高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第06講平面向量中的范圍與最值問(wèn)題(高階拓展)（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第06講平面向量中的范圍與最值問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）平面向量中的范圍與最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活?；绢}型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。由于數(shù)量積和系數(shù)的范圍在前兩節(jié)已學(xué)習(xí)，本講主要圍繞向量的模和夾角的范圍與最值展開學(xué)習(xí)。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。知識(shí)講解模長(zhǎng)的范圍及最值與向量的模有關(guān)的問(wèn)題,一般都會(huì)用到，結(jié)合平面向量及最值范圍等基本知識(shí)可求解。夾角的范圍及最值類別幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))結(jié)合平面向量的模長(zhǎng)、夾角公式及最值范圍等基本知識(shí)可求解?？键c(diǎn)一、模長(zhǎng)的范圍及最值問(wèn)題1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．2．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．3．（四川·高考真題）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的最大值是A． B． C． D．1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．12．（湖南·高考真題）已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．93．（四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．考點(diǎn)二、夾角的范圍及最值問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則與所成夾角的取值范圍是.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不共線向量，滿足，且，向量，的夾角為，若，則的最小值為．【能力提升】一、單選題1．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知和是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東濰坊·?？家荒＃┮阎矫嫦蛄繚M足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．5．（2021·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且，若>0，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·重慶·校聯(lián)考二模）已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．8．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┰谄矫鎯?nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．9．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)校考三模）在中，，D是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．12 B． C． D．10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．11．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，等于（

）A． B． C． D．12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谥校┮阎矫嫦蛄?、、滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題13．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為．14．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，E為邊BC中點(diǎn)，若，的外接圓半徑為3，則的最大值為.15．（2023·河南信陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是圓上的兩點(diǎn)，，記，，向量，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．16．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是．17．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為.18．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面內(nèi),定點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足則的最大值為.19．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）1955年10月29日新疆克拉瑪依1號(hào)油井出油，標(biāo)致著新中國(guó)第一個(gè)大油田的誕生，克拉瑪依大油泡是一號(hào)油井廣場(chǎng)上的標(biāo)志性建筑，成為市民與游客的打卡網(wǎng)紅地，形狀為橢球型，中心截面為橢圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，，則的最小值是.20．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┑妊苯堑男边叺亩它c(diǎn)分別在，的正半軸上移動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)在兩側(cè)），，若點(diǎn)為中點(diǎn)，則的取值范圍是.21．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為．22．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是23．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，則的最大值是.24．（2022·浙江金華·統(tǒng)考三模）已知平面向量，，滿足，當(dāng)取到最小值sh，對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值是．25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為.26．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知非零平面向量不共線，且滿足，記，當(dāng)?shù)膴A角取得最大值時(shí)，的值為．27．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為．28．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是.29．（2023·上海金山·上海市金山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，其中為單位向量，且滿足，若與夾角為，向量滿足，則最小值是.30．（2021·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為.31．（2022·浙江金華·浙江省義烏中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若對(duì)于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為.32．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為．33．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，則的最大值是.34．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知向量，，，若且，則的最小值是．35．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，是非零平面向量，，，，，則的最大值是.37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為．38．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，且的最小值為1（為實(shí)數(shù)），記，，則最大值為.三、雙空題39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，滿足，且，則；平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的最大值是．40．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足：，則，對(duì)于任意，向量與向量所成角的最小值為．

第06講平面向量中的范圍與最值問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）平面向量中的范圍與最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活?；绢}型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。由于數(shù)量積和系數(shù)的范圍在前兩節(jié)已學(xué)習(xí)，本講主要圍繞向量的模和夾角的范圍與最值展開學(xué)習(xí)。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。知識(shí)講解模長(zhǎng)的范圍及最值與向量的模有關(guān)的問(wèn)題,一般都會(huì)用到，結(jié)合平面向量及最值范圍等基本知識(shí)可求解。夾角的范圍及最值類別幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))結(jié)合平面向量的模長(zhǎng)、夾角公式及最值范圍等基本知識(shí)可求解?？键c(diǎn)一、模長(zhǎng)的范圍及最值問(wèn)題1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點(diǎn)的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．2．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，做出圖形可知，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時(shí)，取到最大值；最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時(shí)，取到最小值；最小值為.3．（四川·高考真題）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，，故選B．考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4 B．2 C． D．1【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所?.如圖所以，設(shè)，則,,.所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.不妨設(shè)為圓M，因?yàn)?所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當(dāng)為圓M的直徑時(shí)，取得最大值4.故選A.點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．2．（湖南·高考真題）已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】由題意，AC為直徑，所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為（-1，0）時(shí)，取得最大值7，故選B.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識(shí)知，圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的關(guān)鍵.3．（四川·高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B.【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來(lái)，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．考點(diǎn)二、夾角的范圍及最值問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，即可確定，的橫坐標(biāo)，設(shè)出坐標(biāo)由得到兩向量縱坐標(biāo)的關(guān)系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.【詳解】設(shè)，，，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可化簡(jiǎn)已知等式得到，，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合推導(dǎo)出的等式可化簡(jiǎn)得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.【詳解】，即，；，即，；設(shè)向量與所成夾角為，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；又，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量夾角最值的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式，將向量夾角的余弦值表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可得到夾角的最大值.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則【答案】【分析】方法一：記，，，由條件可得，由此確定點(diǎn)C的軌跡，則與的夾角為，證明當(dāng)C為過(guò)，兩點(diǎn)的圓與圓相外切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，最大，設(shè)圓的半徑為，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x，y軸建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)C的軌跡，則與的夾角為，證明當(dāng)C為過(guò)，兩點(diǎn)的圓與圓相外切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，最大，由求點(diǎn)E的坐標(biāo)，由此可求.【詳解】解：記，，，則，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．過(guò)，兩點(diǎn)的圓與圓相外切，記切點(diǎn)為，此時(shí)最大（如圖）．下證上述結(jié)論：取圓上不同于切點(diǎn)的點(diǎn)，因?yàn)樵趫A的外面，所以．下面求當(dāng)最大時(shí)，的值．記圓的半徑為，則．所以只需求出圓的半徑為即可．法一：如右圖，為弦的中點(diǎn)，在中，由余弦定理求得，，則．在中，，，，，由余弦定理得，．即．法二：如圖建系，，，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上．以為弦長(zhǎng)作圓，當(dāng)圓與圓外切時(shí)最大．圓心在弦的中垂線上，設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得，即或（舍去），此時(shí)，得．故答案為：.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數(shù)量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，，所以，，①，②又，③②與③聯(lián)立可得，④①④聯(lián)立可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，則，故與所成夾角的最大值是，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求平面向量夾角的方法：（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則與所成夾角的取值范圍是.【答案】【解析】令||＝|2|＝x，向量（）與（2）的夾角為θ，與的夾角為α，即可得到方程cos2α，化簡(jiǎn)為對(duì)勾函數(shù)的形式，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的值域求cos2α的范圍，從而可得α的最大值．【詳解】令||＝|2|＝x，向量（）與（2）的夾角為θ∈[0，π]，因?yàn)?（）﹣（2），所以（）?（）＝（）?[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|cosθ①，若與的夾角為α∈[0，π]，即（）?（）＝||||cosα②，所以由①②知，||cosα＝2||﹣|2|cosθ＝2x﹣xcosθ＝x（2﹣cosθ），所以cosα＞0，即||2cos2α＝4x2﹣4x2cosθ+x2cos2θ，又因?yàn)閨|2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2cosθ，所以cos2α，令m＝5﹣4cosθ，即cos2α，m∈[1，9]，有cos2α∈[，1]，又因?yàn)閏osα＞0，所以cosα∈[，1]，所以α的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義及向量加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化（）?（）＝（）?[2（）﹣（2）]求解3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不共線向量，滿足，且，向量，的夾角為，若，則的最小值為．【答案】【分析】先分別表示出和，然后代入，整理變形得，再結(jié)合求解的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，變形得：，兩邊平方整理得：，再兩邊平方整理得：，又因?yàn)椋?，故解得：．故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的模長(zhǎng)關(guān)系求向量夾角余弦值最值問(wèn)題，難度較大.解答時(shí)，將原式靈活變形是關(guān)鍵.【能力提升】一、單選題1．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知和是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)，，，畫出圖形，根據(jù)已知條件得到在以為直徑的圓上，再結(jié)合圖形求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，，因?yàn)椋?，?所以在以為直徑的圓上.設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)楹褪瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，.所以.故選：B2．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，取的中點(diǎn)，計(jì)算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，因?yàn)?，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B.3．（2023·山東濰坊·校考一模）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標(biāo)系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】令，，根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形將已知條件轉(zhuǎn)化，得到，然后數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】如圖:令，，則，故.因?yàn)椋?，記的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.設(shè)，連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線上.因?yàn)椋?，即，所?結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量中有關(guān)最值的求解思路：一是形化，利用向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題；二是數(shù)化，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題.5．（2021·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且，若>0，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法可得，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得，由可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)椋?，又點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，且，所以，即，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，求線段的長(zhǎng)度的范圍，關(guān)鍵在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決．6．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得在圓上，則，數(shù)形結(jié)合即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可得是圓心為半徑為1的圓，是圓心為半徑為1的圓，設(shè)中點(diǎn)為，，由垂徑定理得，在圓上，又，由圖可知，，的范圍為.故選：C7．（2022·重慶·校聯(lián)考二模）已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，可以表示出的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，即可用與表示出，即可求出答案.【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則

故當(dāng)時(shí)，有最大值為13故選：A.8．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┰谄矫鎯?nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===–2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B.【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來(lái)，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．9．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)校考三模）在中，，D是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．12 B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖分析，將的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值求解即可.【詳解】如圖：

取BC，BD中點(diǎn)E，G，可知，且，取BE的中點(diǎn)O，則G為圓O上一點(diǎn)，所以最大值為，故的最大值為12.故選：A.10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作，，，取的中點(diǎn)，連接，分析出為等邊三角形，可求得，計(jì)算得出，利用圓的幾何性質(zhì)求出面積的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示，作，，，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，，，，所以，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，所以，的底邊上的高為，，，所以，，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且為線段上的點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，的底邊上的高取最大值，即，則，因此，的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知圓心到直線的距離為，且圓的半徑為，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為.11．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時(shí)，等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算，由米勒最大角定理分析運(yùn)算可得結(jié)果，或者直接建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：與共線，點(diǎn)位于的等分點(diǎn)處(靠近點(diǎn))解法一：欲使最大，根據(jù)“米勒最大角定理”，此時(shí)以為弦圓與相切，根據(jù)切割弦定理：,故.解法二：設(shè)，則，有=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故選:A12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)校考期中）已知平面向量、、滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式，兩邊平方得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而得到，再利用模長(zhǎng)公式將轉(zhuǎn)化為，再利用不等式即可得解.【詳解】由，兩邊平方得又，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即.由，知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵先利用對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求得，再利用求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.二、填空題13．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為．【答案】/2.5【分析】由，可求得，再求解，結(jié)合向量模長(zhǎng)的三角不等式，即得解.【詳解】由題意，，又，故，故，由向量模長(zhǎng)的三角不等式，，即，解得：，則的最大值為.故答案為：14．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，E為邊BC中點(diǎn)，若，的外接圓半徑為3，則的最大值為.【答案】104【分析】首先根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得到，根據(jù)的外接圓半徑為3，得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示：，，因?yàn)椋?因?yàn)榈耐饨訄A半徑為3，所以，當(dāng)且僅當(dāng)AE為圓直徑時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)AE為圓直徑時(shí)等號(hào)成立.故答案為：15．（2023·河南信陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是圓上的兩點(diǎn)，，記，，向量，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【分析】利用余弦定理可求得，設(shè)，根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義可求得，結(jié)合余弦定理可得，由此可得結(jié)果.【詳解】，，由圓的方程知：圓的半徑，．設(shè)，則，為線段的中垂線，，，即，；，，解得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量中的最值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何關(guān)系，利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義，結(jié)合圖形關(guān)系和已知不等關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線段長(zhǎng)度最值的問(wèn)題.16．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是．【答案】/【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件確定確定點(diǎn)C在以(1,2)為圓心，1為半徑的圓上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，可求得答案.【詳解】由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以Q(1,2)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：17．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，，，，，則點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，，所以點(diǎn)在射線上，所以，作點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱的點(diǎn)，則，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）所以的最小值為，故答案為：.18．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面內(nèi),定點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足則的最大值為.【答案】【分析】由，可得為的外心，又可得為的垂心，則為的中心，即為正三角形．運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得的邊長(zhǎng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，再設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．【詳解】解:由，可得為的外心，又可得，即，即有，可得為的垂心，則為的中心，即為正三角形，由即有，解得，的邊長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得，由，可設(shè)，由，可得為中點(diǎn)，即有，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的最值的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）1955年10月29日新疆克拉瑪依1號(hào)油井出油，標(biāo)致著新中國(guó)第一個(gè)大油田的誕生，克拉瑪依大油泡是一號(hào)油井廣場(chǎng)上的標(biāo)志性建筑，成為市民與游客的打卡網(wǎng)紅地，形狀為橢球型，中心截面為橢圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，，則的最小值是.【答案】【分析】先根據(jù)得到點(diǎn)M的軌跡方程，利用和幾何意義要想使最小，只需最小，設(shè)出，用兩點(diǎn)間距離公式得到，根據(jù)求出，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)M的軌跡為以A為圓心，半徑為1的圓，因?yàn)?，所以，要想使最小，只需最小，設(shè)，，則，其中，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，，此時(shí).故答案為：20．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┑妊苯堑男边叺亩它c(diǎn)分別在，的正半軸上移動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)在兩側(cè)），，若點(diǎn)為中點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，用的正余弦表示出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，結(jié)合向量模的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】如圖，設(shè)，則，線段中點(diǎn)，，，則有，，，由得，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及圖形上的點(diǎn)變化引起的線段長(zhǎng)度、圖形面積等問(wèn)題，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.21．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量減法的模的幾何意義求得最小值.【詳解】如圖，設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，過(guò)B作，即取得最小值為，因?yàn)榕c的夾角為，所以，所以．故答案為：22．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是【答案】【分析】由向量的運(yùn)算，數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：如圖，，，則，，已知，即，所以，取BD的中點(diǎn)O，則有，而，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知?jiǎng)t，所以，當(dāng)A，O，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，記向量的夾角為，則，同理，由，可得，則，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用三角形的三邊關(guān)系得到不等式，進(jìn)而利用數(shù)量積求模長(zhǎng).23．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，則的最大值是.【答案】/【分析】分析題目條件，利用向量的數(shù)量積結(jié)合幾何性質(zhì)解題【詳解】由題，令，則,因?yàn)?，令，根?jù)幾何性質(zhì)，點(diǎn)B在以為圓心，1為半徑的圓上，，又因?yàn)?，利用?shù)量積公式展開可得，所以點(diǎn)C的軌跡為以或?yàn)閳A心，半徑為1的圓，所以C的橫坐標(biāo)的最大值為，，即為在上的投影，最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系.24．（2022·浙江金華·統(tǒng)考三模）已知平面向量，，滿足，當(dāng)取到最小值sh，對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值是．【答案】/【分析】構(gòu)造單位圓，設(shè)出向量，，，由題設(shè)得到CA、CB是圓O的兩條切線，，從而由當(dāng)取到最小值時(shí)，求得，結(jié)合表示的是以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)為單位圓O的兩條半徑，記，，，設(shè)，由題意，可知CA、CB是圓O的兩條切線，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，此時(shí)，因?yàn)楸硎镜氖且設(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，故當(dāng)該向量垂直于向量時(shí)，其模最小，記，則，則，故答案為：25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為.【答案】【分析】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，由題意，計(jì)算，，判斷出點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓，利用向量基底表示，將轉(zhuǎn)化為，然后轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值進(jìn)而求解最小值.【詳解】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，連接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理?又由，得，即，所以點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、F共線，且點(diǎn)C在點(diǎn)E、F之間時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)平面向量的幾何表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值從而根據(jù)幾何知識(shí)得解.26．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知非零平面向量不共線，且滿足，記，當(dāng)?shù)膴A角取得最大值時(shí)，的值為．【答案】4【分析】先建系，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)及基本不等式的應(yīng)用求出向量，進(jìn)而通過(guò)運(yùn)算求得的值.【詳解】由非零平面向量不共線，且滿足，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，則，由，則，則直線的斜率分別為，由兩直線的夾角公式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則，所以，故填：4.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及基本不等式求最值的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，在使用基本不等式時(shí)，注意等號(hào)成立的條件.27．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為．【答案】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得，在坐標(biāo)系中，，將按向量平移至，根據(jù)軌跡為直線，將問(wèn)題化為最小，數(shù)形結(jié)合法求原點(diǎn)到直線距離即可得結(jié)果.【詳解】由，又向量與互相平行，所以，故，令，，則，所以，將按向量平移至，所以是直線上的動(dòng)點(diǎn)，如下圖示，所以，故，由圖知：要使最小，只需三點(diǎn)共線且到直線距離最短，故最小值為原點(diǎn)到直線的距離，最小值為，此時(shí)題設(shè)中的x=2，y=1.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到的，并將其平移至使，即有，問(wèn)題化為求點(diǎn)到直線距離.28．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是.【答案】【分析】畫出圖形，表示出，，從而確定，利用正弦定理得到，結(jié)合，求出的取值范圍.【詳解】設(shè)，，如圖所示，則，因?yàn)榕c的夾角為，所以，因?yàn)?，所以由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以故答案為?29．（2023·上海金山·上海市金山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，其中為單位向量，且滿足，若與夾角為，向量滿足，則最小值是.【答案】/【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，，，利用題設(shè)可確定向量對(duì)應(yīng)的軌跡以及向量對(duì)應(yīng)的軌跡，將的最小值轉(zhuǎn)化為兩軌跡上的點(diǎn)之間的距離的最小值，數(shù)形結(jié)合，求解答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，，因?yàn)榕c夾角為，所以，整理得，即向量對(duì)應(yīng)的軌跡為射線或，因?yàn)橄蛄繚M足，所以，即向量對(duì)應(yīng)的軌跡為拋物線：，則即為上的點(diǎn)與射線或上的點(diǎn)之間的距離，如圖，當(dāng)最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上，設(shè)直線，由圖可知，當(dāng)直線與相切時(shí)，切點(diǎn)設(shè)為A，此時(shí)最小，聯(lián)立方程，得，由得，則，解得，故，則A到射線的距離為,所以的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題求解的最小值，關(guān)鍵在于確定向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的軌跡方程，將的最小值轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)之間距離的最小值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，可求解答案.30．（2021·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，可得共線，又，當(dāng)為最小時(shí)最小，而此時(shí)、關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合已知即可求的最小值.【詳解】由題意，，∴令，，故有共線，∵，故當(dāng)且僅當(dāng)為最小時(shí)，最小，∴有、關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，最小，此時(shí)到AB的距離為，∴，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知，、、的終點(diǎn)共線，且可分析得、關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，最小，進(jìn)而求最小值即可.31．（2022·浙江金華·浙江省義烏中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若對(duì)于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為.【答案】/【分析】設(shè)出向量，根據(jù)題干條件得到關(guān)于的不等式問(wèn)題，由根的判別式得到不等關(guān)系，求出，從而求出的模的最大值.【詳解】設(shè)，，滿足，即滿足①，都存在，使得恒成立，即存在，使得②，由①②可知：存在，使得成立即，即，化簡(jiǎn)得：③，即③式恒成立，則必須滿足，解得：，即，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】有關(guān)于向量模長(zhǎng)的取值問(wèn)題或最值問(wèn)題，坐標(biāo)化處理是一種重要方法和思路，結(jié)合題目特征，合理設(shè)出向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，二次函數(shù)根的分布或基本不等式，導(dǎo)函數(shù)等進(jìn)行求解.32．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，由的最小值求得向量與的夾角，判斷出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡，從而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，則，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即，所以.如圖所示，設(shè)，三角形是等邊三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓的半徑為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，即的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題解題難點(diǎn)有兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是的最小值的用法，有關(guān)向量模的試題，可以考慮利用平方再開方的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算來(lái)求解.第二點(diǎn)是的用法，轉(zhuǎn)化為向量垂直、軌跡為圓來(lái)配合解題.33．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，則的最大值是.【答案】【分析】先得到，然后假設(shè)坐標(biāo)，得到的終點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，同時(shí)得到的終點(diǎn)的軌跡方程，最后使用參數(shù)方程進(jìn)行求解，計(jì)算即可.【詳解】由，又，所以可知又，所以設(shè)的終點(diǎn)為，的終點(diǎn)為，其中由①，設(shè)，則，所以，②將②代入①并化簡(jiǎn)可得令設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)求解并得到的終點(diǎn)軌跡方程是關(guān)鍵.34．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知向量，，，若且，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)條件可設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問(wèn)題求解.【詳解】，，