考研數(shù)學(xué)二分類模擬題20

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題20解答題設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，令1.

求g'(x)；正確答案：[解]因?yàn)?，所以g(x)在x=0處連續(xù)．

當(dāng)x≠0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，由

得，即

2.

討論g'(x)在x=0處的連續(xù)性．正確答案：[解]因?yàn)?/p>

所以g'(x)在x=0處連續(xù)．

3.

求常數(shù)a，b使得在x=0處可導(dǎo)．正確答案：[解]因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，

由f(x)在x=0處可導(dǎo)，則3+2a=10+6b，解得

4.

設(shè)求f'(x)并討論f'(x)在x=0處的連續(xù)性．正確答案：[解]當(dāng)x≠0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，

故

因?yàn)?/p>

所以f'(x)在x=0處連續(xù)．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．

證明：存在ξ∈(0，3)，使得f'(ξ)=0．正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，顯然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．

因?yàn)閒(x)在[c，3]上連續(xù)，在(c，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(c)=f(3)=1，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f'(ξ)=0．

6.

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g'(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)使正確答案：[證明]令φ(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且

因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即

由于g(b)=0及g'(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有于是有

7.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．

由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0．

而

所以即[解析]由，得，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]'=0，輔助函數(shù)為φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．

8.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令F(x)=f(x)g(b))+f(a)g(x)-f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，而F'(x)=f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，所以

[解析]這是含端點(diǎn)和含ξ的項(xiàng)的問題，且端點(diǎn)與含ξ的項(xiàng)不可分離，具體構(gòu)造輔助函數(shù)如下：把結(jié)論中的ξ換成x得，整理得

f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=0，

還原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]'=0，

輔助函數(shù)為F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)．

9.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得．正確答案：[證明]令

因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0．

而，故[解析]由，得，從而，輔助函數(shù)為

10.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)＞0，．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=f(ξ)．正確答案：[證明]不妨設(shè)f(a)＞0，f(b)＞0，，令φ(x)=e-x(x)，則

φ'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]．

因?yàn)棣?a)＞0，，φ(b)＞0，所以存在

使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

即e-ξ[f'(ξ)-f(ξ)]=0，因?yàn)閑-ξ≠0，所以f'(ξ)=f(ξ)．

11.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得

f'(ξ)+f'(η)=0．正確答案：[證明]存在，使得

因?yàn)閒(0)=f(1)，所以f'(ξ)=-f'(η)，即f'(ξ)+f'(η)=0．

12.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令F(x)=x2，F(xiàn)'(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，即，整理得，再由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，故．

13.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點(diǎn)A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點(diǎn)C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．正確答案：[證明]由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得

因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C共線，所以f'(ξ1)=f'(ξ2)，

又因?yàn)閒(x)二階可導(dǎo)，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．

14.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f'(ξ)＞0，f'(η)＜0．正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)=f(b)，

由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得

15.

設(shè)b＞a＞0，證明：正確答案：[證明]方法一令f(t)=lnt，由微分中值定理得，其中ξ∈(a，b)．

因?yàn)?＜a＜ξ＜b，所以，從而，即

方法二等價(jià)于b(lnb-lna)＞b-a，令φ1(x)=x(lnx-lna)-(x-a)，φ1(a)=0，φ'1(x)=lnx-lna＞0(x＞a)．

由得φ1(x)＞0(x＞a)，而b＞a，所以φ1(b)＞0，從而，同理可證．

16.

設(shè)f(x)在[a，b]上滿足|f"(x)|≤2，且f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值．證明：

|f'(a)|+|f'(b)|≤2(b-a)．正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f'(c)=0．

由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，

兩式取絕對(duì)值得

兩式相加得|f'(a)|+|f'(b)|≤2(b-a)．

17.

設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又|f"(x)|≤M，證明：正確答案：[證明]由泰勒公式得

兩式相減得

取絕對(duì)值得

因?yàn)閤2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故

18.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，且滿足條件f(a)=g(a)，f'(a)=g'(a)，f"(x)＞g"(x)(x＞a)．證明：當(dāng)x＞a時(shí)，f(x)＞g(x)．正確答案：[證明]令φ(x)=f(x)-g(x)，顯然φ(a)=φ'(a)=0，φ"(x)＞0(x＞a)．

由得φ'(x)＞0(x＞a)；

再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．

19.

證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＞(1+x)ln2(1+x)．正確答案：[證明]令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；

f'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f'(0)=0；

由得f'(x)＞0(x＞0)；

由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．

20.

證明不等式：正確答案：[證明]令，f(0)=0，令，得x=0，因?yàn)椋詘=0為f(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，而f(0)=0，故對(duì)一切的x，有f(x)≥0，即．

21.

求的極值．正確答案：[解]令y'=(1-x)arctanx=0，得x=0或x=1，，因?yàn)閥"(0)=1＞0，，所以x=0為極小值點(diǎn)，極小值為y=0；x=1為極大值點(diǎn)，極大值為

22.

設(shè)PQ為拋物線的弦，它在此拋物線過P點(diǎn)的法線上，求PQ長(zhǎng)度的最小值．正確答案：[解]令P，因?yàn)殛P(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)a＞0．

，過P點(diǎn)的法線方程為，

設(shè)，因?yàn)镼在法線上，所以，解得

PQ的長(zhǎng)度的平方為

由得為唯一駐點(diǎn)，從而為最小點(diǎn)，

故PQ的最小距離為

23.

證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1+x)ln2(1+x)＜x2．正確答案：[證明]令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；

f'(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f'(0)=0；

由得f'(x)＞0(0＜x＜1)；

再由，得f(x)＞0(0＜x＜1)，

故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1+x)ln2(1+x)＜x2．