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文檔簡介

考研數(shù)學(xué)二模擬403一、選擇題下列每題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的.1.

A.1.B.e.C.ea-1.D.ea+1.正確答案:C[解析]原極限可變形為又

因此I=ea-1.

2.

設(shè)當x→0時,有則______

A.

B.

C.

D.a(chǎn)=0,b=2,c=0.正確答案:D[解析]因為所以

顯然c=0,則

得b=2,a為任意常數(shù).

3.

A.

B.π

C.

D.正確答案:C[解析]觀察發(fā)現(xiàn),本題既是無窮上限的廣義積分,又是無界函數(shù)的廣義積分,瑕點在積分域的邊界上.

從而

4.

設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo),f(0)=0,且則______A.f(0)是f(x)的極大值.B.f(0)是f(x)的極小值.C.(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點.D.f(0)不是f(x)的極值,(0,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點.正確答案:B[解析]由得f(0)+f'(0)=0,于是f'(0)=0.

再由

得f"(0)=2>0,故f(0)為f(x)的極小值.

5.

的值______A.等于0.B.大于0.C.小于0.D.不能確定.正確答案:B[解析]令x2=t,則

6.

函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個微分方程是______A.y"-y'-2y=3xex.B.y"-y'-2y=3ex.C.y"+y'-2y=3xex.D.y"+y'-2y=3ex.正確答案:D[解析]由題設(shè)可知y1=ex及y2=e-2x是所求方程對應(yīng)的齊次方程的解,故特征方程有根r1=1,r2=-2,特征方程為

(r-1)(r+2)=r2+r-2=0,

對應(yīng)齊次方程為

y"+y'-2y=0.

設(shè)所求方程為y"+y'-2y=f(x).將y*=xex代入其中得f(x)=3ex.

故滿足的微分方程為y"+y'-2y=3ex.

7.

已知相似,則______A.a=1,b=0.B.a=2,b=1.C.a=0,b=-1.D.a=1,b=1.正確答案:A[解析]因A~B,則tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即

解以上方程組得a=1,b=0.

8.

A.P1P3A.B.P2P3A.C.AP3P2.D.AP1P3.正確答案:B[解析]矩陣A作兩次行變換可得到矩陣B,而AP3P2,AP1P3描述的是矩陣A作列變換,故應(yīng)排除.

把矩陣A第1行的2倍加至第3行后,再1、2兩行互換可得到B.

或者把矩陣A的1、2兩行互換后,再把第2行的2倍加至第3行亦可得到B,而P2P3A正是后者,所以應(yīng)選B.

二、填空題1.

正確答案:2π2-8[解析]

2.

正確答案:2[解析]本題為“∞—∞”型未定式,作變量替換后未定式化為“”型.

3.

設(shè)平面區(qū)域D為x2+y2≤1,則二重積分正確答案:[解析]由于積分區(qū)域是圓域,故考慮用極坐標進行計算,但本題中被積函數(shù)用極坐標表示較復(fù)雜,可考慮將被積函數(shù)變成的形式.

由于積分區(qū)域關(guān)于y=x對稱,所以

4.

微分方程xy'+y=0滿足條件y(2)=1的解y=______.正確答案:[解析]已知xy'+y=0,分離變量得兩邊積分得將y(2)=1代入得c=2,故

5.

設(shè)G是位于曲線(e≤x<∞)左方,y軸右方的無界區(qū)域,則G繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間區(qū)域的體積為______.正確答案:[解析]

6.

設(shè)二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩等于1,A的各行元素之和為3,則f在正交變換x=Qy下的標準形為______.正確答案:[解析]A的各行元素之和為3,則

可見λ1=3是A的一個特征值,又由二次型的秩為1知r(A)=1,從而A的另外兩個特征值為λ2=λ3=0,故f在正交變換下的標準形為

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.

正確答案:

2.

求函數(shù)z=2x2-2xy+y2在區(qū)域D:|x|+|y|≤1上的最大、最小值.正確答案:令解方程組得駐點(0,0)∈D,且z(0,0)=0,D的邊界|x|+|y|=1由四條線段組成:L1:x+y=1,L2:x-y=1(0≤x≤1)L3:x+y=-1,L4:y-x=1(-1≤x≤0)

在L1上:z=5x2-4x+1=0,由z'x=10x-4=0,得則

故最大值為2,最小值為

在L2上:z=x2+1,由z'x=2x=0,得x=0,則

z(0)=1,z(1)=2,

故最大值為2,最小值為1.

在L3上:z=5x2+4x+1,由z'x=10x+4=0,得則

故最大值為2,最小值為

在L4上:z=x2+1,由z'x=2x=0,得x=0,則

z(0)=1,z(-1)=2,

故最大值為2,最小值為1.

綜上所述,z在D上的最大值為2,最小值為

3.

設(shè)求其中φ(u,v)有二階偏導(dǎo)數(shù).正確答案:

4.

設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點(x,y)處的曲率為又此曲線上的點(0,1)的切線方程為y=x+1,求該曲線方程,并求函數(shù)y(x)的極值.正確答案:因為曲線是上凸的,所以y"<0,由題設(shè)得

這是高階可降階方程的初值問題:

令y'=p,則有(C1為任意常數(shù)).

因為曲線y=y(x)在點(0,1)處的切線方程為y=x+1,所以p|x=0=1,從而積分得C2為任意常數(shù).

因為曲線過點(0,1),所以

所求曲線為

因為所以當時函數(shù)取極大值

5.

設(shè)e-2<a<b<e-1,證明alnb-blna<3e4(ab2-a2b).正確答案:思路一:要證alnb-blna<3e4(ab2-a2b),

即要證

構(gòu)造輔助函數(shù)

則F(x)在[e-2,e-1上連續(xù),在(e-2,e-1)內(nèi)可導(dǎo),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得

設(shè)e-2<t<e-1,則有

即g(x)在(e-2,e-1)內(nèi)單調(diào)減小,從而g(t)<g(0)=3e4.

alnb-blna<3e4(ab2-a2b).

思路二:要證alnb-blna<3e4(ab2-a2b),即證

設(shè)則

當e-2<x<e-1時,φ"(x)<0,所以在區(qū)間(e-2,e-1)內(nèi)φ'(x)單調(diào)減少,則有

φ'(x)<φ'(e-2)=3e4-3e4=0,

所以φ(x)在區(qū)間(e-2,e-1)內(nèi)單調(diào)減少.

又e-2<a<b<e-1,所以φ(b)<φ(a),即

整理得

alnb-blna<3e4(ab2-a2b).

6.

一質(zhì)量為M,長為l的均勻細桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點C,此質(zhì)點位于桿AB的中垂線上,且與AB的距離為a,試求:

(Ⅰ)細桿AB與質(zhì)點C的相互吸引力的大??;

(Ⅱ)當質(zhì)點C在桿AB的中垂線上從點C(0,a)沿y軸移向無窮遠處時,克服引力所做的功.正確答案:(Ⅰ)如圖,選x做積分變量,則x的取值范圍為引力微元為

所以

令x=atant,則

(Ⅱ)根據(jù)上面的計算,當質(zhì)點C位于坐標(0,y)處時,引力的大小為于是

令有

7.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且對任意實數(shù)a,b均滿足f(a+b)=eaf(b)+ebf(a),又f'(0)=1,試求f(x)及f'(x).正確答案:由于對任意a,b,等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)均成立,故建立微分方程.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,利用導(dǎo)數(shù)的定義式f(x+Δx)展開.

令a=b=0,由f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)得f(0)=0,又f'(0)=1,

f'(x)=exf'(0)+f(x)=ex+f(x),

即f(x)的微分方程為

f'(x)-f(x)=ex,

兩邊乘e-x,得

[e-xf(x)]'=1,

兩邊積分,得

f(x)=xex,f'(x)=ex+xex=(x+1)ex.

8.

設(shè)矩陣A與B相似,其中

(Ⅰ)求x,y的值;

(Ⅱ)求可逆矩陣P,使P-1AP=B.正確答案:(Ⅰ)因為A~B,則|A|=|B|,tr(A)=tr(B),即

解得x=0,y=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

A的特征值為λ1=-1,λ2=2,λ3=-2.

對應(yīng)特征向量可由(A+λiE)x=0(i=1,2,3)求得,分別為

ξ1=(0,2,-1)T,ξ2=(0,1,1)T,ξ3=(1,0,-1)T,

則即為所求.

已知二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交變換X=QY下的標準形為且Q的第三列為9.

求矩陣A;正確答案:二次型XTAX在正交變換下的標準形為則二次型矩陣A的特征值為-1,-1,0.又因為Q的第三列是說明α3=(1,1,0)T是矩陣A關(guān)于特征值λ=0的特征向量.因為A是實對稱矩陣,不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交,設(shè)A關(guān)于λ1=λ2=-1的特征向量為α=(

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