考研數(shù)學(xué)二分類模擬題28

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題28一、填空題1.

正確答案：[解析]

2.

設(shè)，則正確答案：[解析]

3.

設(shè)z=esin2xy，則dz=______．正確答案：esin2xysin2xy(ydx+xdy)[解析]dz=esin2xysin2xy(ydx+xdy)

4.

設(shè)，則正確答案：[解析]則

5.

設(shè)，則正確答案：[解析]

6.

設(shè)f(x，y)滿足，f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，則f(x，y)=______．正確答案：y2+xy+1[解析]由得

因為f'y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即，

再由得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，

因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．

7.

，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則正確答案：[解析]

8.

設(shè)，且f(u，v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則正確答案：[解析]

9.

設(shè)，其中f(u)可導(dǎo)，則正確答案：2z[解析]，則．

10.

設(shè)z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則正確答案：[解析]z=f(x2+y2+z2，xyz)兩邊對x求偏導(dǎo)得，于是

11.

設(shè)y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數(shù)，則正確答案：[解析]ex+y+z=x2+y2+z2兩邊對z求偏導(dǎo)得，從而

12.

設(shè)x=f(x，y)是由確定的函數(shù)，則正確答案：[解析]將代入中得z=0，兩邊求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，將，，z=0代入得．

13.

設(shè)y=y(x)由確定，則正確答案：e-1[解析]當(dāng)x=0時，y=1，兩邊對x求導(dǎo)，得，將x=0，y=1代入得．

14.

設(shè)z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=______．正確答案：[解析]方法一z+ez=xy2兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得，解得；z+ez=xy2兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得，解得

故

方法二z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得

15.

設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中廠連續(xù)可偏導(dǎo)，則正確答案：[解析]z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導(dǎo)得解得

16.

設(shè)，其中f可導(dǎo)，則正確答案：z+xy[解析]

則

17.

由方程確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，-1)處的微分為dz=______．正確答案：[解析]兩邊求微分得

把(1，0，-1)代入上式得．

18.

設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由z+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f'x(0，1，-1)=______．正確答案：1[解析]x+y+z+xyz=0兩邊對x求偏導(dǎo)得，將x=0，y=1，z=-1，代入得解得f'x(0，1，-1)=1．

19.

設(shè)f(x，y)可微，且f'1(-1，3)=-2，f'2(-1，3)=1，令，則dz|(1，3)=______．正確答案：-7dx+3dy[解析]，

則，

則dz|(1，3)=-7dx+3dy．

二、選擇題1.

設(shè)，則f(x，y)在(0，0)處______．A.對x可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B.對x不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C.對x可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D.對x不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)正確答案：B[解析]因為不存在，所以f(x，y)在(0，0)處對x不可偏導(dǎo)，

因為，所以f'y(0，0)=0，即f(x，y)，在(0，0)處對y可偏導(dǎo)，應(yīng)選B．

2.

設(shè)f'x(x0，y0)，f'y(x0，y0)都存在，則______．

A．f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)

B．存在

C．f(x，y)在(x0，y0)處可微

D．存在正確答案：D[解析]多元函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)不一定在該點(diǎn)連續(xù)，A不對；

函數(shù)在(0，0)處可偏導(dǎo)，但不存在，B不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，C不對，應(yīng)選D，事實上由存在得．

3.

設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處______．A.取極大值B.取極小值C.不取極值D.無法確定是否有極值正確答案：A[解析]因為，根據(jù)極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)時，有，而，

所以當(dāng)時，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處取極大值，選A．

4.

設(shè)f(x，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則f(x，y)在(0，0)處______．A.取極大值B.取極小值C.不取極值D.無法確定是否取極值正確答案：A[解析]，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)時，．因為當(dāng)時，|x|+y2＞0，所以當(dāng)時，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處取極大值，選A．

5.

設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則．A.f'2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B.xf"12+xzf"22C.f'2+xf"12+xzf"22D.xzf"22正確答案：C[解析]，選C．

6.

函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)連續(xù)的______．A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.非充分非必要條件正確答案：D[解析]如在點(diǎn)(0，0)處可偏導(dǎo)，但不連續(xù)；

又如在(0，0)處連續(xù)，但對x不可偏導(dǎo)．

7.

設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是______．A.f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零B.f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)大于零C.f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)小于零D.f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)不存在正確答案：A[解析]可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則有f'x(x0，y0)=0，f'y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零，選A．

三、解答題1.

設(shè)u=xyz，求du．正確答案：[解]

由u=eyzlnx得

故

2.

設(shè)z=yf(x2-y2)，其中f可導(dǎo)，證明：正確答案：[證明]，則

3.

設(shè)，其中f，g二階可導(dǎo)，證明：正確答案：[證明]

故

4.

設(shè)u=f(x+y，x2+y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求正確答案：[解]

則

5.

設(shè)z=f[xg(y)，x-y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求正確答案：[解]

=g'(y)f'1+xg'(y)g(y)f"11+[xg'(y)-g(y)]f"12-f"22．

6.

設(shè)x=z(x，y)由xyz=x+y+z確定，求正確答案：[解]方法一令F=xyz-x-y-z，

則

方法二xyz=x+y+z兩邊對x求偏導(dǎo)得，解得，故

7.

舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)．可偏導(dǎo)不一定連續(xù)．正確答案：[解]設(shè)，顯然f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，但不存在，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對x不可偏導(dǎo)，由對稱性，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對y也不可偏導(dǎo)．

設(shè)

因為，

所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可偏導(dǎo)，且f'x(0，0