考研數(shù)學二分類模擬題97

考研數(shù)學二分類模擬題97一、選擇題1.

設D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)為頂點的三角區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則等于

A．

B．

C．

D．0．正確答案：A[解析]如圖所示，ΔOAB所圍區(qū)域記為D2，ΔOBC所圍區(qū)域記為D3．

由于xy關于x是奇函數(shù)，積分域D2關于y軸對稱，則

同理．從而．

又cosxsiny是y的奇函數(shù)，D3關于x軸對稱，則

又cosxsiny是x的偶函數(shù)，D2關于y軸對稱，則

從而有

故

2.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]設D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，記

用直線(i=0，1，2，…，n)與(j=0，1，2，…，n)將D分成n2等份，和式

是函數(shù)f(x，y)在D上的一個二重積分的和式，所以

本題主要考查二重積分的概念與將和式轉化為積分和的方法，是一道基本概念題．

3.

設區(qū)域D由曲線y=sinx，，y=1圍成，則A.π．B.2．C.-2．D.-π．正確答案：D[解析]解法1

注意到和sinx均為奇函數(shù)，所以

于是

原式=

解法2

將積分區(qū)域D分為D1和D2兩部分(如圖)．

由于D1關于x軸對稱，xy5關于y是奇函數(shù)，因此

又D2關于Y軸對稱，xy5關于x是奇函數(shù)，故

于是

利用割補的方法．不難看出區(qū)域D的面積是π，因而

4.

設Dk是圓域D={(x，y)|x2+y2≤1}在第k象限的部分，記(k=1，2，3，4)，則A.I1＞0．B.I2＞0．C.I3＞0．D.I4＞0．正確答案：B[解析]注意到在區(qū)域D2內(nèi)y-x≥0，在區(qū)域D4內(nèi)y-x≤0，且其等號不恒成立，因而I2＞0，I4＜0．這排除了選項D．

又區(qū)域D1和D3都是關于直線y=x對稱，在這兩個區(qū)域內(nèi)，交換x與y的位置，則被積函數(shù)變?yōu)閤-y，且x-y=-(y-x)，于是I1=I3=0．這排除了選項A和C．

本題也可以通過計算二重積分求得答案．

同理可得，I3=0，．

故選B．

5.

設函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，則等于

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]因為從x2+y2=2y解出，它們分別是內(nèi)層積分的上、下限．故選項A可排除．把直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分時，面積元素dσ=rdrdθ，故選項C可排除．由于f(xy)關于y軸的奇偶性是未知的，故選項B可以排除，于是應選D．當然，將二重積分化為極坐標系下的二次積分可直接得到D．因為區(qū)域D：0≤ρ≤2sinθ，0≤θ≤π，故

6.

設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則等于

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]積分區(qū)域，如圖所示．若先對y積分再對x積分，需將D分成兩個區(qū)域D1和D2，故可排除A，B．區(qū)域D可表示為

于是選C．

7.

設函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分等于

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]根據(jù)所給二次積分得到積分區(qū)域為如圖所示，則有

8.

設函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]的積分區(qū)域為兩部分：

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

將上述兩部分合并寫成

D=D1+D2={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}，

故

答案為C．

9.

設D是第一象限中由曲線2xy=1，4xy=1與直線y=x，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]區(qū)域D如圖所示．作極坐標變換，將化為累次積分．

D的極坐標表示為

因此

10.

設區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)是正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則

A．a(chǎn)bπ．

B．

C．(a+b)π．

D．正確答案：D[解析]因為，故

本題利用了二重積分的輪換對稱性，另外也可以直接取一個具體的函數(shù)f(x)=1去排除．

二、解答題1.

計算二重積分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正確答案：解

將區(qū)域D分成兩個子區(qū)域：

D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|x2+y2≥1，0≤x≤1，0≤y≤1}，

則

由于

故

由于D2是一個不規(guī)則圖形，利用分塊的做法把寫成的形式，這一技巧在二重積分中經(jīng)常遇到，讀者應熟練掌握．

2.

設區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分．正確答案：解

因為

所以

3.

設二元函數(shù)

計算二重積分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正確答案：解

由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性有

其中D1為D在第一象限的部分，而

其中D11={(x，y)|0≤y≤1-x，0≤x≤1}，

D12={(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}(如圖所示)．

因為

所以

4.

計算其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．正確答案：解

曲線xy=1將區(qū)域D分成如圖所示的兩個區(qū)域D1和D2．

也可采取分塊的做法計算

5.

計算二重積分，其中

D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．正確答案：解法1

區(qū)域D的極坐標表示為

所以

解法2

作平移變換，將偏心圓轉化為標準圓：令u=x-1，v=y-1，則積分區(qū)域D變?yōu)镈'：u2+v2≤2，v≥u，于是

6.

計算二重積分，其中．正確答案：解

由題設知，積分區(qū)域D如圖所示，將積分化為直角坐標系下的二重積分為

設x=sint，則

7.

已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且f(1，y)=f(x，1)=0，，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分正確答案：解

因為f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以

f'y(1，y)=0，f'x(x，1)=0，

從而

8.

計算二重積分，其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成．正確答案：解法1

解法2

9.

設平面區(qū)域D由直線x=3y，y=3x及x+y=8圍成，計算．正確答案：解法1

直線x+y=8與直線y=3x和x=3y分別交于點(2，6)和(6，2)，直線x=2將區(qū)域D分為D1和D2兩部分(如圖所示)，則有

解法2

10.

設平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，計算正確答案：解法1

由于

則

解法2

利用輪換對稱性，

對于二重積分的計算題，首先要考慮有無對稱性(普通對稱性、輪換對稱性)，若有，則用這些對稱性去化簡積分，然后再去計算．

11.

計算二重積分，其中D={(x，y)|x2+y2≤2，y≥x2}．正確答案：解

因為區(qū)域D關于y軸對稱，所以．

令，則

又，所以

12.

設D是由直線y=1，y=x，y=-x圍成的有界區(qū)域，計算二重積分正確答案：解

因為區(qū)域D關于y軸對稱，所以．

13.

求微分方程滿足條件的特解．正確答案：解

化原方程為一階線性方程

得其通解為

由，得C=-1，故所求特解為

14.

求微分方程的通解(一般解)．正確答案：解

其中C為任意常數(shù)．

15.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x(0＜x<+∞)滿足y(1)=0的特解．正確答案：解

由通解公式有

得

再由y(1)=0，得C=-e．

故所求解為

16.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0滿足條件y|x=e=1的特解．正確答案：解

將原方程化為

由公式

得．

又由y|x=e=1，可解出，所以方程的特解是．

17.

求微分方程xy'+y=xex滿足y(1)=1的特解．正確答案：解

當x=1，y=1代入，得C=1，則所求特解為．

18.

求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．正確答案：解

原方程可化為

這是一階線性方程，其通解為

19.

求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0滿足初始條件y(0)=1的特解．正確答案：解

原方程可化為

此一階線性微分方程的通解為

即

由y(0)=1，得C=-1，故滿足初始條件的特解為

20.

設y=ex是微分方程xy'+p(x)y=x的一個解，求此微分方程滿足條件y|x=ln2=0的特解．正確答案：解

以y=ex代入原方程，得

xex+p(x)ex=x，

解出p(x)=xe-x-x．

代入原方程得xy'+(xe-x-x)y=x，即y'+(e-x-1)y=1．

解其對應的齊次方程y'+(e-x-1)y=0，有

=(-e-x+1)dx，ln|y|-ln|C|=e-x+x，

得齊次方程的通解y=Cex+e-x．所以，原方程的通解為

y=ex+Cex+e-x．

由y|x=ln2=0，