考研數(shù)學(xué)二分類模擬230

考研數(shù)學(xué)二分類模擬230解答題1.

證明：當(dāng)x＞0時，有

正確答案：證明：已知cosx≤1，則

證畢．

注本題完全可以通過求導(dǎo)的方法證明該不等式，上述證明反復(fù)應(yīng)用了積分的保不等式性(保序性)．[考點]一元函數(shù)微積分

2.

求．正確答案：解：設(shè)，則x=t6-1，dx=6t5dt．代入得

其中．

注本題最后并沒有還原成關(guān)于x的函數(shù)，否則，原函數(shù)的形式過于龐大，嚴(yán)重影響積分的顏值，讀者不妨自己還原．[考點]不定積分、定積分、反常積分

3.

證明：函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是，存在x0的某個鄰域U以及定義在U上且在點x0處連續(xù)的函數(shù)g(x)，使f(x)=f(x0)+g(x)(x-x0)(x∈U)．正確答案：證明：()設(shè)f(x)在點x0處可導(dǎo)，令

則

即g(x)在x=x0處連續(xù)．

()如果g(x)滿足條件且在x=x0處連續(xù)，則

因此f(x)在x=x0處可導(dǎo)．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

4.

討論的斂散性．正確答案：解：將積分分成

對于積分由于x1-p·(xp-1e-x)→1(當(dāng)x→0+時)，故當(dāng)p＞0時(從而1-p＜1)積分收斂．

對于積分．由于

故對于一切p值，積分收斂．

于是，當(dāng)p＞0時，積分收斂．[考點]不定積分、定積分、反常積分

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)連續(xù)，在U°(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，證明：f(x)在點x0可導(dǎo)，且．正確答案：證明：f(x)在點x0可導(dǎo)左右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等．

任取x∈U°+(x0)，f(x)在[x，x0]上滿足拉格朗日定理的條件，則存在ξ∈(x，x0)，使得

由于x＜ξ＜x0，因此當(dāng)x→x0+時，有ξ→x0+，對式①兩邊取極限，得

同理可得

因為存在，即，再由式②③得f'(x0+0)=A=f'(x0-0)，從而證得．

注

本例的結(jié)論稱為“導(dǎo)數(shù)極限定理”，讀者可以記住，直接使用．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

6.

設(shè)A是三階矩陣，若Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，且A的每行元素之和為a，問a為何值時，A能相似于對角矩陣?相似時，求可逆矩陣P，使得．a(chǎn)為何值時，A不能確定是否相似于對角矩陣，說明理由．正確答案：解：由A是三階矩陣，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，知r(A)=1，ξ1，ξ2是A的對應(yīng)于特征值λ=0的兩個線性無關(guān)的特征向量，又A的每行元素之和為a，即

知λ=a是A的特征值，對應(yīng)的特征向量為ξ3=(1，1，1)T．

當(dāng)a≠0時，ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)，此時A相似于對角矩陣，故存在可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得

當(dāng)a=0時，有

故ξ3是Ax=0的解向量，ξ3=k1ξ1+k2ξ2，此時，不能確定A是否相似于對角矩陣．[考點]特征值、特征向量及二次型

7.

討論的斂散性．正確答案：解：先考慮積分．當(dāng)α＞1時，取正數(shù)a充分小，使α-a＞1．由于

故此時積分收斂．當(dāng)α≤1時，由于

故此時積分發(fā)散．

再考慮積分．由于，故積分僅當(dāng)α-1＜1，即當(dāng)α＜2時收斂．

于是，當(dāng)1＜α＜2時，積分收斂．[考點]不定積分、定積分、反常積分

8.

設(shè)在點x=1處連續(xù)，試確定A，B.正確答案：解：由于f(x)在點x=1處連續(xù)，則．

因，解得B=-A．

故

所以A=2，B=-2．[考點]函數(shù)、極限

9.

求極限．正確答案：解：

其中

所以[考點]函數(shù)、極限

10.

設(shè)，求f(x)的間斷點，并進(jìn)行分類．正確答案：解：x=0，x=1，x=π為f(x)的間斷點

由f(0-0)≠f(0+0)得x=0為第一類間斷點(跳躍間斷點)．

注意到當(dāng)x→π-時，sinx＞0，則|sinx|=sinx=sin(π-x)=-sin(x-π)；當(dāng)x→π+時，sinx＜0，則|sinx|=-sinx=-sin(π-x)=sin(x-π)．

所以

由f(π-0)≠f(π+0)得x=π為第一類間斷點(跳躍間斷點)．

由

得x=1為第二類間斷點．[考點]函數(shù)、極限

11.

設(shè)f(x)在[-a，a](a＞0)上連續(xù)，證明：，并計算．正確答案：證明：因分別為偶、奇函數(shù)，所以

[考點]不定積分、定積分、反常積分

12.

求．正確答案：解：記，由于x→0+時，；x→0-時，，且f(x)的表達(dá)式中還含有絕對值，故需分別考慮f(x)在點x=0處的左、右極限

所以．[考點]函數(shù)、極限

13.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可微，并且f(0)=0，f(1)=1．又設(shè)是k1，k2，…，kn是n個正數(shù)，滿足，證明：在(0，1)中存在n個不同的數(shù)ξ1，ξ2，…，ξn，使得

正確答案：證明：因為f(0)=0，f(1)=1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在xi∈[0，1]，使得

f(xi)=k1+k2+…+ki(i=1，2，…，n)

約定x0=0，xn=1，并且不妨設(shè)xi-1＜xi(i=1，2，…，n)，對f(x)在[xi-1，xi]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

f(xi)-f(xi-1)=f'(ξi)(xi-xi-1)(ξi∈(xi-1，xi)，i=1，2，…，n)

由此得

從而

[考點]一元函數(shù)微積分

設(shè)

14.

討論f在點(0，0)處的連續(xù)性；正確答案：解：f在點(0，0)處的連續(xù)性

由此知函數(shù)f在(0，0)處連續(xù)．[考點]多元函數(shù)微積分

15.

求f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)；正確答案：解：計算f的偏導(dǎo)數(shù)．

(ⅰ)當(dāng)x2+y2≠0時

(ⅱ)當(dāng)x2+y2=0時，按定義可得

[考點]多元函數(shù)微積分

16.

f在點(0，0)處的可微性．正確答案：解：f在(0，0)處的可微性：

考察極限

利用泰勒公式，可把此極限寫成

當(dāng)x≠0時，由于

因此

又當(dāng)x=0時

從而有

于是函數(shù)f在(0，0)處可微．[考點]多元函數(shù)微積分

17.

求極限，|a|＞1．正確答案：解：記，則

因此

于是

因為|a|＞1，所以

由此得到

[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

18.

設(shè)證明f(x)在點(0，0)處連續(xù)但不可微．正確答案：證明：由于

故，從而f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．

又

同理f'y(0，0)=0．

令

考慮

其中．故不存在，所以f(x，y)在(0，0)不可微．[考點]多元函數(shù)微分學(xué)

19.

設(shè)A，B都是n階矩陣．如果A2=B2，是否可推出A=B或A=-B?正確答案：解：由于A與B不一定可交換，因此A2-B2≠(A+B)(A-B)．即使A與B可交換，有A2-B2=(A+B)(A-B)，從而(A+B)(A-B)=0，但也推不出A+B=0或A-B=0．

例如，設(shè)A=E2