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5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.1
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象新知探索正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線,是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.
新知探索
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題型一:五點(diǎn)作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖【解析】(1)①列表:
(2)①列表:②描點(diǎn)連線如圖.
②描點(diǎn)連線如圖.
【解析】列表:描點(diǎn)作圖,如圖所示:題型一:五點(diǎn)作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
題型二:含絕對(duì)值的三角函數(shù)
題型二:含絕對(duì)值的三角函數(shù)
題型三:解三角不等式問(wèn)題
題型三:解三角不等式問(wèn)題
題型三:解三角不等式問(wèn)題
題型四:與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題
題型四:與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題
題型四:與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題
題型五:識(shí)圖問(wèn)題回顧與引入
上一節(jié)課,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正余弦曲線的畫法和形狀,你還能想起它們的位置和形狀嗎?
接下來(lái),我們就應(yīng)該研究正余弦函數(shù)的性質(zhì)了.所謂性質(zhì)就是研究對(duì)象在變化過(guò)程中保持不變性的那些特征
從前面的學(xué)習(xí)中,我們知道,三角函數(shù)首先是具有”周而復(fù)始”的變化規(guī)律,這就是我們接下來(lái)要研究的性質(zhì):周期性問(wèn)題1
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的特點(diǎn)可以從哪些方面進(jìn)行驗(yàn)證?提示
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.我們可以從兩個(gè)方面來(lái)驗(yàn)證這種特點(diǎn):①函數(shù)的圖象,回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的畫法,我們是先畫出[0,2π]上的函數(shù)圖象,然后每次向左(右)平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度得到整個(gè)定義域上的函數(shù)圖象.②誘導(dǎo)公式一,sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,對(duì)任意的k∈Z都成立.1.函數(shù)的周期性一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)
,使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且
,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).
叫做這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)
,那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.非零常數(shù)Tf(x+T)=f(x)非零常數(shù)T最小的正數(shù)經(jīng)典應(yīng)用21
思考1:正弦就是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo),當(dāng)這個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),其縱坐標(biāo)(正弦)就呈現(xiàn)周性的變化,由此你能猜出正弦函數(shù)的周期嗎?探究新知(一)sinx=n
當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)一周,即角
x變化2π時(shí),sinx的值重復(fù)出現(xiàn).因此,函數(shù)y=sinx的周期為2π
思考2:你能從y=sinx圖象的角度和代數(shù)的角度對(duì)上述猜想進(jìn)行解釋嗎?從圖象上看,每隔2π,y=sinx的圖象重復(fù).由誘導(dǎo)公式知,sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z
思考3:2π是y=sinx的周期,那么4π,6π,-2π,-4π等呢?都是.事實(shí)上,y=sinx有無(wú)數(shù)個(gè)周期.3.正弦函數(shù)是
,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是
.4.余弦函數(shù)是
,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是
.周期函數(shù)周期函數(shù)2π2π注意點(diǎn):(1)關(guān)鍵詞“每一個(gè)x”體現(xiàn)了對(duì)定義域中每一個(gè)值都得成立.(2)周期函數(shù)的周期不唯一,任何T的非零整數(shù)倍都是函數(shù)的周期.(3)三角函數(shù)的周期是函數(shù)的整體性質(zhì),我們?cè)谘芯亢瘮?shù)時(shí),只需研究一個(gè)周期上的圖象和性質(zhì)即可.(4)若不加特殊說(shuō)明,一般求三角函數(shù)的周期的問(wèn)題,求的是函數(shù)的最小正周期.正弦函數(shù)y=sin
x和余弦函數(shù)y=cos
x都是周期函數(shù);2kπ
(k∈Z且
k≠0)
都是它們的周期,最小正周期2π.正余弦函數(shù)的周期性解:(1)因?yàn)?sin(x+2π)=3sinx,由周期函數(shù)的定義知,y=3sinx的周期為2π.解:解:拓展1:y=|cosx|,x∈R.y=|cosx|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示.由圖象可知,y=|cosx|的周期為π.求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法:利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法:對(duì)形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A≠0,ω≠0)的函數(shù),T=(3)圖象法:畫出函數(shù)圖象,通過(guò)圖象直接觀察即可.跟蹤訓(xùn)練1求下列三角函數(shù)的最小正周期:(1)y=|sinx|;(2)y=cosπx;由f(x)=|sinx|,f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|=f(x),得y=|sinx|的最小正周期為π(或通過(guò)圖象判斷).二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性問(wèn)題2
繼續(xù)回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,你還能發(fā)
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