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣7，9）；（2）依題意，∵y＝﹣x2﹣8x+5＝﹣（x+2）3+9，∴函數(shù)的對稱軸是直線x＝﹣2，x＝﹣8和x＝1關(guān)于對稱軸直線x＝﹣2對稱，以及x＝﹣7和x＝0關(guān)于對稱軸直線x＝﹣2對稱，∴當(dāng)x＝8，則y＝5，則y＝0，補(bǔ)全表格，x……﹣3﹣4﹣241……y……07952……并在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出該二次函數(shù)的圖象．如圖所示：（3）根據(jù)圖象回答下列問題：①當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減小；②當(dāng)x＝﹣2時，函數(shù)y有最大值；③當(dāng)y＞3時，x的取值范圍是﹣5＜x＜1；④當(dāng)﹣3＜x＜0時，y最大值＝9，當(dāng)x＝﹣5，則y＝0，則y＝5；當(dāng)﹣2＜x＜0時，y的取值范圍是0＜y≤7．21．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′；（2）直接寫出點(diǎn)C′的坐標(biāo)；（3）求△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖所示：∴△A′B′C′即為所求；（2）由（1）可知，點(diǎn)C′的坐標(biāo)（2；（3）如圖所示：∴．22．（5分）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，求剪去小正方形的邊長．【解答】解：設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm，則紙盒底面的長為（40﹣2x）cm，根據(jù)題意得：（30﹣2x）（40﹣8x）＝600．整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0．解得：x7＝30（舍去），x2＝5，答：剪去小正方形的邊長是5cm．23．（5分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+5m﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，∴b6﹣4ac＝4﹣7（2m﹣1）≥3，解得：m≤1，∵m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程可化為x4﹣2x+1＝7，則（x﹣1）2＝5，解得：x1＝x2＝5．24．（6分）已知乒乓球桌的長度為274cm，某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球向正前方拋向?qū)γ孀烂妫古仪虻倪\(yùn)動路線近似是拋物線的一部分．（1）建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；水平距離x/cm04080120160豎直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可知，乒乓球豎直高度的最大值為50cm，h1＝80，k＝50；∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣80）2+50，把（7，18）代入函數(shù)解析式得：18＝a×802+50，解得a＝﹣0.005，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3.005（x﹣80）2+50；（2）令y＝0，則﹣8.005（x﹣80）2+50＝0，解得x＝180或x＝﹣20（舍去），∴球第一次落在球桌面上的點(diǎn)為（180，4），把（180，0）代入y＝﹣0.005（x﹣h4）2+8得：﹣3.005（180﹣h2）2+3＝0，解得h2＝140（舍去）或h5＝220，∴乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x