初中數(shù)學(xué)習(xí)題

習(xí)題精選

一、選擇題

1.（2011浙江紹興，8,4分）如圖，在AA3C中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)6為圓心，大于

2

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)作直線肱V,交BC于點(diǎn)、D,連接AD.若AADC

的周長(zhǎng)為10,AB=1,則AABC的周長(zhǎng)為（

C.17D.20

【答案】C

三、解答題

1.（2011江蘇揚(yáng)州，26,10分）已知，如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,NBAC的角平分線

AD交BC邊于D。

（1）以AB邊上一點(diǎn)0為圓心，過A,D兩點(diǎn)作。0（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直

線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若（1）中的。。與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,AB=6,BD=2A/3,求線段BD、BE與劣弧

DE所圍成的圖形面積。（結(jié)果保留根號(hào)和萬）

【答案】（1）如圖，作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)0,0為圓心，0A為半徑作圓。

判斷結(jié)果：BC是。。的切線。連結(jié)0D。

：AD平分NBAC1.ZDAC=ZDAB

VOA=ODZODA=ZDAB

ZDAC=ZODA：.OD〃ACAZODB=ZC

ZC=90°/.Z0DB=90°即：OD±BC

VOD是。0的半徑/.BC是。0的切線。

(2)如圖，連結(jié)DE。

設(shè)。0的半徑為r,則0B=6-r,

在RtZXODB中，Z0DB=90°,

0B2=0D2+BD2即：(6-r)=/+(2后產(chǎn)

.\r=2.\0B=4/.Z0BD=30°,ZD0B=60°

VAODB的面積為工義26義2=2百，扇形ODE的面積為把xyrxZ?=2乃

23603

陰影部分的面積為2百一2萬。

3

2.（2011山東濱州，23,9分）根據(jù)給出的下列兩種情況，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找到一條直線,

把△/回恰好分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分

別猜想：//與N8有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？并舉例驗(yàn)證猜想所得結(jié)論。

（1）如圖①△45C中，/廣90°,//=24°

c

①作圖：

②猜想：

③驗(yàn)證：

(2)如圖②中，/俏84°，//=24°.

(第23題圖②)

①作圖:

②猜想:

③驗(yàn)證:

【答案】

⑴①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作/ACD=/A(或/BCD=

NB)兩類方法均可，

在邊AB上找出所需要的點(diǎn)D,則直線CD即為所求............2分

②猜想：ZA+ZB=90°,................................4分

③驗(yàn)證：如在△ABC中，ZA=30°,ZB=60°時(shí)，有/A+NB=90°,此時(shí)就能找到一條把△

ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形的直線。...........5分

(2)答：①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB(或AC、或BC)的垂直平分線，或作NACD=/A或在

線段CA上截取CD=CB三種方法均可。

在邊AB上找出所需要的點(diǎn)D,則直線CD即為所求............6分

②猜想：ZB=3ZA8分

③驗(yàn)證：如在AABC中，ZA=32°,ZB=96,有NB=3/A,此時(shí)就能找到一條把4ABC恰好

分割成兩個(gè)等腰三角形的直線。...........9分

3.（2011山東威海，20,8分）我們學(xué)習(xí)過：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿著某一

個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心.

（1）如圖①，△46隹△劭△龍廣能否由△/比7通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請(qǐng)用直尺和圓

規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡(jiǎn)要說明理由.圖①

（2）如圖②，叢ABg叢MNK,△”能否由通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請(qǐng)用直尺和圓

規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡(jiǎn)要說明理由.

（保留必要的作圖痕跡）

【答案】解：（1）能，點(diǎn)。1就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心.

（1）能，點(diǎn)。2就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心?

4.（2011浙江杭州，18,6）四條線段a,b,c,d如圖，a：b：c：d=l：2：3：4.

（1）選擇其中的三條線段為邊作一個(gè)三角形（尺規(guī)作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）;

（2）任取三條線段，求以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕?

b

___________d_________.

（第18題）

【答案】（1）只能取瓦c,d三條線段，作圖略

（2）四條線段中任取三條共有四種等可性結(jié)果：（a,b,c）,（a,b,d）,（a,c,d）,

（b,c,d）,其中能組成三角形的只有（b,c,d）,所以以它們?yōu)檫吥茏鞒鋈切蔚母怕?/p>

5.（2011四川重慶，20,6分）為進(jìn)一步打造“宜居重慶”，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場(chǎng)

的內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉，要求音樂噴泉〃到廣場(chǎng)的兩個(gè)入口/、8的距離相等，且到

廣場(chǎng)管理處C的距離等于4和8之間距離的一半，4B、C的位置如圖所示.請(qǐng)?jiān)诖痤}

卷的原圖上利用尺規(guī)作出音樂噴泉從位置.（要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，

保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖）

6.（2011甘肅蘭州，25,9分）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)

格的交點(diǎn)A、B、Co

（1）請(qǐng)完成如下操作：

①以點(diǎn)。為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角

坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），

并連結(jié)AD、CDo

（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列問題：

①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C、D；

②。D的半徑=（結(jié)果保留根號(hào)）；

③若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面面積為（結(jié)果保留“）；

④若E（7,0）,試判斷直線EC與。D的位置關(guān)系并說明你的理由。

【答案】(1)

①C(6,2),D(2,0)

②2亞

?5

③一乃

4

④相切。

理由：：CD=2百，CE=A/5,DE=5

.\CD2+CE2=25=DE2

.\ZDCE=90°即CE_LCD

.ICE與。D相切。

7.(2011重慶江津，23,10分)A、B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公

路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)是

(7,3).

(1)一輛汽車由西向行駛,在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C,使C點(diǎn)到A、B兩校的距離相

等,如果有?請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn),保留作圖痕跡,不求該點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若在公路邊建一游樂場(chǎng)P,使游樂場(chǎng)到兩校距離之各最小，通過作圖在圖中找出建

游樂場(chǎng)的位置,并求出它的坐標(biāo).

yf

,B(7,3)

.A(2,2)

第23題圖

【答案】（1）存在滿足條件的點(diǎn)c：作出圖形，如圖所示，作圖略；

（2）作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A?2,-2）,連接A,B,與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

P.

設(shè)A'B所在的直線的解析式為：y=kx+b,把A，⑵-2）,B（7,3）分別代入得：

lk+b=3“，=1

<解得：s,

2k+b=—2[b=-4

所以：y=x-4?

當(dāng)y=0時(shí)，x=4,所以交點(diǎn)P為（4,0）?

8.（2011重慶泰江，19,6分）為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)

療點(diǎn)尸，使尸到該鎮(zhèn)所屬/村、8村、。村的村委會(huì)所在地的距離都相等（4B、C不在

同一直線上，地理位置如下圖），請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)尸的位置.

要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡.

解：已知：

B村

求作：、村

eC村

■

【答案】：解：已知：爾B、C三點(diǎn)不在同一直線上.

求作：一點(diǎn)、億根PA=PB=PC.

（或經(jīng)過4B、C三點(diǎn)的外接圓圓心乃

正確作出任意兩條線段的垂直平分線，并標(biāo)出交點(diǎn)戶

9.（2011江蘇南京，27,9分）如圖①，P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,在APAB、APBC

和APAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn).

⑴如圖②，已知RtZkABC中，ZACB=90°,ZACB>ZA,CD是AB上的中線，過點(diǎn)B

作BELCD,垂足為E,試說明E是AABC的自相似點(diǎn).

⑵在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出AABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若4ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

（第27題）

【答案】解:⑴在RtAABC中，NACB=90°,CD是AB上的中線，，CD=-AB,.\CD=BD.

2

；.NBCE=NABC.VBEXCD,.?./BEC=90°,AZBEC=ZACB.ABCE^AABC.

；.E是△ABC的自相似點(diǎn).

⑵①作圖略.

作法如下：(i)在/ABC內(nèi)，作/CBD=/A；

(ii)在/ACB內(nèi)，作/BCE=NABC；BD交CE于點(diǎn)P.

則P為AABC的自相似點(diǎn).

②連接PB、PC.：P為AABC的內(nèi)心，ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB.

22

：P為AABC的自相似點(diǎn)，.-.ABCP^AABC.

，NPBC=/A,ZBCP=ZABC=2ZPBC=2/A,

ZACB=2ZBCP=4ZA.VZA+ZABC+ZACB=180°.

.?.ZA+2ZA+4ZA=180°.

???"=，.???該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為母、苧手

10.（2011江蘇無錫，26,6分）（本題滿分6分）如圖，等腰梯形網(wǎng)%的上底長(zhǎng)為2,腰

長(zhǎng)為3,一個(gè)底角為60°。正方形/反方的邊長(zhǎng)為1,它的一邊4）在椒上，且頂點(diǎn)/

與〃重合?，F(xiàn)將正方形力為切在梯形的外面沿邊脈NP、國(guó)進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂

點(diǎn)與0重合即停止?jié)L動(dòng)。

（1）請(qǐng)?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn)/在正方形整個(gè)翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；

（2）求正方形在整個(gè)翻滾過程中點(diǎn)/所經(jīng)過的路線與梯形施%的三邊爪NP、PQ

所圍成圖形的面積S。

N/

4(M)

【答案】解：（1）如右圖所示.(3分)

「1

S2

--?+

2)-4-

4L

上

-+2力

-3(6

11.（2011重慶市潼南,19,6分）畫△ABC,使其兩邊為已知線段a、b,夾角為4.

（要求：用尺規(guī)作圖，寫出已知、求作；保留作圖痕跡；不在已知的線、角上作圖；不

寫作法）.

已知：II||

ab

19題圖

【答案】己知：線段a、6、角夕-------------1分

求作：AABC使邊BC=a,AC=b,NC=§-----------2分

畫圖（保留作圖痕跡圖略）--------------6分

12.（2011湖北宜昌，23,10分）如圖l,RtZ\ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC=1,BC=2.

（1）如圖2,。。與RtZ^ABC的邊AB相切于點(diǎn)X,與邊CB相切于點(diǎn)Y.請(qǐng)你在圖2中作出

并標(biāo)明。。的圓心0；（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）P是這個(gè)Rt^ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的OP與Rt^ABC的兩條邊相切.

設(shè)。P的面積為S,你認(rèn)為能否確定S的最大值？若能，請(qǐng)你求出S的最大值；若不能,

請(qǐng)你說明不能確定S的最大值的理由.

C

Y

Bn-BYa

（第23題圖1）（第23題圖2）

【答案】解：（1）共2分.（標(biāo)出了圓心，沒有作圖痕跡的評(píng)1分）看見垂足為

Y（X）的一條垂線（或者NABC的平分線）即評(píng)1分，

（2）①當(dāng)。P與Rt^ABC的邊AB和BC相切時(shí)，由角平分線的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)P

是/ABC的平分線BM上的點(diǎn)，如圖1,在/ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)

Pi（不為/ABC的頂點(diǎn)），：OX=BOsin/ABM,PiZ=BPisin/ABM.當(dāng)BPi

>B0時(shí)，PiZ>OX,即P與B的距離越大，OP的面積越大.這時(shí)，BM與

AC的交點(diǎn)P是符合題意的BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn).

（3分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后續(xù)評(píng)分）如圖2,VZBPA>90°,過點(diǎn)

P作PE，AB,垂足為E,則E在邊AB上..,.以P為圓心、PC為半徑作圓，則

OP與邊CB相切于C,與邊AB相切于E,即這時(shí)的。P是符合題意的圓.（4

分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后續(xù)評(píng)分）這時(shí)。P的面積就是S的最大值.

ZBCA=ZAEP=90°,ARt△ABCRt△APE

二——.VAC=1,BC=2,AB=V5.設(shè)PC=x,貝！JPA=AC—PC=1—x,PC

BC

=PE,

一%_

?.?—11=^，??x--?（6分）

V522+

②如圖3,同理可得：當(dāng)。P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)，

2—yy2

設(shè)PC=y,則=,??y二（7刀）

11+V5

③如圖4,同理可得：當(dāng)。P與Rtz\ABC的邊BC和AC相切時(shí)，設(shè)PF=z,

則——-=z=-（8分）由①，②，③可知：V5>2,「?-y5+

213

2>V5+1>3,...當(dāng)分子、分母都為正數(shù)時(shí)，若分子相同，則分母越小，這

個(gè)分?jǐn)?shù)越大，（或者：,.,x=—匕產(chǎn)=2V5—4,2V5-1

7

2+V51+V52，

V49-V45

??y_x->0,..y>x.

2

2V5-17-745222

Vz-y=--------=-------->0,/.2->——尸》——尸，（9分，沒有過

32631+.J52+V5

程直接得出酌情扣1分），z>y>x.

4

OP的面積S的最大值為一”.（10分）

9

2012年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編

尺規(guī)作圖

7.（2012浙江省紹興，7,3分）如圖，AD為。。直徑，作。。的內(nèi)接正三角形板甲、

乙兩人的作法分別如下：

o

D

甲：l.作OD中垂線，交。。于歷乙：I.以Q為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作

C兩點(diǎn).圓弧，交于岳C兩點(diǎn)

2.連結(jié)AS,AC.2.連結(jié)AB,BC,CA.

△月EC即為所求作的三角形.AABC即為所求作的三角形.

對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（）

A.甲、乙均正確B.甲、乙均錯(cuò)誤

C.甲正確，乙錯(cuò)誤D.甲錯(cuò)誤，乙正確

【解析】將圓三等分，依次連結(jié)各等分點(diǎn)，即可作出圓內(nèi)接正三角形.

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓內(nèi)接正三角形的作法和判定以及圓的有關(guān)知識(shí).

19.（2012山東德州中考，19,8,）有公路4同側(cè)、4異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B,如下圖.電信部

門要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,8的距離必須相等，到

兩條公路小4的距離也必須相等，發(fā)射塔。應(yīng)修建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符

合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置.（保留作圖痕跡，不要求寫眇叫法）

7.

19.【解析】分析此題的條件可知，要想到A、B兩點(diǎn)的距離相等，可知點(diǎn)C必在AB的垂直

平分線上；要想到兩公路的距離相等，必須在兩公路夾角的角平分線上.作出二者的交點(diǎn)即

為所求.注意兩公路夾角的角平分線不止一條.

解：根據(jù)題意知道，點(diǎn)C應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段/W的垂直平分線上；二是在兩條公

路夾角的平分線上，所以點(diǎn)C應(yīng)是它們的交點(diǎn).

⑴作兩條公路夾角的平分線。?；騉E；

⑵作線段AB的垂直平分線FG；則射線0D,數(shù)與直線FG的交點(diǎn)和，C2就是所求的位置.

...............(8分)

注：本題學(xué)生能正確得出一個(gè)點(diǎn)的位置得6分，得出兩個(gè)點(diǎn)的位置得8分.

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解答此類題不要漏電所

有符合條件的點(diǎn)，要注意在角的外部也有符合條件的點(diǎn).

(2)(2012貴州銅仁，19(2),5分)某市計(jì)劃在新竣工的矩形廣場(chǎng)的內(nèi)部修建一個(gè)音

樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場(chǎng)的兩個(gè)入口A、B的距離相等，且到廣場(chǎng)管理處C的距離等

于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示，請(qǐng)?jiān)谠瓐D上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴

泉M的位置，(要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖)

19(2)題圖

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，連接AB并作AB的垂直平分線，

然后以C點(diǎn)為圓心，以AB的長(zhǎng)度一半為圓心畫弧，與垂直平分線交于一點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)

M位置

【解析】作圖1、連結(jié)AB

2、作出線段AB的垂直平分線

3、以C點(diǎn)為圓心，以AB的長(zhǎng)度一半為圓心畫弧，與垂直平分線交于一點(diǎn)M

4、在矩形中標(biāo)出點(diǎn)M的位置

【點(diǎn)評(píng)】此題看出來圖形設(shè)計(jì)作圖與實(shí)際應(yīng)用，本題主要利用垂直平分線的作法，屬于基本

作圖，應(yīng)牢固掌握。但應(yīng)該注意的是，作圖時(shí)必須保留尺規(guī)作圖的痕跡，痕跡不全要扣分,

無圓規(guī)痕跡不給分.

24.（2012貴州貴陽，24,12分）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部

分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有條面積等分線，平行四邊形有條面積等分線；（4分）

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線；

（4分）

（3）如圖②，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，ABWCD,且SAABC<SAACD,過點(diǎn)A畫出四

解析：（1）三角形的三條中線都平分三角形的面積，過對(duì)角線的交點(diǎn)的任意一條直線

都平分平行四邊形的面積;

（2）過矩形和正方形的對(duì)角

線的交點(diǎn)畫直線即平分其面

積；運(yùn)用面積法畫一個(gè)與△

ABC的面積相等的底邊在直

線CD上的三角形，把四邊形

的面積等分線問題轉(zhuǎn)化為三

角形的面積等分線問題.

解：（1）3,無數(shù)；

（2）如圖①所示，直線0G即是其中的一條;

（3）如圖②所示，直線AF就是，其中BE〃AC,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)；理由:

BE//AC,SAAEC-SAABC,S四邊形ABCD=SAAH>,

===

F是DE的中點(diǎn)，SAAEFSAAFD-SAABD—S四邊形ABCD,

22

直線AF即是四邊形ABCD的面積等分線.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于閱讀理解問題，其關(guān)鍵有三個(gè)：（1）理解什么是面積等分線；（2）三角

形和平行四邊形的面積等分線;（3）其他圖形怎樣轉(zhuǎn)化為三角形的組合或平行四邊形的組合.

專項(xiàng)一尺規(guī)作圖（35）

（2012河北省7,3分）7、如圖3點(diǎn)C在NAOB的邊0B上，用尺規(guī)作出了CN〃OA,作圖痕

跡中，弧FG是（）

A.以點(diǎn)C為圓心，OD為直徑的弧

B.以點(diǎn)C為圓心，DM為直徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心，OD為直徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心，DM為直徑的弧

A

N

F

/DCE/B

圖3

【解析】根據(jù)尺規(guī)作圖中做一個(gè)角等于已知角的作圖方法，可知正確地表述為D。

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】河北省兩次考查尺規(guī)作圖：今年和去年，在教學(xué)中多關(guān)注此部分，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)

腦的能力，屬于簡(jiǎn)單題型。

10.（2012河南，10,3分）如圖，在aABC,ZC=90,ZCAB=50°,按以下步驟

作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑，畫弧，分別交AB,AC于點(diǎn)E、F；②分別以

點(diǎn)E,F為圓心，大于LEF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線AG,交BC邊與點(diǎn)D,

2

則NAOC的度數(shù)為

10.解析：根據(jù)作圖可知AG平分NCAB,由直角三角形兩銳角互余，所以/ADC=90°-

25°=65°.

答案：65°

點(diǎn)評(píng)：本題把尺規(guī)作圖和角平分線性質(zhì)結(jié)合起來考查，形式靈活，新穎.

21.（2012年廣西玉林市，21,6）已知等腰AABC的頂角/A=36°（如圖），（1）作底角

NABC的平分線BD,交AC于點(diǎn)D（用尺規(guī)作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡，然后用墨水

筆加黑）；

（2）通過計(jì)算說明4ABD和4BDC都是等腰三角形.

分析：（1）首先以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交AB、BC于M、N兩點(diǎn)；再分別以

M、N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)0,畫射線B0交AC于D.

2

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°計(jì)算出/ABC,ZC,ZCDB,ZABD,NDBC的度數(shù)，再根據(jù)

等角對(duì)等邊可證出結(jié)論.

解：（1）如圖所示:

ANJ

BD即為所求；

（2）VZA=36°,ZABC=ZC=（180°-36°）4-2=72°,VBD平分NABC,ZABD=Z

DBC=72°4-2=36°,；.NCDB=180°-36°-72°=72°,VZA=ZABD=36°,ZC=ZCDB=72°,

；.AD=DB,BD=BC,Z\ABD和aBDC都是等腰三角形.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了作角平分線，以及等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定:

等角對(duì)等邊.

13.（2012珠海，13,6分）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是高，AM是△ABC外角NCAE

的平分線.

（1）用尺規(guī)作圖方法，作NADC的平分線DN；

（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F,判斷4ADF的形狀.

（只寫結(jié)果）

【解析】（1）尺規(guī)作NADC的平分線DN；

（2）在AABC中，；AB=AC,AD是高，AD平分NBAC.又AM平分/CAE,.\ADXAM.

：AD是高，DN平分NADC,交AM于F,NADF=45°./.ZAFD=45°./.AD=AF.BPAADF

是等腰直角三角形.

【答案】解：（1）作射線DN,如第13題圖-1.

第13題圖-1

（2）4ADF是等腰直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查（1）尺規(guī)作已知角的平分線；（2）等腰直角三角形的判定.基礎(chǔ)題.

E

第13題圖

20.（2012四川達(dá)州，20,7分）（7分）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直

尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：

小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線.

作法:①在OA和OB上分別截取OD、OE,使OD=OE.

②分別以D、E為圓心，以大于知E的長(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧在乙AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.

③作射線OC.則OC就是乙AQB的平分線.

小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下:

步驟:①利用三角板上的刻度，在OA和OB上

分另I」截取OM、ON,使OM=ON.

②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P.

③作射線OP.則OP為乙AOB的平分線.

根據(jù)以上情境，解決下列問題：

①李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是.

②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說明理由.

③請(qǐng)你幫小穎設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線的方法.（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不

予證明）

解析：對(duì)于（1）,連接CE、CD,用SSS可證△CE0gZ\CD0；對(duì)于（2）,可用HL證RtZ\OMP

^RtAONP,因此小聰?shù)淖鞣ㄕ_；對(duì)于（3）,考慮等腰三角形三線合一，故可作出等腰三

角形的底邊中線，即出現(xiàn)角平分線。

答案：20.（l）SSS...............................................（1分）

（2）解：小聰?shù)淖鞣ㄕ_.

VPM±OM,PN±ON

0MP=Z0NP=90°RtAOMP和RtAONP中

?.,OP=OP,OM=ON

RtAOMP^RtAONP（HL）...........................................（3分）

M0P=ZN0P

OP平分NAOB（4分）

3）解：如圖所示...（6分）

G

A

步驟：①利用刻度尺在OA、0B上分別截取OG=OH.

②連結(jié)GH,利用刻度尺作出GH的中點(diǎn)Q.

③作射線0Q.則0Q為/AOB的

平分線................................（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題通過設(shè)計(jì)的操作問題，考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的三線合一

的性質(zhì)，也考查了學(xué)生動(dòng)手操作能力，問題設(shè)計(jì)的不墨守成規(guī)，有一定的開放性。

1.作圖題（本題滿分4分）

用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（2012山東省青島市，15,4）已知：線段a,c,Za.

求作：△ABC,使BC=a,AB=c,ZABC=Za.

a

c

【解析】先作NC=Na,再在角的兩邊截取AC=b,BC=a,連接即可.

【答案】正確作圖；正確寫出結(jié)論.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的基本畫法.掌握尺規(guī)基本作圖方法是解題的關(guān)鍵.

（2012北海,21,8分）21.已知：如圖，在△ABC中，ZA=30°,ZB=60°。

（1）作/B的平分線BD,交AC于點(diǎn)D；作AB的中點(diǎn)E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,

不必寫作法和證明）；

（2）連接DE,求證：ZXADEgZXBDE。

第21題圖

【解析】第一問是兩個(gè)尺規(guī)作圖，一是角平分線，二是線段的垂直平分線。第二問，根據(jù)尺

規(guī)作圖可知/ABD=，義60°=30=ZA,ZAED=ZBED=90°,又因?yàn)镈E=DE,可以判斷兩個(gè)

2

三角形全等。

【答案】（1）作出/B的平分線BD；2分

作出AB的中點(diǎn)E。4分

(2)證明：：NABD=LX60°=30°，ZA=30°

2

/.ZABD=ZA

又；NAED=NBED=90°,DE=DE

.'.△ADE^ABDE

【點(diǎn)評(píng)】尺規(guī)作圖表簡(jiǎn)單，做出來的角平分線和垂直平分線可以當(dāng)作已知條件使用，證明三

角形全等的方法有多個(gè)，注意選擇。屬于簡(jiǎn)單題型。

B

C

17.(2012廣東汕頭,17,7分)如圖,在AABC中，AB=AC,ZABC=72°.

(1)用直尺和圓規(guī)作NABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不要求寫作法);

(2)在(1)中作出NABC的平分線BD后，求NBDC的度數(shù).

分析：(1)根據(jù)角平分線的作法利用直尺和圓規(guī)作出NABC的平分線即可；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出/A的度數(shù)，再由角平分線

的性質(zhì)得出NABD的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出NBDC的度數(shù)即可.

解答：解：(1)①一點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F；

②分別以點(diǎn)E、F為圓心，以大于EF為半徑畫圓，兩圓相較于點(diǎn)G,連接BG角AC

于點(diǎn)D即可.

(2)?.,在&ABC中,AB=AC,ZABC=72°,

.\ZA=180o-2ZABC=180°-144°=36°,

：AD是/ABC的平分線，

.,.ZABD=ZABC=X72°=36°,

ZBDC是4ABD的外角，

.?.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°