考研數(shù)學(xué)二分類模擬題56

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題56一、填空題1.

設(shè)，則A31+A32+A33=______．正確答案：0[解]

2.

設(shè)A，B都是三階矩陣，A相似于B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，則|B-1+2E|=______.正確答案：60[解]因?yàn)閨E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，所以A的三個(gè)特征值為，1，又A～B，所以B的特征值為，1，從而B(niǎo)-1的特征值為1，2，3，則B-1+2E的特征值為3，4，5，故|B-1+2E|=60.

3.

設(shè)A為三階正交陣，且|A|＜0，|B-A|=-4，則|E-ABT|=______.正確答案：-4[解]

|E-ABT|=|AAT-ABT|=|A||(A-B)T|=-|A-B|=|B-A|=-4.

4.

設(shè)A為n階矩陣，且|A|=a≠0，則|(kA)*|=______．正確答案：kn(n-1)an-1[解]因?yàn)?kA)*=kn-1A*，且|A*|=|A|n-1，所以

|(kA)*|=|kn-1A*|=kn(n-1)|A|n-1=kn(n-1)an-1.

5.

設(shè)A，B都是三階矩陣，，且滿足(A*)-1B=ABA+2A2，則B=______.正確答案：-6A(E+3A)-1[解]|A|=-3，A*=|A|A-1=-3A-1，則(A*)-1B=ABA+2A2化為注意到A可逆，得或-B=3BA+6A，則B=-6A(E+3A)-1，則

6.

設(shè)矩陣A，B滿足A*BA=2BA-8E，且，則B=______．正確答案：[解]由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以

7.

正確答案：[解]

于是

8.

設(shè)，B為三階矩陣，r(B*)=1且AB=O，則t=______．正確答案：6[解]因?yàn)閞(B*)=1，所以r(B)=2，又因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，從而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6.

9.

設(shè)，B≠O為三階矩陣，目BA=O，則r(B)=______．正確答案：1[解]因?yàn)閞(A)≥2，所以r(B)≤1，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)=1.

10.

設(shè)，則α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為_(kāi)_____，其余的向量用極大線性無(wú)關(guān)組表示為_(kāi)_____．正確答案：α1，α2

[解]

則向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為α1，α2，且

二、選擇題1.

設(shè)A，B為兩個(gè)n階矩陣，下列結(jié)論正確的是______.A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，則A=0或B=0C.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A||B|正確答案：D[解]A、C顯然不對(duì)，設(shè)顯然A，B都是非零矩陣，但AB=O，所以|AB|=0，B不對(duì)，選D．

2.

設(shè)α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且|A|=|α1，α2，α3，β1|=m，|B|=|α1，α2，β2，α3|=n，則|α3，α2，α1，β1+β2|為_(kāi)_____.A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正確答案：D[解]|α3，α2，α1，β1+β2|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|-|α1，α2，α3，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|+|α1，α2，β2，α3|=n-m，

選D．

3.

設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則______.A.當(dāng)m＞n時(shí)，必有|AB|≠0B.當(dāng)m＞n時(shí)，必有|AB|=0C.當(dāng)n＞m時(shí)，必有|AB|≠0D.當(dāng)n＞m時(shí)，必有|AB|=0正確答案：B[解]AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n)，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當(dāng)m＞n時(shí)，r(AB)≤n＜m，于是|AB|=0，選B．

4.

設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1皆為可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于______.A.A+BB.A-1+B-1C.A(A+B)-1BD.(A+B)-1正確答案：C[解]A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)

=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，

所以選C．

5.

設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則______.A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*=A*-B*D.(A+B)*一定可逆正確答案：B[解]因?yàn)?AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=1|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以選B．

6.

設(shè)A為n階矩陣，k為常數(shù)，則(kA)*等于______.A.kA*B.knA*C.kn-1A*D.kn(n-1)A*正確答案：C[解]因?yàn)?kA)*的每個(gè)元素都是kA的代數(shù)余子式，而余子式為n-1階子式，所以(kA)*=kn-1A*，選C．

7.

設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則下列成立的是______.A.A=OB.A=EC.若A不可逆，則A=OD.若A可逆，則A=E正確答案：D[解]因?yàn)锳2=A，所以A(E-A)=O，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，則r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，選D．

8.

設(shè)A為m×n階矩陣，且r(A)=m＜n，則______.A.A的任意m個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)B.A的任意m階子式都不等于零C.非齊次線性方程組AX=b一定有無(wú)窮多個(gè)解D.矩陣A通過(guò)初等行變換一定可以化為正確答案：C[解]顯然由r(A)=m＜n，得r(A)=r(A)=m＜n，所以方程組AX=b有無(wú)窮多個(gè)解．選C．

9.

設(shè)，若則m，n可取______.A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，nm3D.mm2，nm2正確答案：B[解]經(jīng)過(guò)了A的第1，2兩行對(duì)調(diào)與第1，3兩列對(duì)調(diào)，則m=3，n=5，即選B．

10.

設(shè)則B-1為_(kāi)_____.A.A-1P1P2B.P1A-1P2C.P1P2A-1D.P2A-1P1正確答案：C[解]B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以或注意到于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，選C．

11.

設(shè)，Q為三階非零矩陣，且PQ=O，則______.A.當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=1B.當(dāng)t=6時(shí)，r(Q)=2C.當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)=1D.當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)=2正確答案：C[解]因?yàn)镼≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，當(dāng)t≠6時(shí)，r(P)≥2，則r(Q)≤1，于是r(Q)=1，選C．

三、解答題1.

設(shè)A是正交矩陣，且|A|＜0.證明：|E+A|=0.正確答案：[證明]因?yàn)锳是正交矩陣，所以ATA=E，兩邊取行列式得|A|2=1，因?yàn)閨A|＜0，所以|A|=-1.

由|E+A|=|ATA+A|=|(AT+E)A|=|A||AT+E|=-|AT+E|

=-|(A+E)|T=-|E+A|

得|E+A|=0.

2.

設(shè)A=(aij)n×n是非零矩陣，且|A|中每個(gè)元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：|A|≠0.正確答案：[證明]因?yàn)锳是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設(shè)A的第k行是非零行，則

3.

計(jì)算正確答案：[解]方法一

方法二

D2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(α2-b2)n．

4.

計(jì)算正確答案：[解]

5.

設(shè)，求Ak1+Ak2+…+Akn．正確答案：[解]令

|A|=(-1)n+1n!，

則，由

得A*=|A|A-1=(-1)n+1n!A-1，所以

6.

設(shè)A，B為三階矩陣，且A～B，且λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，|B|=2，求正確答案：[解]因?yàn)锳～B，所以A，B特征值相同，設(shè)另一特征值為λ3，由|B|=λ1λ2λ3=2得λ3=1.A+E的特征值為2，3，2，(A+E)-1的特征值為則因?yàn)锽的特征值為1，2，1，所以B*的特征值為，即為2，1，2，于是|B*|=4，|(2B)*|=|4B*|=43|B*|=256，故

設(shè)A=E-ααT，其中α為n維非零列向量．證明：7.

A2=A的充分必要條件是α為單位向量；正確答案：[證明]令αTα=k，則A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因?yàn)棣翞榉橇阆蛄?，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要條件是k=1，而αTα=|α|2，所以A2=A的充要條件是α為單位向量．

8.

當(dāng)α是單位向量時(shí)A為不可逆矩陣．正確答案：[證明]當(dāng)α是單位向量時(shí)，由A2=A得r