專題06 二次函數(shù)性質(zhì)及應用問題（復習講義）（解析版）-二輪要點歸納與典例解析

專題06二次函數(shù)性質(zhì)及應用問題復習講義【要點歸納|典例解析】類型一：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．二次函數(shù)的概念：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì)yyxO（1）對稱軸：（2）頂點坐標：（3）與y軸交點坐標（0，c）（4）增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減??；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小。3.二次函數(shù)的解析式三種形式。（1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。（3）交點式已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式。4．根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號（1）a確定開口方向：當a>0時，拋物線的開口向上；當a<0時，拋物線的開口向下。（2）b——對稱軸與a左同右異。（3）拋物線與y軸交點坐標（0，c）5．二次函數(shù)與一元二次方程的關系拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。拋物線y=ax2+bx+c，當y=0時，拋物線便轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0>0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點；=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個交點；<0時，一元二次方程有不等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點。6．函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.圖像平移步驟（1）配方為：，確定頂點（h,k）（2）對x軸，左加右減；對y軸，上加下減。7.二次函數(shù)的對稱性二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一個結論：當橫坐標為x1,x2其對應的縱坐標相等，那么對稱軸類型二：二次函數(shù)最值問題二次函數(shù)最值問題的重要性毋庸置疑，其貫穿了整個中學數(shù)學，是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是學好中學數(shù)學必須攻克的極為重要的問題之一。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是二次函數(shù)最值問題的典型代表，其問題類型通常包括不含參數(shù)和含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值逆向性問題以及可轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的問題，在此類問題的解決過程中，涉及數(shù)形結合、分類討論等重要數(shù)學思想與方法。中考中多涉及到含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，很多學生不習慣數(shù)形結合及分類討論思想的運用，極易導致解題失誤或錯誤類型一：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.（2020廣西河池）如圖，拋物線的對稱軸為直線，則下列結論中，錯誤的是A． B． C． D．【答案】．【解析】由拋物線的開口方向判斷與0的關系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．.由拋物線的開口向下知，與軸的交點在軸的正半軸上，可得，因此，故本選項正確，不符合題意；.由拋物線與軸有兩個交點，可得，故本選項正確，不符合題意；.由對稱軸為，得，即，故本選項錯誤，符合題意；.由對稱軸為及拋物線過，可得拋物線與軸的另外一個交點是，所以，故本選項正確，不符合題意．故選：．2.（2020年陜西?。┮阎獟佄锞€，當時，，且當時，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)“當時，”，得到一個關于m不等式，在根據(jù)拋物線，可知拋物線開口向上，再在根據(jù)“當時，y的值隨x值的增大而減小”，可知拋物線的對稱軸在直線的右側或者是直線，從而列出第二個關于m的不等式，兩個不等式聯(lián)立，即可解得答案．因為拋物線，所以拋物線開口向上．因為當時，，所以①，因為當時，y的值隨x值的增大而減小，所以可知拋物線的對稱軸在直線的右側或者是直線，所以②，聯(lián)立不等式①，②，解得．3.（2020?呼和浩特）二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝ax+a在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D．【分析】由一次函數(shù)y＝ax+a可知，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點（﹣1，0），即可排除A、B，然后根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點；一次函數(shù)經(jīng)過的象限，與y軸的交點可得相關圖象進行判斷．【解答】解：由一次函數(shù)y＝ax+a可知，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點（﹣1，0），排除A、B；當a＞0時，二次函數(shù)y＝ax2開口向上，一次函數(shù)y＝ax+a經(jīng)過一、二、三象限，當a＜0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限，排除C；故選：D．4.（2020湖北孝感中考模擬）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，反比例函數(shù)y＝eq\f(b,x)與一次函數(shù)y＝cx＋a在同一平面直角坐標系中的大致圖像是(),A),B),C),D)【答案】D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像特點，可以確定a、b、c的符號，從而可以確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的趨勢?！窘獯稹俊遹＝ax2＋bx＋c的圖像的開口向下∴a<0∵對稱軸在y軸的右側∴b>0，與y軸正半軸相交∴c>0反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限．故選B.5.（2020廣西梧州）已知，關于的一元二次方程的解為，，則下列結論正確的是A． B． C． D．【答案】A【解析】關于的一元二次方程的解為，，可以看作二次函數(shù)與軸交點的橫坐標，二次函數(shù)與軸交點坐標為，，如圖：當時，就是拋物線位于軸上方的部分，此時，或；又，；，故選：A．6.（2020廣西賀州）已知拋物線的對稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①；②；③；④當時，，正確的是（填寫序號）．【答案】①③④【解析】根據(jù)圖象可得：，，對稱軸：，，，，，故①正確；把代入函數(shù)關系式中得：，由拋物線的對稱軸是直線，且過點，可得當時，，，故②錯誤；，，即：，故③正確；由圖形可以直接看出④正確．故答案為：①③④．7.（2020甘肅中考）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，對于下列說法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤當x＞0時，y隨x的增大而減小，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤【答案】C．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①錯誤；②由于對稱軸可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正確；③由于拋物線與x軸有兩個交點，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正確；④由圖象可知：x＝1時，y＝a+b+c＜0，故④正確；⑤當x＞時，y隨著x的增大而增大，故⑤錯誤；故選：C．8.(2020黑龍江大慶)如圖拋物線y＝(p>0),點F(0,p),直線l:y＝－p,已知拋物線上的點到點F的距離與到直線l的距離相等,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,則△A1OB1的面積＝______(只用a,b表示).【答案】【解析】先由邊相等得到∠A1FB1＝90°,進而得到A1B1的長度,由等面積法得到點F到A1B1的距離,進而得到△A1OB1的高,求出三角形面積.設∠A＝x,則∠B＝180°－x,由題可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以點F到A1B1的距離為,因為點F(0,p),直線l:y＝－p,△A1OB1的高為,所以△A1OB1的面積＝··＝9.（2020江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點A(m，3)，B(n，3)兩點，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是．【答案】．【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4，求出a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2＋a＋1的最小值．∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，∴該拋物線的頂點坐標為(－2，1)，對稱軸為直線x＝－2．∵拋物線過點A(m，3)，B(n，3)兩點，∴當y＝3時，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，當a＞0時，x＝－2±．∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．∴AB＝2．∵線段AB的長不大于4，∴2≤4．∴a≥．∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，∴當a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．10.（2020北京市）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B，點B在拋物線上．（1）求點B的坐標（用含的式子表示）；（2）求拋物線的對稱軸；（3）已知點，．若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求的取值范圍．【答案】見解析?！窘馕觥肯惹蟪鯝點的坐標為，由平移規(guī)律求得點B的坐標；由A、B兩點的縱坐標相同，得A、B為對稱點進而求出拋物線對稱軸方程；根據(jù)a的符號分類討論分析解答即可.（1）∵當x=0時，拋物線；∴拋物線與y軸交點A點的坐標為，∴由點A向右平移2個單位長度得點B的坐標為；即.∵由A、B兩點的縱坐標相同，得A、B為對稱點.∴拋物線對稱軸方程為；即直線.①當時，.分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；也不可能同時經(jīng)過點B和點Q，所以線段PQ和拋物線沒有交點.②當時，.分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；但當點Q在點B上方或與點B重合時，拋物線與線段PQ恰好有一個公共點，此時，即.綜上所述：當時，拋物線與線段PQ恰好有一個公共點.11.（2020云南中考）已知k是常數(shù)，拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的對稱軸是y軸，并且與x軸有兩個交點．（1）求k的值；（2）若點P在物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y(tǒng)軸的距離是2，求點P的坐標．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為y軸，則b＝0，可求出k的值，再根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，進而確定k的值和拋物線的關系式；（2）由于對稱軸為y軸，點P到y(tǒng)軸的距離為2，可以轉化為點P的橫坐標為2或﹣2，求相應的y的值，確定點P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的對稱軸是y軸，∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；又∵拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k與x軸有兩個交點．∴3k＜0∴k＝﹣3．此時拋物線的關系式為y＝x2﹣9，因此k的值為﹣3．（2）∵點P在物線y＝x2﹣9上，且P到y(tǒng)軸的距離是2，∴點P的橫坐標為2或﹣2，當x＝2時，y＝﹣5當x＝﹣2時，y＝﹣5．∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）因此點P的坐標為：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．類型二：二次函數(shù)最值問題12.（2020·樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結.則線段的最大值是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】連接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），∴O是AB的中點，又是線段的中點，∴OQ=PB，點B是圓C外一點，當PB過圓心C時，PB最大，OQ也最大，此時OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5，PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故選C.13.（2020·無錫）如圖，在中，AB=AC=5，BC=，為邊上一動點(點除外)，以為一邊作正方形，連接，則面積的最大值為.【答案】8【解析】過D作DG⊥BC于G，過A作AN⊥BC于N，過E作EH⊥HG于H，延長ED交BC于M.易證△EHD≌△DGC，可設DG=HE=x，∵AB=AC=5，BC=，AN⊥BC，∴BN=BC=2，AN=，∵G⊥BC，AN⊥BC，∴DG∥AN，∴，∴BG=2x，CG=HD=4-2x；易證△HED∽△GMD，于是，，即MG，所以S△BDE=BM×HD=×（2x）×（4-2x）==，當x=時，S△BDE的最大值為8.14.（2020·樂山）如圖，點是雙曲線：（）上的一點，過點作軸的垂線交直線：于點，連結，.當點在曲線上運動，且點在的上方時，△面積的最大值是.【答案】3【解析】∵點是雙曲線：（）上的一點，∴可設點P坐標為（m，），∵⊥軸，在圖象上，∴Q坐標為（m，），PQ=-()，∴△面積=×m×[-(]=，當m=2時，△面積的最大值為3.15.(2020·臺州)如圖,直線l1∥l2∥l3,A,B,C分別為直線l1,l2,l3上的動點,連接AB,BC,AC,線段AC交直線l2于點D.設直線l1,l2之間的距離為m,直線l2,l3之間的距離為n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且,則m+n的最大值為________.【答案】【解析】過點B作BE⊥l1于點E,作BF⊥l3于點F,過點A作AN⊥l2于點N,過點C作CM⊥l2于點M,設AE＝x,CF＝y(tǒng),則BN＝x,BM＝y(tǒng),∵BD＝4,∴DM＝y(tǒng)－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC＝90°,∠CMD＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴,即,mn＝xy,∴,即,∴y＝10－,∵,∴n＝m,m+n＝m,∵mn＝xy＝x(10－)＝－x2+10x＝m2,當x＝時,mn取得最大值為,∴m2＝,∴m最大＝,∴m+n＝m＝.16.（2020·涼山）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=AB，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為.【答案】4【解析】在正方形ABCD中，∵AB=12,AE=AB=3，∴BC=AB=12，BE=9，設BP=x，則CP=12-x.∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=∠B=∠C=90°，∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ，∴△EBP∽△PCQ，∴，∴，整理得CQ=，∴當x=6時，CQ取得最大值為4.故答案為4.17.（2020江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點A(m，3)，B(n，3)兩點，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是．【答案】．【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4，求出a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2＋a＋1的最小值．∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，∴該拋物線的頂點坐標為(－2，1)，對稱軸為直線x＝－2．∵拋物線過點A(m，3)，B(n，3)兩點，∴當y＝3時，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，當a＞0時，x＝－2±．∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．∴AB＝2．∵線段AB的長不大于4，∴2≤4．∴a≥．∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，∴當a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．18.(2020·臺州)已知函數(shù)y＝x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(－2,4).(1)求b,c滿足的關系式;(2)設該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m,n),當b的值變化時,求n關于m的函數(shù)解析式;(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,當－5≤x≤1時,函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.【解析】解：(1)將點(－2,4)代入y＝x2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c＝2b,∴b,c滿足的關系式是c＝2b.把c＝2b代入y＝x2+bx+c,得y＝x2+bx+2b,∵頂點坐標是(m,n),n＝m2+bm+2b,且m＝－,即b＝－2m,∴n＝－m2－4m.∴n關于m的函數(shù)解析式為n＝－m2－4m.由(2)的結論,畫出函數(shù)y＝x2+bx+c和函數(shù)y＝－x2－4x的圖象.∵函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象不經(jīng)過第三象限,∴－4≤－≤0.①當－4≤－≤－2,即4≤b≤8時,如圖1所示,x＝1時,函數(shù)取到最大值y＝1+3b,x＝－時,函數(shù)取到最小值y＝,∴(1+3b)－＝16,即b2+4b－60＝0,∴b1＝6,b2＝－10(舍去);②當－2<－≤0,即＝≤b<4時,如圖2所示,x＝－5時,函數(shù)取到最大值y＝25－3b,x＝－時,函數(shù)取到最小值y＝,∴(25－3b)－＝16,即b2－20b+36＝0,∴b1＝2,b2＝18(舍去);綜上所述,b的值為2或6.19.如圖，頂點為M的拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，過點C作軸交拋物線與另一個點D，作軸，垂足為點E．雙曲線經(jīng)過點D，連接MD，BD．(1)求拋物線的解析式．(2)點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標；(3)動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，的度數(shù)最大？（請直接寫出結果）【解析】（1）當時所以，，因為軸，軸，，所以四邊形OEDC為矩形，又因為雙曲線經(jīng)過點D，所以,所以,所以將點、代入拋物線得解得所以拋物線的表達式為．（2）解：作點D關于x軸的對稱點，作點M關于y軸的對稱點，如圖（1）由圖形軸對稱的性質(zhì)可知，，所以四邊形MDNF的周長，因為是定值，所以當最小時，四邊形MDNF的周長最小，因為兩點之間線段最短，所以當I、F、N、H在同一條直線上時最小所以當I、F、N、H在同一條直線上時，四邊形MDNF的周長最小，連接，交x軸于點N，交y軸于點F，因為拋物線的表達式為，所以點M的坐標為，由軸對稱的性質(zhì)可得，，，設直線HI的表達式為，所以，解得，所以直線HI的表達式為，當時，，當時，，所以，所以，，所以當M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，，．（3）解：本題的答案為．解題分析：如圖（2），當兩點A、B距離是定值，直線CD是一條固定的直線，點P在直線CD上移動，由下圖可以看出只有當過A、B的圓與直線CD相切時最大．所以可作過點B、D，且與直線OC相切，切點為P，此時的度數(shù)最大，由已知，可得，因為直線OC與相切，所以，所以直線PT的解析式為因為拋物線的表達式為，所以點B的坐標為，因為點B、點可以求得直線BD的垂直平分線的解析式為聯(lián)立與，得，直線PT與直線BD的交點即為點M，所以因為,可得解得或（舍去）所以當時，的度數(shù)最大．類型三：二次函數(shù)中特殊圖形存在性問題20.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的對稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，已知B點的坐標為(8，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點M為線段BC上方拋物線上的一點，點N為線段BC上的一點，若MN∥y軸，求MN的最大值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．【解析】解：(1)根據(jù)題意得，－eq\f(b,2a)＝3，即b＝－6a，則拋物線的解析式為y＝ax2－6ax＋4，將B(8，0)代入得，0＝64a－48a＋4，解得a＝－eq\f(1,4)，則b＝eq\f(3,2)，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4；(2)設直線BC的解析式為y＝kx＋d，由拋物線解析式可知：當x＝0時，y＝4，即點C(0，4)，將B(8，0)，C(0，4)代入得：解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),d＝4))，∴直線BC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋4，設點M的橫坐標為x(0＜x＜8)，則點M的縱坐標為－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4，點N的縱坐標為－eq\f(1,2)x＋4，∵點M在拋物線上，點N在線段BC上，MN∥y軸，∴MN＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4－(－eq\f(1,2)x＋4)＝－eq\f(1,4)x2＋2x＝－eq\f(1,4)(x－4)2＋4，∴當x＝4時，MN的值最大，最大值為4；（3）存在．令－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，又∵C(0，4)，由勾股定理得，AC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，如解圖，過點C作CD⊥對稱軸于點D，連接AC.∵拋物線對稱軸為直線x＝3，∴CD＝3，D(3，4)．①當AC＝CQ時，DQ＝eq\r(CQ2－CD2)＝eq\r(（2\r(5)）2－32)＝eq\r(11)，當點Q在點D的上方時，點Q到x軸的距離為4＋eq\r(11)，此時，點Q1(3，4＋eq\r(11))，當點Q在點D的下方時，點Q到x軸的距離為4－eq\r(11)，此時點Q2(3，4－eq\r(11))；②當AQ＝CQ時，設Q（3，t），則AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，則（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，此時，點Q3(3，0)；③當AC＝AQ時，∵AC＝2eq\r(5)，點A到對稱軸的距離為5，2eq\r(5)<5，∴不可能在對稱軸上存在Q點使AC＝AQ，綜上所述，當點Q的坐標為(3，4＋eq\r(11))或(3，4－eq\r(11))或(3，0)時，△ACQ為等腰三角形．21.如圖1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線．求拋物線的函數(shù)表達式:若拋物線與拋物線在軸的右側有兩個不同的公共點，求的取值范圍．如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應點，設是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．【答案】；；四邊形可以為正方形，【解析】解：將三點代入得解得；如圖．關于對稱的拋物線為當過點時有解得:當過點時有解得:；四邊形可以為正方形由題意設，是拋物線第一象限上的點解得:(舍去)即如圖作，于，于四邊形為正方形易證為將代入得解得:(舍去)當時四邊形為正方形.22.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(，0)，B兩點(點B在點A的左側)，與y軸交于點C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點D，過點A且垂直于AD的直線l交y軸于點E，點P是x軸下方拋物線的一個動點，過點P作PF⊥x軸垂足為F，交直線AD于點H.(1)求拋物線的解析式；(2)設點P的橫坐標為m，當FH＝HP時，求m的值；(3)當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求AQ＋EQ的最小值.【分析】(1)根據(jù)題意，先求出點B、C的坐標，運用待定系數(shù)求出拋物線的解析式；(2)用點m表示出FH和PF的長，再由FH＝HP列關于m的方程求解；(3)連接AH，以AH為邊構造相似三角形，將AQ轉化為某一個固定點的線段，再由三點共線計算出AQ＋EQ的最小值.【解析】(1)∵OB＝3OA＝OC，A(，0)，∴點B、C的坐標分別為(－3，0)，(－3，0).設拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－)，代入點C的坐標，得：－3＝a·3·(－)，解得：a＝.故該拋物線的解析式為y＝(x＋3)(x－)＝x2＋x－3.(2)在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°.又∵AH是∠FAC的平分線，∴∠FAH＝30°，則AF＝FH.由點P的橫坐標為m，則它的縱坐標為m2＋m－3.∴AF＝－m，PF＝3－m2－m.∴FH＝AF＝(－m).∵FH＝HP，則PF＝2FH，∴(－m)＝m2＋m－3.解得：m＝(舍去)或m＝－.故m的值為－.(3)連接CH.∵AF＝AC＝2，∠FAH＝∠CAH，AF＝AF，∴△AHF≌△AHC(SAS)，∴FH＝CH＝2.故⊙H的半徑為1.在HA上截取HM＝，則AM＝4－＝.∵＝，＝，∴＝，且∠QHM＝∠AHQ，∴△QHM∽△AHQ，∴＝，則AQ＝MQ,∴AQ＋QE＝QM＋QE.∵點E、M是定點，故當點M、Q、E共線時，QM＋QE的值最小，即最小值為線段ME的長.在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME＝＝＝.23.已知拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）點F是線段AD上一個動點．①如圖1，設，當k為何值時，.②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形是否與相似？若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由．【答案】（1），D的坐標為；（2）①；②以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，F(xiàn)點的坐標為或．【解析】(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對應的函數(shù)表達式，可求得頂點；(2)①由A、C、D三點的坐標求出，，，可得為直角三角形，若，則點F為AD的中點，可求出k的值；②由條件可判斷，則，若以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，可分兩種情況考慮：當或時，可分別求出點F的坐標．【詳解】(1)拋物線過點，，，解得：，拋物線解析式為；，頂點D的坐標為；(2)①在中，，，，，，，，，，為直角三角形，且，，F(xiàn)為AD的中點，，；②在中，，在中，，，，，，若以A，F(xiàn)，O為頂點的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：當時，，，設直線BC的解析式為，，解得：，直線BC的解析式為，直線OF的解析式為，設直線AD的解析式為，，解得：，直線AD的解析式為，，解得：，．當時，，，，直線OF的解析式為，，解得：，，綜合以上可得F點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．類型四：二次函數(shù)的實際應用24.（2020貴州省畢節(jié)市）某山區(qū)不僅有美麗風光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入．已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元．試銷階段每袋的銷售價x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，試求：（1）日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；（2）假設后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式即可；利用每件利潤×總銷量＝總利潤，進而求出二次函數(shù)最值即可．依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式為y＝kx+b得，解得故日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式為：y＝﹣x+40（2）依題意，設利潤為w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴當x＝2時，w取得最大值，最大值為225故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元．25..某政府工作報告中強調(diào)，2020年著重