KS5U2024高考?jí)狠S卷-數(shù)學(xué)（文）（全國(guó)甲卷） 含解析

KS5U2024高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)（文科）全國(guó)甲卷答案1【KS5U答案】A【KS5U解析】因?yàn)?，所?故選：A2【KS5U答案】A【KS5U解析】，則，解得，則其虛部為.故選：A.3【KS5U答案】B【KS5U解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B4【KS5U答案】C【KS5U解析】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.5【KS5U答案】C【KS5U解析】設(shè)區(qū)間內(nèi)取到的數(shù)是，在內(nèi)取到的數(shù)為，則滿(mǎn)足，作出不等式組對(duì)應(yīng)你的平面區(qū)域，如圖所示，可得對(duì)應(yīng)的圖形的面積為，由兩數(shù)之和大于，即，設(shè)直線(xiàn)交于點(diǎn)，可得，則的面積為，所以五邊形的面積為，則兩數(shù)之和大于的概率為.故選：C.6【KS5U答案】C【KS5U解析】當(dāng)時(shí)，，令，即在區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)排除答案A、B、D，應(yīng)選答案C．7【KS5U答案】D【KS5U解析】如圖由題意可得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，所以，，所以.故選：D.8【KS5U答案】A【KS5U解析】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故命題為真命題；對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足，故命題為假命題．所以“”為真命題，“”為假命題，“”為假命題，“”為假命題．故選：A．9【KS5U答案】B【KS5U解析】由題意數(shù)列滿(mǎn)足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選：B10【KS5U答案】D【KS5U解析】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式，等價(jià)于，所以或.故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)于求值或范圍的問(wèn)題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題，若為偶函數(shù)，則．11【KS5U答案】C【KS5U解析】由題可知，，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏嫌星覂H有3個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為：．故選：C.12【KS5U答案】A【KS5U解析】由題意可得，即有為等腰三角形，設(shè)，則，所以即為，所以，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意得出為等腰三角形，在三角形中利用三角函數(shù)，建立關(guān)于的方程，是求出離心率的關(guān)鍵，屬于中檔題.13【KS5U答案】【KS5U解析】．故答案為：14【KS5U答案】【KS5U解析】由圓，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑為2．圓心到直線(xiàn)的距離，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，利用垂徑定理求弦長(zhǎng)．15【KS5U答案】【KS5U解析】因?yàn)?，可得，因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，所以有兩不等實(shí)根，則，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.16【KS5U答案】【KS5U解析】由，故該球半徑，設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則，，則有，化簡(jiǎn)得，，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有極大值，即該正四棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得出體積的表達(dá)式后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得最值.17．【KS5U答案】(1)表格見(jiàn)解析，“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無(wú)關(guān).(2)【分析】（1）由條件完成列聯(lián)表，根據(jù)公式代入計(jì)算可判斷結(jié)果；（2）先根據(jù)分層抽樣方法抽取，然后由概率公式計(jì)算即可.【KS5U解析】（1）2×2列聯(lián)表為：性別運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)欠佳男生20525女生403575合計(jì)6040100假設(shè)：運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況與性別無(wú)關(guān)..根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無(wú)關(guān).（2）已知“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的男生、女生分別有20人和40人，按分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則男生、女生分別抽到2人和4人，則選中2人中恰有一人是女生的概率為18【KS5U答案】.(1)(2)【KS5U解析】（1）因?yàn)镃點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)AD上，所以DB平分，所以，因?yàn)?，所以，BC=CD，所以‖，所以，因?yàn)椋?，所以，所以．?）因?yàn)樵谥?，由正弦定理?所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，．19【KS5U答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）依題意可得，即可得證；（2）由球的表面積求出球的半徑，由正四棱錐的性質(zhì)可知球心必在上，連接，利用勾股定理求出，即可求出，再由為中點(diǎn)得到到平面的距離為，最后由計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】依題意底面為正方形，、相交于，所以為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)球的半徑為，由球的表面積公式，解得（負(fù)值舍去），設(shè)球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，連接，則，，，則在，則，即，解得（負(fù)值舍去），則，所以，又為中點(diǎn)，平面且，所以到平面的距離為，所以.20【KS5U答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，在直線(xiàn)斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿(mǎn)足題意的點(diǎn)的位置.【KS5U解析】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€(xiàn)上，所以，故，于是的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為．將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線(xiàn)方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線(xiàn)系A(chǔ)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即．設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程用橢圓及直線(xiàn)可表示為（其中為系數(shù)）．用直線(xiàn)及點(diǎn)A處的切線(xiàn)可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線(xiàn)的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線(xiàn)的方程為．若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為．所以直線(xiàn)恒過(guò)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)恒過(guò)．綜上，直線(xiàn)恒過(guò)，所以．又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線(xiàn)段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線(xiàn)方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)題目條件可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過(guò)坐標(biāo)系平移，將原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線(xiàn)的方程為，再通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線(xiàn)，再利用過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過(guò)中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡(jiǎn)化了求解以及的計(jì)算．21【KS5U答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類(lèi)討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）將不等式變形為，令，對(duì)求導(dǎo)，再令，由的單調(diào)性判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性，求出的最大值即可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，，故方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別為，，且，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.22【KS5U答案】（1）（2）【分析】（1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式即可得解；（2）聯(lián)立直線(xiàn)參數(shù)方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，利用直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義即可得解.【小問(wèn)1詳解】將代入曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程中，得曲