專題22 銳角三角函數(shù)（講義）（解析版）

專題22銳角三角函數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)精講理解掌握銳角三角函數(shù)的概念；理解掌握茶館用的特殊角的三角函數(shù)值，能夠進(jìn)行常規(guī)的計(jì)算；理解掌握各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系；理解掌握銳角三角函數(shù)的增減性并能進(jìn)行運(yùn)用；掌握銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；能夠熟練地進(jìn)行解直角三角形?？键c(diǎn)1銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)。如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即考點(diǎn)2一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10考點(diǎn)3各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=考點(diǎn)4銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c(diǎn)5銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（1）仰角和俯角：在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角；（2）坡度、坡角：坡度等于坡角的正切值；（3）方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)線所成的小于90度的角，叫做方向角?？键c(diǎn)6解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2.解直角三角形的理論依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】（2023?黃埔區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于sinA的是（）A．CDAC B．CBAB C．BDCB【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠A+ACD＝90°，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∴sinA=CD同時(shí)有，sinA＝sin∠DCB=DB故選：D．1．（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB=35，則A．25 B．12 C．9 D．16【答案】B【分析】先利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AC，再利用勾股定理得結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinB=∴AC＝sinB?AB=3∴BC==1=144＝12故選：B．2．（2023?荔灣區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則cosA的值是（）A．32 B．12 C．25【答案】A【分析】先利用勾股定理得到AC=3BC【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC=AB∴cosA=AC故選：A．3．（2023?惠東縣二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tanB的值為（）A．45 B．34 C．43【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC=A∴tanB=AC故選：B．【題型2：特殊角的三角函數(shù)】【典例2】（2023?佛山一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA=12，則∠A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)60°的余弦值是12【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A為銳角，∵cosA=1∴∠A＝60°，故選：C．1．（2023?黃埔區(qū)校級(jí)二模）在△ABC中，若|sinA?12|+（22?cosB）2A．45° B．75° C．105° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，sinA?12=0，2即sinA=12，22解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故選：C．2．（2023?寶安區(qū)校級(jí)三模）cos60°的值等于（）A．12 B．22 C．3【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解題即可．【解答】解：cos60°=1故選：A．3．（2023?興寧市二模）已知實(shí)數(shù)a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說法正確的是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【分析】分別求出各三角函數(shù)的值，然后比較他們的大小即可．【解答】解：a=tan30°=3∵12∴b＞a＞c．故選：A．【題型3：數(shù)軸】【典例3】（2022?河源模擬）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，則tanA的值是3【答案】33【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，sinA=1∴∠A＝30°，∴tanA＝tan30°=3故答案為：331．（2021?荔灣區(qū)校級(jí)三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=512，則cosA．512 B．125 C．513【答案】D【分析】根據(jù)tanA=512求出第三邊長(zhǎng)的表達(dá)式，求出cos【解答】解：如圖：設(shè)BC＝5x，∵tanA=5∴AC＝12x，AB=AC2∴cosA=AC故選：D．2．（2020?南海區(qū)一模）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=35，則sinA．35 B．45 C．53【答案】B【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+sin2B＝1解答．【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，∵sinB=3∴sinA=1?(故選：B．【題型4：解直角三角形】【典例4】（2023?惠城區(qū)校級(jí)一模）在邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么cos∠BAC的值為（）A．55 B．12 C．25【答案】A【分析】先求出三角形ABC的三邊長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)三角形是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出角的余弦值．【解答】解：∵AB=1+9=10，AC=4+4=2∴△ABC為等腰三角，如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，∴AD=12AC=1∴cos∠BAC=AD故選：A．1．（2023?南海區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（）A．13 B．3 C．12【答案】B【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，結(jié)合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，則可求得AQ＝3，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠APQ的值，從而可求tan∠ACO的值．【解答】解：∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴OCBC∵OC：OB＝1：3，∴OCBC∴CPAC過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖，∴∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ=AQ∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．故選：B．2．（2023?臺(tái)山市校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，sin∠BAC＝（）A．1313 B．2613 C．2626【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設(shè)BH＝a，則AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取格點(diǎn)T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設(shè)BH＝a，則BH＝TH＝GH＝CG＝a，CG＝2a，AG＝4a，可得AH＝5a，在Rt△AHB中，AB=BH∴sin∠BAC=BH故選：C．3．（2023?中山市模擬）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則tanA的值是（）A．12 B．1 C．33 【答案】A【分析】首先構(gòu)造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：如圖，連接CD．∵AC=32+12=10，CD∴AC2＝CD2+AD2，∴∠ADC＝90°，∴tanA=CD故選：A．【題型5：解直角三角形的應(yīng)用】【典例5】（2023?深圳模擬）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（）A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm【答案】D【分析】作輔助線如圖，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sinαcm，然后根據(jù)CD＝EF﹣2CE即可得出答案．【解答】解：如圖，作直線CD，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，在直角三角形ACE中，CE＝AC?sinα＝40sinα，∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm．故選：D．1．（2023?佛山模擬）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測(cè)得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A．60sin50° B．60sin50° C．60cos50° 【答案】A【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函數(shù)定義，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，∴點(diǎn)A到BC的距離為60sin50°，故A正確．故選：A．2．（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）某路燈示意圖如圖所示，它是軸對(duì)稱圖形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD與地面垂直且CD＝3m，則燈頂A到地面的高度為（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C．3+1.2cos25° 【答案】B【分析】連接AB，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，由題意可知：∠ACE=12∠ACB＝65°，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求出【解答】解：連接AB，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，由題意可知：∠ACE=12∠在Rt△ACD中，cos∠ACE＝cos65°=CE∴CE＝1.2cos65°（m），∴點(diǎn)A到地面的高度為：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，∵cos65°＝sin25°，∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，故選：B．3．（2023?龍崗區(qū)校級(jí)四模）如圖，用三角支架固定空調(diào)外機(jī)，已知OA⊥AB，∠AOB＝α，BO＝0.4米，則點(diǎn)O到墻面距離OA為（）A．0.4sinα米 B．0.4cosα米 C．0.4sinα米 D．0.4【答案】B【分析】先判斷△AOB是直角三角形，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：∵OA⊥AB，∴∠OAB＝90°．在Rt△AOB中，∵cos∠AOB=OA∴OA＝cos∠AOB?BO＝cosα×0.4＝0.4cosa（米）．故選：B．【題型6：解直角三角形——坡度角問題】【典例6】（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖是一個(gè)山坡的縱向剖面圖，坡面DE的延長(zhǎng)線交地面AC于點(diǎn)B，點(diǎn)E恰好在BD的中點(diǎn)處，∠CBD＝60°，坡面AE的坡角為45°，山坡頂點(diǎn)D與水平線AC的距離，即CD的長(zhǎng)為10003m．（1）求BE的長(zhǎng)度；（2）求AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F．由題意可得EF=12CD=5003m，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°（2）在Rt△AEF中，可得AF＝EF＝5003m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°=EFBF=5003BF=3，求出【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴EF=12在Rt△BEF中，sin∠EBF＝sin60°=EF解得BE＝1000，經(jīng)檢驗(yàn)，BE＝1000是原方程的解且符合題意，∴BE的長(zhǎng)度為1000m．（2）在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，∴AF＝EF＝5003m，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝tan60°=EF解得BF＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，BF＝500是原方程的解且符合題意，∴AB＝AF﹣BF＝（5003?500）∴AB的長(zhǎng)度為（5003?500）1．（2023?陸河縣校級(jí)模擬）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i＝1：2，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為105【答案】105【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝10米，AE⊥BD，∵i=AE∴BE＝20米，∴在Rt△ABE中，AB=A故答案為：1052．（2023?潮陽(yáng)區(qū)二模）科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動(dòng)10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．（1）求連接水管AM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，3≈【答案】（1）20cm；（2）34.6cm．【分析】（1）根據(jù)∠ACM的正切值求解即可；（2）連接BC．首先證明出四邊形ABCM為矩形，進(jìn)而得到BD＝2BC＝40cm，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵M(jìn)C＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，∴AM＝MC?tan∠ACM＝MC?tan63°≈10×2.0＝20cm．答：連接水管AM的長(zhǎng)為20cm．（2）如圖，連接BC．∵AB∥MC，AB＝MC，∴四邊形ABCM為平行四邊形．∵∠AMC＝90°，∴四邊形ABCM為矩形，∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．∵∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝40cm，∴CD=B答：水盆兩邊緣C，D之間的距離為34.6cm．3．（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．若新坡面底端A處與建筑物NM之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】該建筑物不需要拆除，理由見解答．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，可以求得CD、BD、AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)題意可知BN＝8米，即可計(jì)算出AN的長(zhǎng)，再與3比較大小即可．【解答】解：該建筑物不需要拆除，理由：∵∠CDB＝45°，∠CDB＝90°，CD＝6米，∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝6（米），∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴AD=CDtan∠CAD=∴AN＝BD+BN﹣AD＝6+8﹣63≈∵3.62＞3，∴該建筑物不需要拆除．【題型7：解直角三角形——仰角俯角問題】【典例7】（2023?三水區(qū)模擬）如圖，西安某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，長(zhǎng)度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延長(zhǎng)線交校門處的水平面于點(diǎn)D．求樓頂C的高度CD．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(11+23【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AD，過點(diǎn)E作EN⊥AD，由AB的坡度和長(zhǎng)即可求BM，再由BF＝EF+BE，根據(jù)∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AD，過點(diǎn)E作EN⊥AD，∵i＝5：12，∴BMAM∵AB＝13米，∴BM＝5米，AM＝12米，∴BM＝DF＝5米，設(shè)EF為x米，則BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，∴tan60°=3解得x＝23+∴CF=(6+23∴CD=CF+FD=(11+23答：DC的長(zhǎng)度為(11+231．（2023?花都區(qū)一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L距離6km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為43°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．6sin43° B．6cos43° C．6tan43° 【答案】D【分析】根據(jù)正切的定義即可求解．【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，∴tanR=AL∴AL＝LR?tanR＝6?tan43°（km）．故選：D．2．（2023?寶安區(qū)校級(jí)一模）全球最大的關(guān)公塑像矗立在荊州古城東門外．如圖，張三同學(xué)在東門城墻上C處測(cè)得塑像底部B處的俯角為11°48′，測(cè)得塑像頂部A處的仰角為45°，點(diǎn)D在觀測(cè)點(diǎn)C正下方城墻底的地面上，若CD＝10米，則此塑像的高AB約為58米（參考數(shù)據(jù)：tan78°12′≈4.8）．【答案】58．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由題意可得：BE＝DC＝10m，∵∠ECB＝11°48′，∴∠EBC＝90°﹣11°48′＝78°12′，∴tan78°12′=EC解得：EC＝48（m），∵∠AEC＝45°，∴AE＝EC，∴此塑像的高AB約為：AE+EB＝48+10＝58（米）．故答案為：58．3．（2023?開平市二模）如圖所示，建筑物MN一側(cè)有一斜坡AC，在斜坡坡腳A處測(cè)得建筑物頂部N的仰角為60°，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線夾角成45°時(shí)，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA處，另一部分影子落在斜坡上AP處，已知點(diǎn)P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度為13（即tan∠PAD=13），且M，A，D（1）求此時(shí)建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長(zhǎng)；（2）求建筑物MN的高度．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）如圖，作PH⊥MN于H．則四邊形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．（2）設(shè)NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根據(jù)tan60°=MNAM，可得MN=【解答】解：（1）如圖，作PH⊥MN于H．則四邊形PDMH是矩形．∵tan∠PAD=PDAD=∴AD＝15，PA=52+1∴此時(shí)建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長(zhǎng)為510米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，設(shè)NH＝PH＝x米，則MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°=MN∴MN=3AM∴x+5=3（x解得x＝（103+∴MN＝x+5＝（103+【題型8：解直角三角形——方向角問題】【典例8】（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向上，B在D的北偏西53°方向上．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．（1）求證：BD⊥AB；（2）求A，B兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）見解析；（2）A，B兩點(diǎn)間的距離約96米．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠ECA＝37°，求得∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；（2）在Rt△BCD中，解直角三角形求得BD＝72（米），在Rt△ABD中，解直角三角形得到AB＝96（米）．于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°，∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD⊥AB；（2）解：在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC=BD∴BD＝CD?cos37°≈90×0.80＝72（米），在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA=BD∴AB=BD答：A，B兩點(diǎn)間的距離約96米．1．（2023?惠州一模）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東30°方向上，沿正東方向行走60米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西60°方向上．A，B兩點(diǎn)間的距離為90米．【答案】90．【分析】根據(jù)題意可得：CD＝60米，AD⊥CD，EC∥AD，從而可得∠A＝∠ACE＝30°，進(jìn)而可得∠ABD＝90°，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，再在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：由題意得：CD＝60米，AD⊥CD，EC∥AD，∴∠A＝∠ACE＝30°，∵∠BDA＝60°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝90°，在Rt△ACD中，AD=CD在Rt△ABD中，AB＝AD?sin60°≈603×∴A，B兩點(diǎn)間的距離約為90米，故答案為：90．2．（2023?潮南區(qū)模擬）為維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理如圖，海警船A在C島的正西方向，當(dāng)島主發(fā)現(xiàn)有海盜船時(shí)，測(cè)得海盜船在C島的西北方向上的B處，已知海警測(cè)得海盜船在海警船A北偏東60°的位置B上，海警船若以60海里/時(shí)的速度航行到海盜船處需要1小時(shí)．（1）問此時(shí)海盜船離C島的距離BC是多少海里？（2）若海盜船以30海里/時(shí)的速度向C島出發(fā)，海警船在接到島主報(bào)警后以60海里/時(shí)的速度向C島出發(fā)，問海警船能否趕在海盜船之前到達(dá)C島進(jìn)行攔截（2≈1.41，3【答案】（1）此時(shí)海盜船離C島的距離BC約是42.3海里；（2）海警船能趕在海盜船之前到達(dá)C島進(jìn)行攔截．【分析】（1）過B作BD⊥AC于D，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）由（1）知BD＝30（海里），∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求得AD=3BD＝303海里，CD＝BD＝30海里，得到AC＝AD+CD＝303+30（海里），求出海警船在接到島主報(bào)警后到達(dá)C島需要303+3060【解答】解：（1）由題意得，AB＝60海里，∠BAC＝30°，過B作BD⊥AC于D，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∴BD=12∵∠BCA＝45°，∴BC=2BD＝302答：此時(shí)海盜船離C島的距離BC約是42.3海里；（2）由（1）知BD＝30（海里），∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，∴AD=3BD＝303海里，CD＝BD∴AC＝AD+CD＝（303+∴海警船在接到島主報(bào)警后到達(dá)C島需要303+3060≈1.37（小時(shí)），海盜船到達(dá)∵1.37＜1.41，∴海警船能趕在海盜船之前到達(dá)C島進(jìn)行攔截．3．（2023?佛山一模）如圖，海中小島A周圍15nmile內(nèi)有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)處測(cè)得小島A在北偏東63.4°方向上；航行26nmile到達(dá)C點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東33.7°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：tan63.4°≈2，tan33.7°≈0.7）【答案】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)AE＝xnmile，根據(jù)BE﹣CE＝BC列方程求解即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由題意得，∠ABD＝∠BAE＝63.4°，∠CAE＝33.7°，設(shè)AE＝xnmile，在Rt△ACE中，tan∠CAE=DE∴DE＝AE?tan∠CAE＝0.7x（nmile），Rt△ABE中，tan∠BAE=BE∴BE＝2x（nmile），∵BE﹣CE＝BC，∴2x﹣0.7x＝26，解得x＝20，∵20＞15，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)．一．選擇題（共7小題）1．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．cosC=55 B．tanB?tanCC．tanB=12 【答案】D【分析】先設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，利用勾股定理分別求出AC=2，AB＝22，BC=10，進(jìn)而可得△ABC為直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出cosC，tanB，tanC，sinB，sin【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理得：AC=12+12=2，AB∵AC2＝2，AB2＝8，BC2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，即∠A＝90°，∴cosC=AC故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵tanB=ACBC=2∴tanB?tanC=1故選項(xiàng)B、C正確，不符合題意；∵sinB=AC故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：D．2．在Rt△ABC中，∠B＝90°．已知AB＝6，AC＝10，則sinA的值為（）A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：如圖所示：∵AB＝6，AC＝10，∴BC=A∴sinA=BC故選：A．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則cosA的值是（）A．35 B．34 C．43【答案】D【分析】根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，∴cosA=AC故選：D．4．tan45°的值是（）A．?2 B．3 C．1 D．【答案】C【分析】直角利用特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：tan45°＝1．故選：C．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=35，那么cosA．34 B．35 C．45【答案】C【分析】由銳角的正弦定義得到sinA=BCAB=35，令BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理求出AC=A【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，∵sinA=BC∴令BC＝3x，AB＝5x，∴AC=AB2∴cosA=AC故選：C．6．為測(cè)樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．30tanα米 C．30sinα米 D．30【答案】A【分析】利用所給角的正切函數(shù)即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故選：A．7．已知cosA=12，則∠A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【解答】解：由題意，得∠A＝60°，故選：C．二．填空題（共5小題）8．若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)B（4，0），則sin∠ABO的值為55【答案】55【分析】根據(jù)題意畫出直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，作AD⊥x軸于D，再根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形即可求出．【解答】解：根據(jù)題意可畫出直角坐標(biāo)系，作AD⊥x軸于D，如圖所示：∵點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)B（4，0），∴OD＝2，AD＝1，OB＝4，∴BD＝2，在Rt△ADB中，由勾股定理可得：∴AB=A∴sin∠ABO=AD故答案為：559．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，cosA=44141，sinB=513，AB【答案】6.5．【分析】首先根據(jù)題意畫出示意圖，作CD⊥AB于D，先在Rt△BCD中由sinB=513，在Rt△CDA中，cosA設(shè)AD＝441x，AC＝41x，進(jìn)而得BD＝1241x，BC＝1341x，求出x的值即可得出BC的長(zhǎng)．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖：在Rt△BCD中，sinB=CD在Rt△CDA中，cosA=4設(shè)AD＝441x，AC＝41x，由勾股定理得：CD=AC2?A∴BD＝1241x，BC＝1341x，∵AB＝8，∴441x+1241x＝8，∴x=41∴BC＝1341x＝6.5．故答案為：6.5．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，則tanA＝4【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的定義解答．【解答】解：由sinA=45知，可設(shè)a＝4x，則c＝5x，b＝3∴tanA=a故答案為：4311．若0°＜α＜45°，且sin2α=32，則α＝【答案】30【分析】先根據(jù)60°的正弦值得到2α＝60°，則α＝30°，然后利用30度的正切值求解．【解答】解：∵sin2α=32，0°＜∴2α＝60°，∴α＝30°．故答案為：30．12．若cosA=12，則銳角∠A＝【答案】60°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵cosA=1∴銳角∠A＝60°．故答案為：60°．三．解答題（共3小題）13．計(jì)算：（1）sin45°cos45°+3tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°．【答案】（1）2；（2）212【分析】利用特殊銳角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式=22=1＝2；（2）原式=12?2×（22）2=12?=1＝21214．計(jì)算：（1）6tan（2）22【答案】（1）12（2）12【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入并化簡(jiǎn)求值即可．【解答】解：（1）原式=6×(=6×1=1（2）原式==1=115．計(jì)算：sin260°﹣cos260°+2tan45°．【答案】52【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：原式＝sin260°﹣cos260°+2tan45°=(=3=5一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=1A．cosA=13 B．tanA=22 C．cosB=【答案】D【分析】由sinA=13，可得BCAB=13，設(shè)BC＝x，則【解答】解：∵sinA=1∴BCAB=13，設(shè)BC＝x，則∴AC=A∴cosA=22xcosB=x3x=∴A，B，C不符合題意，D符合題意；故選：D．2．已知∠A+∠B＝90°，且cosA=35，則tanA．45 B．35 C．34【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)AC＝3x，AB＝5x，求出BC，即可求解．【解答】解：如圖，∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∵cosA=3∴設(shè)AC＝3x，AB＝5x，∴BC=A∴tanB=3x故選：C．3．把△ABC各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大4倍得到△A′B′C′，其中A′與A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，則銳角A′的余弦值比銳角A的余弦值（）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小4倍 D．?dāng)U大2倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知∠A大小不變，即得出銳角A的余弦值保持不變．【解答】解：∵在Rt△ABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大4倍，∴各角的大小不變，即∠A大小不變．∵一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，∴銳角A的余弦值保持不變．故選：B．4．一艘貨輪從小島A正南方向的點(diǎn)B處向西航行30km到達(dá)點(diǎn)C處，然后沿北偏西60°方向航行20km到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)觀測(cè)到小島A在北偏東60°方向，則小島A與出發(fā)點(diǎn)B之間的距離為（）A．203km B．(103+20)C．(103+10)km D．【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，易證四邊形BCFE是矩形，得出EF＝BC＝30km，CF＝BE，由含30°角直角三角形的性質(zhì)得出CF=12CD＝10km，再由銳角三角函數(shù)定義求出DF＝103km，則DE＝（103+30）km，然后由銳角三角函數(shù)定義求出AE＝（103【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴四邊形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，由題意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，∴CF=12CD=1∴BE＝10km，DF＝sin60°×CD=32×20＝103∴DE＝DF+EF＝（103+30）（km∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan30°×DE=33×（103+30）＝（10∴AB＝AE+BE＝103+10+10＝（103+20）（故選：B．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，則cosC的值是（）A．35 B．45 C．34【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形直角邊AC的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦的定義即可求得cosC的值．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴由勾股定理得：AC=B則cosC=AC故選：A．二．填空題（共5小題）6．如圖，小明和小華同時(shí)從P處分別向北偏西60°和南偏西30°方向出發(fā)，他們的速度分別是3m/s和4m/s，則20s后他們之間的距離為100m．【答案】100．【分析】根據(jù)勾股定理即可解答．【解答】解：根據(jù)平角的定義可得：∠APB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，PA＝3×20＝60（m），PB＝4×20＝80（m），在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB=P即20s后他們之間的距離為100m．故答案為：100．7．如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（30+103）km．【答案】（30+103）．【分析】過B作BE⊥AC于E，過C作CF∥AD，證出∠ACB＝60°，由題意得∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝302km，解直角三角形求出AE、CE的長(zhǎng)，即可得到答案．【解答】解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過C作CF∥AD，則CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由題意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝302km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝302km，∴AE＝BE=22AB＝30（在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB=BE∴CE=BEtan60°=303∴AC＝AE+CE＝30+103（km），∴A，C兩港之間的距離為（30+103）km，故答案為：（30+103）．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，對(duì)角線BD平分∠ABC．cos∠ABD=45，則△BCD【答案】9．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，利用角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD，求出BD的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，∵對(duì)角線BD平分∠ABC．cos∠ABD=4∴∠ABD＝∠CBD，∴cos∠CBD=4∵∠A＝90°，AB＝4，∴cos∠ABD=AB∴BD＝5，∵cos∠CBD=BE∴BE＝4，∴DE=B∴S△BCD故答案為：9．9．如圖，是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較大的銳角為α，則cosα＝21313【答案】213【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形較短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a+1，再利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個(gè)個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出cosα的值．【解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為13，設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝13，解得：a1＝2，a2＝﹣3（不合題意，舍去）．∴a+1＝3，∴cosα=2故答案為：21310．已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（3，4）和B（0，b），滿足tan∠ABO=12（O為原點(diǎn)），那么b的值為【答案】﹣2或10．【分析】分當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上和負(fù)半軸上兩種情況，分別畫出圖形、根據(jù)正切的定義列方程求解即可．【解答】解：①如圖：當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時(shí)，則BC＝b﹣4，∵tan∠ABO=1∴ACBC=12，即②如圖：當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，則BC＝4﹣b，∵tan∠ABO=1∴ACBC=12，即故答案為：﹣2或10．三．解答題（共4小題）11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB=22，sin∠C=25【答案】21?2【分析】過點(diǎn)A作BC邊的垂線，構(gòu)造直角三角形即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°．在Rt△ABD中，sin45°=AD則AD=22同理可得，BD＝2．在Rt△ACD中，sin∠C=AD則AC=2由勾股定理得，CD=A∴BC＝CD﹣BD=2112．某小區(qū)門口“曲臂直桿道閘”在工作時(shí)，一曲臂桿OA繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，另一曲臂桿AB始終保持與地面平行．如圖1，是曲臂直桿道閘關(guān)閉時(shí)的示意圖，此時(shí)O、A、B在一條直線上．閘機(jī)是高為1.2m，寬為0.4m的矩形PQMN，已知OA＝AB＝1.5m，點(diǎn)O到PM的距離為0.2m，小區(qū)門口寬度為2.8m．（1）當(dāng)曲臂桿OA與AB的夾角為150°時(shí)，求點(diǎn)A到地面的距離；（2）因機(jī)器出現(xiàn)故障，曲臂桿OA最多可旋轉(zhuǎn)72°，有一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可否順利通過門口？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【答案】（1）（1+334）m；（2）一輛寬為2.2m【分析】（1）過點(diǎn)A作AC⊥QN于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥QN于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；（2）假定曲臂桿OA旋轉(zhuǎn)72°至如圖所示的位置，過點(diǎn)A作AC⊥QN于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥QN于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，通過計(jì)算曲臂桿OA旋轉(zhuǎn)至最高位置時(shí)，A點(diǎn)的高度與貨車的高度的比較，以及C點(diǎn)距離大門的墻壁距離與貨車的寬度比較即可．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AC⊥QN于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥QN于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，如圖，由題意得：OD＝1m，OA＝1.5m，∠DOA＝150°，∵AC⊥QN，OD⊥QN，OE⊥AC，∴四邊形ODCE為矩形，∴∠DOE＝90°，EC＝OD＝1m．∴∠AOE＝∠DOA﹣∠DOE＝60°．∴AE＝OA?sin60°＝1.5×32=∴點(diǎn)A到地面的距離＝AE+CE＝（1+334（2）一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可順利通過門口．理由：假定曲臂桿OA旋轉(zhuǎn)72°至如圖所示的位置，過點(diǎn)A作AC⊥QN于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OD⊥QN于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F，由題意得：OD＝1m，OA＝1.5M，∠AOE＝72°，DN＝0.2m，∵AC⊥QN，OD⊥QN，OE⊥AC，∴四邊形ODCE為矩形，∴∠DOE＝90°，EC＝OD＝1m，OE＝DG．∴AE＝OA?sin72°≈1.5×0.95＝1.425（m），OE＝OA?cos72°≈1.5×0.3＝0.45（m）．∴AC＝AE+EC＝1+1.425＝2.425（m）＞貨車高度2.2m，∴DC＝OE＝0.45（m）．∴NC＝DC﹣DN＝0.25（m）．∵小區(qū)門口寬度為2.8m，∴點(diǎn)C距離大門口的墻壁的距離為2.8﹣0.25＝2.55（m）＞寬為2.2m，綜上，一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可順利通過門口．13．如圖，小明利用課余時(shí)間測(cè)量教學(xué)樓的高度．他在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為37°，他又向前走了4m，測(cè)得A點(diǎn)關(guān)于E點(diǎn)的仰角為45°．已知小胖身高為1.6m，求教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈【答案】教學(xué)樓AB的高度約為14m．【分析】如圖，延長(zhǎng)CE交AB于G，根據(jù)題意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD＝BG，設(shè)AG＝3xm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CE交AB于G，根據(jù)題意得，CD⊥BD，AB⊥BD，CE∥BD，∠AEG＝45°，∠ACG＝37°，CE＝4m，CD＝1.6m，∴∠CDB＝∠B＝∠CGB＝90°，∴四邊形CDBG為矩形，∴CD＝BG，設(shè)AG＝3xm，∴CG=AGtan∠ACG=4x∵∠AEG＝45°，∠CGA＝90°，∴△AGE為等腰直角三角形，∴GE＝AG＝3xm，∴x＝4m，3x＝12m，∴AB≈14m，答：教學(xué)樓AB的高度約為14m．14．如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在東北方向，20分鐘后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍25海里內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2（1）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？說明理由．【答案】（1）如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)，理由見解答；（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無(wú)觸礁危險(xiǎn)，理由見解答．【分析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)題意可得：∠CAD＝45°，∠CBD＝60°，AB＝10海里，然后設(shè)BD＝x海里，則AD＝（10+x）海里，從而分別在Rt△BDC和Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，最后列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)C作CE⊥BF，垂足為F，根據(jù)題意可得：∠ABE＝75°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，從而在Rt△CBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長(zhǎng)，比較即可解答．【解答】解：（1）如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)，理由：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝30×20設(shè)BD＝x海里，∴AD＝AB+BD＝（10+x）海里，在Rt△BDC中，CD＝BD?tan60°=3x在Rt△ACD中，CD＝AD?tan45°＝（10+x）海里，∴3x＝10+x，解得：x＝53+∴CD=3x＝15+53∵23.66海里＜25海里，∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（2）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無(wú)觸礁危險(xiǎn)，理由：過點(diǎn)C作CE⊥BF，垂足為F，由題意得：∠ABE＝∠CBD+15°＝75°，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BD＝（53+∴BC=BDcos60°=在Rt△CBE中，CE＝BC?sin75°≈（103+∵26.39112海里＞25海里，∴如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，無(wú)觸礁危險(xiǎn)．一．選擇題（共5小題）1．（2021?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A．3 B．23 C．1 D．2【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)D作DT⊥AB于T．證明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DT⊥AB于T．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB=ACcos30°=解法二：AD＝2DT由此處開始，可以證明∠DAB＝∠DBA＝30°，∴DA＝DB．∵DT⊥AB，∴AT＝TB，∴點(diǎn)O與點(diǎn)T重合，在Rt△ADT中用勾股定理得AT=3，再由垂徑定理可得AB＝2AT故選：B．2．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2A．58J B．159J C．1025J D．1732J【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025?32）≈159（故選：B．3．（2021?深圳）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即EF＝15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則CD的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°【答案】C【分析】先結(jié)合三角形外角的性質(zhì)與∠F的度數(shù)判定等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)證得DE＝EF，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED=CD∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，故選：C．4．（2023?廣州）如圖，海中有一小島A，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由西向東航行10nmile到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得小島A恰好在正北方向上，此時(shí)漁船與小島A的距離為（）nmile．A．1033 B．2033 【答案】D【分析】連接AC，根據(jù)題意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：連接AC，由題意得：AC⊥CB，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10海里，∴AC＝BC?tan60°＝103（海里），∴此時(shí)漁船與小島A的距離為103海里，故選：D．5．（2020?深圳）如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長(zhǎng)）可以表示為（）A．200tan70°米 B．200tan70°米C．200sin70°米 D．200sin70°【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長(zhǎng)，以及∠PQT的度數(shù)，進(jìn)而得到∠PTQ的度數(shù)，根