概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)說課講解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

配套教材:韓明等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，同濟(jì)大學(xué)出版社概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，本來是由保險(xiǎn)事業(yè)發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問題的源泉.早在1654年，有一個(gè)賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏m局就算獲勝，全部賭本就歸勝者，但是當(dāng)其中一個(gè)人甲贏了a(a<m)局的時(shí)候，賭博中止，問賭本應(yīng)當(dāng)如何分配才算合理？”概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。序言自然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的.在觀察、分析、研究各種現(xiàn)象時(shí),通常我們將它們分為兩類:(1)可事前預(yù)言的，即在準(zhǔn)確地重復(fù)某些條件下，它的結(jié)果總是肯定的，或者根據(jù)它過去的狀況，在相同條件下完全可以預(yù)言將來的發(fā)展，例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃必然沸騰;向空中拋擲一顆骰子，骰子必然會(huì)下落;在沒有外力作用下，物體必然靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng);太陽每天必然從東邊升起，西邊落下等等，稱這一類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.

第一章隨機(jī)事件及其概率人們經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐和深入研究之后,發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中,偶然性起著支配作用,呈現(xiàn)出不確定性,但在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中,卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性我們稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.(2)在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果，而在相同條件下大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象).例如,在相同條件下,拋擲一枚硬幣,其結(jié)果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結(jié)果是什么.

上一講中，我們了解到，隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率論正是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究.

從觀察試驗(yàn)開始

研究隨機(jī)現(xiàn)象,首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察試驗(yàn).這里的試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn),甚至對(duì)某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn).幾個(gè)具體試驗(yàn)

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的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

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觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).在一批燈泡中任意抽取一支,測(cè)試它的壽命.上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事

先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).用表示隨機(jī)試驗(yàn). 1.1.2樣本空間隨機(jī)事件樣本空間隨機(jī)事件事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算小結(jié)布置作業(yè)試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的

壽命試驗(yàn)測(cè)試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.

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的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現(xiàn)

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觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的我們注意到根據(jù)這個(gè)目的,試驗(yàn)被觀察到多個(gè)不同的結(jié)果.

試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,是在試驗(yàn)前就明確的;或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,但可知道它不超過某個(gè)范圍.試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的樣本點(diǎn)e.

S現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.一、樣本空間例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).則樣本空間如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，S={t：t≥0｝樣本空間故若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：則樣本空間由以上兩個(gè)例子可見,樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的.

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觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現(xiàn)的次數(shù).

請(qǐng)注意：

實(shí)際中,在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),我們往往會(huì)關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合.例如在測(cè)試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中,若規(guī)定燈泡的壽命(小時(shí))小于500為次品,那么我們關(guān)心燈泡的壽命是否滿足.或者說,我們關(guān)心滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)集合.這就是試驗(yàn)的樣本空間的子集稱為的隨機(jī)事件.二、隨機(jī)事件如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}事件A={擲出1點(diǎn)}事件C{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}=基本事件:(相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件)事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).

事件Ai

={擲出i點(diǎn)},i=1,2,3,4,5,6由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件

在一次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)出現(xiàn).兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用S表示;不件可事能即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用表示.而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.三、事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算則稱為

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律四、小結(jié)樣本空間和隨機(jī)事件的定義事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算那么要問:如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來回答這個(gè)問題.研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事率件概的

頻率與概率頻率的定義概率的定義小結(jié)布置作業(yè)

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傺a(bǔ)充幾個(gè)例子.

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.

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