考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題89

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題89一、填空題1.

函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值為_(kāi)_____．正確答案：．[解析]y'=1-2sinx，y"=-2cosx，令y'=0得，則y=x+2cosx在取得極大值．又在上極值點(diǎn)唯一，則該極大值為最大值，最大值為．

2.

設(shè)，則函數(shù)F(x)的單調(diào)減少區(qū)間是______．正確答案：．[解析]，令，解得．則F(x)單調(diào)減少區(qū)間為．

3.

函數(shù)y=x2x在區(qū)間(0，1]上的最小值為_(kāi)_____．正確答案：．[解析]因?yàn)閥'=x2x(2lnx+2)，令y'=0得駐點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，y'(x)＜0；當(dāng)時(shí)，y'(x)＞0，即y(x)在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)單調(diào)增加，故為y=x2x的極小值點(diǎn)，此時(shí)．

又

所以y=x2x在區(qū)間(0，1]上的最小值為．

4.

曲線y=e-x2的凸區(qū)間是______．正確答案：．[解析]y'=2xe-x2，y"=-2e-x2+4x2e-x2=2e-x2(2x2-1)。

令y"=0得時(shí)，y"＜0，則曲線y=e-x2是凸的．

5.

設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)向上凸的x的取值范圍為_(kāi)_____．正確答案：(-∞，1)(或(-∞，1])．[解析]因

由題設(shè)知，故t＜0．又x'(t)=3t2+3＞0，x(t)為t的單調(diào)增加函數(shù)；t=0時(shí)，x=1，

故x的取值范圍是(-∞，1)(或(-∞，1])．

6.

曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．正確答案：(-1，-6)．[解析]

令y"=0，得x=-1，又x→0時(shí)，y"→+∞．由于在x=-1的左、右鄰域內(nèi)y"變號(hào)，在x=0的左、右鄰域內(nèi)y"不變號(hào)，故拐點(diǎn)為(-1，-6)．

二、選擇題1.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，x0≠0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則A.x0必是f(x)的駐點(diǎn)．B.-x0必是-f(-x)的極小值點(diǎn)．C.-x0必是-f(x)的極小值點(diǎn)．D.對(duì)一切x都有f(x)≤f(x0)．正確答案：B[解析]解法1

排除法．f(x)=-|x-x0|，顯然f(x)在x0取極大值，但f'(x0)不存在，則x0不是f(x)的駐點(diǎn)，從而A不對(duì)．又-f(x)=|x-x0|，顯然-f(x)只有唯一極小值點(diǎn)x=x0，又x0≠0，則x0≠-x0，從而-x0不是-f(x)的極小值點(diǎn)，則C也不對(duì)。D顯然不對(duì)，由于極值是一個(gè)局部性質(zhì)，不能保證對(duì)一切x有f(x)≤f(x0)，而只能保證在x0某鄰域內(nèi)有f(x)≤f(x0)，所以應(yīng)選B．

解法2

直接法．由于f(x)在x0取極大值，則，當(dāng)x0-δ＜x＜x0+δ時(shí)，f(x0)≥f(x)，前面兩不等式兩邊同乘-1得，即當(dāng)-x0-δ-x＜-x0+δ時(shí)，-f(x0)≤-f(x)．

也就是，當(dāng)-x0-δ＜-x＜-x0+δ時(shí)，-f[-(-x0)]≤-f[-(-x)]，即-f(x)在-x0取極小值．

本題從幾何直觀上更簡(jiǎn)潔，注意到f(x)與f(-x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，f(x)與-f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，f(x)與-f(-x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

2.

設(shè)y=f(x)是滿足微分方程y"+y'-esinx=0的解，且f'(x0)=0，則f(x)在A.x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B.x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C.x0處取得極小值．D.x0處取得極大值．正確答案：C[解析]由于y=f(x)滿足方程y"+y'-esinx=0，則

f"(x)+f'(x)-esinx≡0，

令x=x0，得f"(x0)+f'(x0)-esinx0=0，

即f"(x0)=esinx0＞0，

又f'(x0)=0，則f(x)在x0處取極小值．

本題不要試著去解方程得到y(tǒng)=f(x)的表達(dá)式，我們關(guān)心的是x0這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．

3.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意x1，x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，則A.對(duì)任意x，f'(x)＞0．B.對(duì)任意x，f'(-x)≤0．C.函數(shù)f(-x)單調(diào)增加．D.函數(shù)-f(-x)單調(diào)增加．正確答案：D[解析]由于對(duì)任意的x1，x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)-x1＜-x2，則有f(-x1)＜f(-x2)，即-f(-x1)＞-f(-x2)，也就是說(shuō)，當(dāng)x1＞x2時(shí)，-f(-x1)＞-f(-x2)，故-f(-x)單調(diào)增加．

由題意知f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加，于是f(-x)在(-∞，+∞)單調(diào)減少，則[f(-x)]'=f'(-x)·(-1)≤0，故f'(-x)≥0，B錯(cuò)誤．這里要知道f'(-x)表示的是對(duì)中間變量u=-x這個(gè)整體求導(dǎo)，與[f(-x)]'不是一回事．

4.

已知函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x滿足xf"(x)+3x[f'(x)]2=1-e-x，若f'(x0)=0(x0≠0)，則A.f(x0)是f(x)的極大值．B.f(x0)是f(x)的極小值．C.(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D.f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．正確答案：B[解析]由f'(x0)=0知x0是f(x)的駐點(diǎn)．將x=x0代入微分方程xf"(x)+3x[f'(x)]2=1-e-x中，得

無(wú)論x0(x0≠0)為何值，f"(x0)＞0，根據(jù)極值存在的第二充分條件知，x=x0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(a)為其極大值，則存在δ＞0，當(dāng)x∈(a-δ，a+δ)時(shí)，必有

A．(x-a)[f(x)-f(a)]≥0．

B．(x-a)[f(x)-f(a)]≤0．

C．

D．正確答案：C[解析]函數(shù)在點(diǎn)x=a處取極大值，按定義，存在一個(gè)鄰域(a-δ，a+δ)，使當(dāng)x∈(a-δ，a+δ)時(shí)，有f(x)≤f(a)．所以當(dāng)a-δ＜x＜a時(shí)，

(x-a)[f(x)-f(a)]≥0；

當(dāng)a＜x＜a+δ時(shí)，

(x-a)[f(x)-f(a)]≤0．

因此，A，B均錯(cuò)．至于C，D兩項(xiàng)，由于f(t)在t=a連續(xù)，且x≠a，故C，D分別就是f(a)-f(x)≥0及f(a)-f(x)≤0，當(dāng)f(a)為極大值時(shí)C成立，應(yīng)選C．

6.

設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f"(x)+[f'(x)]2=x，且f'(0)=0，則A.f(0)是f(x)的極大值．B.f(0)是f(x)的極小值．C.點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D.f(0)不是f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．正確答案：C[解析]由f'(0)=0知x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)駐點(diǎn)；由關(guān)系式知f"(0)=0，即(0，f(0))可能是拐點(diǎn)．如何判斷?可以分別考查f'(x)與f"(x)在點(diǎn)x=0的左右鄰域是否變號(hào)，但在本題中這不容易做到；于是去求f(x)在點(diǎn)x=0處的更高階的導(dǎo)數(shù)．仍由原關(guān)系式可得f'''(0)=1．從而得知點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，即選項(xiàng)C是正確的．

可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)不可能是同一個(gè)點(diǎn)的．

7.

已知函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，它的圖形如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形為

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]抓住y=f(x)的圖形中的曲線上升(f'(x)≥0)、下降(f'(x)≤0)區(qū)間，駐點(diǎn)(f'(x)=0)的個(gè)數(shù)，就可知應(yīng)選D．

8.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有

A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)．B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)．C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)．D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)．正確答案：C[解析]因f(x)處處連續(xù)，故其一階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)(駐點(diǎn))和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)．當(dāng)x自左至右經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)符號(hào)由正變負(fù)，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；當(dāng)x自左至右經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)符號(hào)由負(fù)變正，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)．故應(yīng)選擇C．由于本題題型新穎，特別是考生未考慮x=0處的情況，因此相當(dāng)多考生選擇了B．

9.

若f(x)=-f(-x)，在(0，+∞)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＞0，則f(x)在(-∞，0)內(nèi)A.f'(x)＜0，f"(x)＜0．B.f'(x)＜0，f"(x)＞0．C.f'(x)＞0，f"(x)＜0．D.f'(x)＞0，f"(x)＞0．正確答案：C[解析]解法1

由f(x)=-f(-x)知f(-x)=-f(x)，即f(x)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而由在(0，+∞)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＞0可知，在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＜0．因此應(yīng)選C．

解法2

等式f(x)=-f(-x)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

f'(x)=f'(-x)，f"(x)=-f"(-x)．

當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，-x∈(-∞，0)，則

f'(-x)=f'(x)＞0，f"(-x)=-f"(x)＜0．

故f(x)在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＜0．

10.

曲線y=(x-1)2(x-3)2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：C[解析]本題的曲線對(duì)稱(chēng)于直線x=2，所以，它或者沒(méi)有拐點(diǎn)或者只有2個(gè)拐點(diǎn)，因此B，D被排除．又

y'=4(x-1)(x-2)(x-3)，

對(duì)導(dǎo)函數(shù)y'應(yīng)用羅爾中值定理，y"有兩個(gè)零點(diǎn)，從而知原曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)．也可直接求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，再判斷在零點(diǎn)左、右鄰域的二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào)．

11.

設(shè)f(x)=|x(1-x)|，則A.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．B.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．C.x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．正確答案：C[解析]因?yàn)閒(x)=|x(1-x)|≥0，f(0)=0，故x=0是極值點(diǎn)，因而選項(xiàng)B與D不正確．而在點(diǎn)x=0的鄰域內(nèi)：

當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-x(1-x)=x2-x，f"(x)=2＞0；

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x(1-x)=x-x2，f"(x)=-2＜0，

所以(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．選項(xiàng)C正確．

12.

設(shè)函數(shù)f(x)具有2階導(dǎo)數(shù)，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間[0，1]上A.當(dāng)f'(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)．B.當(dāng)f'(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)．C.當(dāng)f"(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)．D.當(dāng)f"(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)．正確答案：D[解析]解法1

如果對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1，x2及常數(shù)0≤λ≤1，恒有

f[(1-λ)x1+λx2]≤(1-λ)f(x1)+λf(x2)，

則曲線是凹的．

令x1=0，x2=1，λ=x，則(1-λ)f(x1)+λf(x2)=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x)，而

f[(1-λ)x1+λx2]=f(x)，

故當(dāng)f"(x)≥0時(shí)，曲線是凹的，即

f[(1-λ)x1+λx2]≤(1-λ)f(x1)+λf(x2)，

也就是f(x)≤g(x)，應(yīng)選D．

解法2

令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x)(1-x)-f(1)x，則F(0)=F(1)=0，且f"(x)=f"(x)，故當(dāng)f"(x)≥0時(shí)，曲線是凹的，從而F(x)在端點(diǎn)x=0，x=1處取最大值，而F(0)=F(1)=0，故F(x)=f(x)-g(x)≤0，也就是f(x)≤g(x)，應(yīng)選D．

13.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖形如圖所示，則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：C[解析]f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，除點(diǎn)x=0外處處2階可導(dǎo)．y=f(x)的可疑拐點(diǎn)是f"(x)=0的點(diǎn)及f"(x)不存在的點(diǎn)．

f"(x)的零點(diǎn)有2個(gè)，如圖所示，A點(diǎn)兩側(cè)f"(x)恒正，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是y=f(x)的拐點(diǎn)．B點(diǎn)兩側(cè)f"(x)異號(hào)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是y=f(x)的拐點(diǎn)．

雖然f"(0)不存在，但點(diǎn)x=0兩側(cè)f"(x)異號(hào)，因而(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)．

因此共有兩個(gè)拐點(diǎn)．

14.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則

A.函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有2個(gè)拐點(diǎn)．B.函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有3個(gè)拐點(diǎn)．C.函數(shù)f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有1個(gè)拐點(diǎn)．D.函數(shù)f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線y=f(x)有2個(gè)拐點(diǎn)．正確答案：B[解析]如圖所示，x1，x3，x5為駐點(diǎn)，而在x1和x3兩側(cè)f'(x)變號(hào)，為極值點(diǎn)；x5兩側(cè)f'(x)不變號(hào)，則不是極值點(diǎn)；在x2處一階導(dǎo)數(shù)不存在，但在x2兩側(cè)f'(x)不變號(hào)，則不是極值點(diǎn)；在x2處二階導(dǎo)數(shù)不存在，在x4和x5處二階導(dǎo)數(shù)為零，在這三個(gè)點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性發(fā)生變化，則都為拐點(diǎn)，故應(yīng)選B．

三、解答題1.

如圖所示，A，D分別是曲線y=ex和y=e-2x上的點(diǎn)，AB和DC均垂直x軸，且|AB|:|DC|=2:1，|AB|＜1．求點(diǎn)B和C的橫坐標(biāo)，使梯形ABCD的面積最大．

正確答案：解

設(shè)B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x，則

ex1=2e-2x，

得

x1=ln2-2x，

BC=x-x1=3x-ln2，x＞0．

梯形ABCD的面積，則S'=(-6x+2ln2+3)e-2x．令S'=0，得．于是由問(wèn)題的實(shí)際意義可得，當(dāng)時(shí)，梯形面積最大．

2.

求曲線的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x=0，x=2所圍成圖形面積最?。_答案：解

因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線l方程為

所圍面積為

令，得t=1．

又S"(1)＞0，故t=1時(shí)，S取最小值．此時(shí)l的方程為．

3.

作半徑為r的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高h(yuǎn)為何值時(shí)，其體積V最小，并求出該最小值．正確答案：解

如圖所示，設(shè)圓錐底面圓半徑為R．則

于是圓錐體積為

由

可得V(h)在(2r，+∞)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)h=4r，當(dāng)h=4r時(shí)，V取最小值，

4.

求函數(shù)的最大值和最小值．正確答案：解

因f(x)是偶函數(shù)，故只需求f(x)在(0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值．

令f'(x)=2x(2-x2)e-x2=0，在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f'(x)＜0，所以極大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)．

最大值

又

故f(x)的最小值是0．

5.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所確定，試求y=y(x)的駐點(diǎn)，并判別它是否為極值點(diǎn)．正確答案：解

對(duì)方程兩邊求導(dǎo)可得

3y2y'-2yy'+xy'+y-x=0．

(*)

令y'=0，由(*)得y=x，將此代入原方程有

2x3-x2-1=0．

從而可得唯一駐點(diǎn)x=1．對(duì)(*)式兩邊再求導(dǎo)，得

(3y2-2y+x)y"+2(3y-1)y'2+2y'-1=0，

因此，故x=1是y=y(x)的極小值點(diǎn)．

6.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．正確答案：解

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，由于

所以f(x)的駐點(diǎn)為x=0，±1．

列表討論如下：x(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+∞)f'(x)-0+0-0+f(x)↘極小↗極大↘極小↗

因此，f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(-1，0)和(1，+∞)；f(x)的單調(diào)減少區(qū)間為(-∞，-1)和(0，1)．f(x)的極小