考研數(shù)學(xué)二模擬412

考研數(shù)學(xué)二模擬412一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，g(x)連續(xù)，且，則______．A.f(0)為f(x)的極大值B.f(0)為f(x)的極小值C.(0，f(0))為y=f(想)的拐點(diǎn)D.f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：C[解析]顯然f'(0)=0，由得g(0)=0，g'(0)=-2．

由

故(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，選C．

2.

當(dāng)x＞0時(shí)，，則為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]由，

則

選C.

3.

設(shè)z=z(x，y)由F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0確定，其中函數(shù)F連續(xù)可偏導(dǎo)且af'1=cf'1≠0，則．A.aB.bC.cD.a+b+c正確答案：B[解析]F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得，解得；

F(ax-by，bx-cz，cy-ax)=0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得，

故，選B．

4.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如下圖所示，則f(x)有______．

A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)正確答案：C[解析]設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖形與z軸的交點(diǎn)從左至右依次為A，B，C，在點(diǎn)A左側(cè)f'(x)＞0，右側(cè)f'(x)＜0．所以點(diǎn)A為f(x)的極大值點(diǎn)，同理可知點(diǎn)B與C都是f(x)的極小值點(diǎn)．關(guān)鍵是點(diǎn)O處，在它左側(cè)f'(x)＞0，右側(cè)f'(x)＜0，而f(x)在點(diǎn)O連續(xù)，所以點(diǎn)O也是f(x)的極大值點(diǎn)(不論在x=0處f(x)是否可導(dǎo)，見極值第一充分條件)，選C.

5.

設(shè)D為y=x，x=0，y=1所圍成區(qū)域，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

6.

設(shè)函數(shù)u=f(xz，yz，x)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則．A.0B.xzf"11+yzf"22+z2f"12C.z2f"12+zf"32D.xzf"11+yzf"22正確答案：C[解析]選C．

7.

設(shè)矩陣B的列向量線性無(wú)關(guān)，且BA=C，則______．A.若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的列向量線性相關(guān)B.若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的行向量線性相關(guān)C.若矩陣A的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣C的列向量線性相關(guān)D.若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的列向量線性無(wú)關(guān)正確答案：D[解析]設(shè)B為m×n矩陣，A為n×s矩陣，則C為m×s矩陣，且r(B)=n．

因?yàn)锽A=C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．

若r(C)=s，則r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)=s，A的列向量組線性無(wú)關(guān)，A不對(duì)；

若r(C)=s，則r(A)=s，所以A的行向量組的秩為s，故n≥s．若n＞s，則A的行向量組線性相關(guān)，若n=s，則A的行向量組線性無(wú)關(guān)，B不對(duì)；

若r(A)=s，因?yàn)閞(C)≤s，所以不能斷定C的列向量組線性相關(guān)還是無(wú)關(guān)，C不對(duì)；

若r(C)=s，則r(A)=s，選D.

8.

設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值全為0，則______．A.A=OB.A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量C.A不能與對(duì)角陣相似D.當(dāng)A與對(duì)角陣相似時(shí)，A=O正確答案：D[解析]若A的全部特征值皆為零且與對(duì)角矩陣相似，則存在可逆矩陣P，使得，于是A=O，選D.

二、填空題1.

正確答案：e[解析]

因?yàn)?，所?/p>

2.

正確答案：[解析]

則

3.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且．正確答案：[解析]兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得

再將兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得

兩式相加得

4.

擺線(a＞0，0≤t≤2π)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的表面積為______．正確答案：[解析]對(duì)

5.

微分方程(a＞0，0≤t≤2π)的通解為______．正確答案：[解析]由得

令，則，解得arcsinu=lnx+C，原方程的通解為.

6.

設(shè)A為三階矩陣，其特征值為λ1=-2，λ2=λ3=1，其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(4α1，α2-α3，α2+2α3)，則P-1(A*+3E)P為______．正確答案：[解析]因?yàn)锳的特征值為λ1=-2，λ2=λ3=1，所以A*的特征值為μ1=1，μ2=μ3=-2，A*+3E的特征值為4，1，1，又因?yàn)?α1，α2-α3，α2+2α3。也為A的線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以4α1，α2-α3，α2+2α3也是A*+3E的線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以

三、解答題共94分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．設(shè)y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y'-y=(4-6x)e-x的一個(gè)解，且．1.

求y(x)，并求y=y(x)到x軸的最大距離．正確答案：[解]2y"+y'-y=(4-6x)e-x的特征方程為2λ2+λ-1=0，特征值為λ1=-1，，得2y"+y'-y=0的通解為，

令2y"+y'-y=(4-6x)e-x的特解為y0=(ax2+bx)e-x，代入得a=1，b=0，

原方程的通解為

由得y(0)=0，y'(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e-x．

由y'=(2x-x2)e-x=0得x=2，

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，y'＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，y'＜0，則x=2為y(x)的最大點(diǎn)，

故最大距離為dmax=y(2)=4e-2.

2.

計(jì)算正確答案：[解]

設(shè)g(x)二階可導(dǎo)，且3.

求常數(shù)a的值，使得f(x)在x=0處連續(xù)；正確答案：[解]當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)時(shí)，g(0)=1，

當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)時(shí)，a=g'(0)．

4.

求f'(x)，并討論f'(x)在x=0處的連續(xù)性．正確答案：[解]當(dāng)x≠0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，

因?yàn)?/p>

所以f'(x)在x=0處連續(xù)．

5.

討論方程lnx=kx的根的個(gè)數(shù)．正確答案：[解]情形一：當(dāng)k=0時(shí)，方程只有唯一實(shí)根x=1；

情形二：當(dāng)k＞0時(shí)，令f(x)=lnx-kx(x＞0)，

由

因?yàn)?，所以的最大值點(diǎn)，最大值為，

當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根x=e；

當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，M＞0，由得方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，分別位于之間．

情形三：當(dāng)k＜0時(shí)，，f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，

由得方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．

6.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得abeη-ξ=η2[f(η)-f'(η)]．正確答案：[解]令φ(x)=e-xf(x)，，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得

整理得

由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得

所以abeη-ξ=η2[f(η)-f'(η)]．

7.

設(shè)函數(shù)f(x)(x≥0)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1．又已知曲線y=f(x)、x軸、y軸及過(guò)點(diǎn)(x，0)且垂直于x軸的直線所圍成的圖形的面積值與曲線y=f(x)在[0，x]上的一段弧長(zhǎng)值相等，求f(x)．正確答案：[解]曲線y=f(x)，x軸，y軸及過(guò)點(diǎn)(x，0)且垂直于x軸的直線所圍成的圖形的面積為；曲線y=f(x)在[0，x]上的一段弧長(zhǎng)為，根據(jù)題意得

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

或f2(x)=1+f'2(x)，

則，解得

再由f(0)=1得C=1，所以，解得

8.

計(jì)算，其中D是由x2+y2=4與x2+(y+1)2=1圍成的區(qū)域．正確答案：[解]由對(duì)稱性得

令D0：x2+(y+1)2≤1，

則

9.

設(shè)函數(shù)f(t)在(0，+∞)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)滿足，若f(1)=0，f'(1)=1，求f(x)．正確答案：[解]

于是

由f'(1)=1得C1=1，于是，故f(x)=lnx+C2，

又由f(1)=0得C2=0，故f(x)=lnx.

設(shè)10.

當(dāng)a，b為何值時(shí)，β不可由α1，α2，α3線性表示；正確答案：[解]

(1)當(dāng)a≠-6，a+2b-4≠0時(shí)，因?yàn)椋驭虏豢捎搔?，α2，α3線性表示；

11.

當(dāng)a，b為何值時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，寫出表達(dá)式．正確答案：[解]當(dāng)a≠-6，a+2b-4=0時(shí)，

，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β=2α1-α2+0α3；

當(dāng)a=-6時(shí)，

當(dāng)a=-6，b≠5時(shí)，由，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β=6α1+1α2+2α3；

當(dāng)a=-6，b=5時(shí)，由，β可由α1，α2，α3線性表示，表達(dá)式為β=(2k+2)α1+(k-1)α2+kα3，其中k為任意常數(shù)．

設(shè)為矩陣A的特征向量．12.

求a，b的值及α對(duì)應(yīng)的特征