2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章三角函數(shù)知識點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)題型歸納總結(jié)

第五章三角函數(shù)

5.1任意角與弧度制..........................................................1

5.1.1角的概念的推廣....................................................1

5.1.2弧度制............................................................6

5.2任意角的三角函數(shù)......................................................10

5.2.1任意角三角函數(shù)的定義.............................................10

第一課時(shí)用比值定義三角函數(shù)......................................10

第二課時(shí)用有向線段表示三角函數(shù)..................................14

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系..........................................17

5.2.3誘導(dǎo)公式.........................................................22

第一課時(shí)誘導(dǎo)公式一至四..........................................22

第二課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六..........................................25

5.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)..................................................28

5.3.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)..................................28

第一課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象................................28

第二課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)................................32

5.3.2正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................39

5.4函數(shù)y=Asin（3x+@）的圖象與性質(zhì)........................................42

第一課時(shí)函數(shù)y=Asini：3x+（p）的圖象及變換..............................42

第二課時(shí)函數(shù)y=4sinOx+⑼圖象與性質(zhì)的應(yīng)用（習(xí)題課）..................46

5.5三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用................................................50

5.1任意角與弧度制

5.1.1角的概念的推廣

知識點(diǎn)一任意角的概念

1.角的概念

角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著其端點(diǎn)從初始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置時(shí)所

形成的圖形.

2.角的分類

名稱定義圖形

一條射線繞著端點(diǎn)以邈出方向旋轉(zhuǎn)所形成

正角

的角O^-------------A

負(fù)用以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角

零角沒有作任何旋轉(zhuǎn)所形成的角A?

3.角的加法

(1)若兩角的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱。=￡；

(2)設(shè)a,￡是任意兩個(gè)角，把角。的終邊旋轉(zhuǎn)角夕，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是

a+6;

(3)相反角：把射線0A繞端點(diǎn)。按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做

互為相反角,角a的相反角記為一。,a—6=a+(—6).

。想一想1

當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？

提示：不是的.雖然始邊、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小(旋轉(zhuǎn)

圈數(shù))并沒有確定，所以角也就不能確定.

知識點(diǎn)二象限角與終邊相同的角

1.象限角

在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與工軸的非負(fù)半軸

重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在

坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

2.各象限角的集合

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a|^360°<。<k?360°+90°,k^Z}

第二象限角似依360。+90°<o<k-360°+180。，k^Z]

第三象限角{#360。+180°<"%?360。+270。，ZWZ}

第四象限角{a|k360°+270°<。4?360°+360°,%￡Z}

3.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=1M=a+

k360。，0］,即任一與角?終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角

的和.

?點(diǎn)一點(diǎn)?

對集合S="W=a+k360°,%￡Z｝的理解

(1)角。為任意角，“k￡Z”不能省略；

(2火?360°與a中間要用“+”連接，女?360°-a可理解成k3用0+(—a)；

(3)相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有

無數(shù)個(gè)，它們相差360。的整數(shù)倍.

題型一

［例1］(多選)下列說法正確的是()

A.銳角都是第一象限角

B.第一象限角一定不是負(fù)角

C.小于180。的角是鈍角、直角或銳角

D.在9(TW￡V180。范圍內(nèi)的角￡不一定是鈍角

［解析］銳角是大于0。且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，

所以A正確；

一350。角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以B錯(cuò)誤；

0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以C錯(cuò)誤；

由于在90°W￡V180°范圍內(nèi)的角夕包含90。角，所以不一定是鈍南，所以D

正確.

［答案］AD

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵

關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角

的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小,另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷

結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需要舉一個(gè)反例即可.

題型二終邊相同的角的表示

［例2］己知角a=2021。.

(1)把。改寫成2?360。+伙k￡Z,(TW萬〈360。)的形式，并指出它是第幾象限

角;

(2)求仇使。與a終邊相同，且一360°W夕＜360°；

(3)求與a終邊相同的最大負(fù)角與最小正角.

［解］(1)由2021°除以360。，得商為5,余數(shù)為221°,???取k=5,￡=221°,

則a=5X360°+221°.又￡=221°是第三象限角，a為第三象限角.

(2)與2021°角終邊相同的角為k360°+2021°,2WZ.令一360°Wk?3600+2

021°<360°,kGZ,??/可取一6,-5,將2的值代入&SGOO+Z021°中，得南。

為一139°,221°.

(3)由(2)知，與a終邊相同的最大負(fù)角是一139°,最小正甬是221°.

終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論

(1)終邊相同的角之間相差360。的整數(shù)倍;

(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍;

(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90。的整數(shù)倍.

象限角的判定

［例3］⑴侈選)在①160。；②480。；③一960。；④153CT這四個(gè)角中,是第

二象限角的是()

A.①B.②

C.③D.④

［解析1第二象限角Q需滿足k360°+90°VaVZ-360°+180°,k《Z,分析

可知:①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故

選A、B、C.

［答案］ABC

(2)已知a是第二象限角，求角三所在的象限.

［解］???。是第二象限角，

：.k-360°+90°<a<k-360°+180°(X：eZ).

?360°+45°<y<1-360°+90°(%￡Z).

當(dāng)女為偶數(shù)時(shí)，令左=2〃("￡Z),得

n?360°4-45°<y</?*3600+90°,

這表明￡■是第一象限角；

當(dāng)火為奇數(shù)時(shí)，令&=2〃+l(〃￡Z),得

n?360°4-225°<y<7i?360°+270°,

這表明■^是第三象限角.

??1為第一或第三象限角.

［母題探究］

1.(變設(shè)問)在本例⑵的條件下，求角2a的終邊的位置.

解：,?七是第二象限角，

：.k-360°+90°<a<k-360°+180°/&Z).

：.k-720°+180°<2a<k?7200+360°(2￡Z).

???角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

2.(變條件)若將本例(2)中的“第二象限”改為“第一象限”，如何求解？

解：??“360°<a<k-3600+90°(A￡Z),

：.k^180°<y<^>180°+45°a^Z).

當(dāng)女=2〃(〃金Z)時(shí),n-3600<y<n-3600+45°,

...j■是第一象限角.

當(dāng)Z=2〃+1(〃￡Z)時(shí)，

n?360o+180°<y<n?360°+225°,

???￡是第三象限角.

???￡■是第一或第三象限角.

1.給定一個(gè)角判斷它是第幾象限角的思路

判斷角a是第幾象限角的常用方法為將a寫成4+攵-360°(其中k^Z,。在

0。?360。范圍內(nèi))的形式，觀察角B的終邊所在的象限即可.

2.分角、倍角所在象限的判定思路

(1)求解的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確

定解題方略；

(2)由a的象限確定2a的象限時(shí)，應(yīng)注意2a可能不再是象限角，對此特殊

情況應(yīng)特別指出.如a=135。，而2。=270。就不再是象限角.

5.1.2弧度制

知識點(diǎn)一度量角的兩種制度

角定義用“度”作為單位來度量角的單位制

度1度

1度的角等于周角的忐，記作1°

制的角

弧定義以“弧度”為單位來度量角的單位制

度1弧度把長度等于生徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧

制的角度的角.1弧度記作1rad（rad可省略不寫）

?點(diǎn)一點(diǎn)?

1.用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”或“rad”可以略去不寫，只寫這

個(gè)角對應(yīng)的瓠度數(shù)即可.

2.不管是以弧度還是以度為單位度量角的大小，都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)

的定值.

知識點(diǎn)二角度制與弧度制的換算

1.弧度數(shù)的計(jì)算

正角的一度數(shù)是一個(gè)—〕

I一度數(shù)）--［負(fù)角的弧度數(shù)是?個(gè)—〕

-［零角的弧度數(shù)是。］

2.弧度與角度的換算

。想一想

1.一個(gè)角的度數(shù)是否對應(yīng)一個(gè)弧度數(shù)？

提示：是.一個(gè)給定的角，其度數(shù)和弧度數(shù)都是唯一確定的.

2.在大小不同的圓中，長度為1的弧所對的圓心角相等嗎？

提示：不相等.這是因?yàn)殚L度為1的弧是指弧的長度為1,在大小不同的圓

中，由于半徑不同，所以圓心角也不同.

知識點(diǎn)三扇形的弧長和面積公式

設(shè)扇形的半徑為R,弧長為/,。（0"<2兀）為其圓心角，則

(1)弧長公式：l=aR；

(2)扇形面積公式：5=/尺=,aR2,

?點(diǎn)一點(diǎn)?

在應(yīng)用弧長公式、扇形面積公式時(shí)，要注意a的單位是“弧度”，而不是

“度”，若已知角是以“度”為單位的，則應(yīng)先化成“弧度”，再代入計(jì)算.

角度與弧度的換算

［例1］將下列角度與弧度進(jìn)行互化：

5117Ji

(1)—n；(2)—F；(3)10°；(4)-855°.

［解］(1居

n=-X1800=153300.

XI80°=-105°.

⑶10。=10乂旃=京

-n19n

(4)-8550=-855X—=

角度制與弧度制的互化原則和方法

(1)原則：牢記180°=五rad,充分利用1°=念rad和1rad=pf"|。進(jìn)行換

1OW1兒，

(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為角度數(shù)為則arad=a?—°；n°

［注意］用“弧度”為單&度量角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少n的形式，如

無特別要求，不必把ri寫成小數(shù).

用弧度制表示角的集合

［例2］把下列角化成2Z)i+Q(0WaV2n,ZWZ)的形式，指出它是第幾象

限角并寫出與a終邊相同的角的集合.

(1)3

［解1(1)—上胃=-8X2TT+乎，它是第二象限角，與乎終邊相同的角的

［2n1

集合為［aa=2Zn+q-,々￡Zj.

7n

(2)-1485°=-5X360°+315°=-10n+—,

它是第四象限角，與弓■終邊相同的角的集合為|aa=2kn

弧度制下與角a終邊相同的角的表示

在孤度制下，與角a的終邊相同的角可以表示為｛夕舊=2女兀+Sk^Z］,即

與角。終邊相同的角可以表示成a加上2n的整數(shù)倍.

［注意］(1)注意角度與弧度不能混用;

(2)各終邊相同的角需加2Zn,k￡Z.

題型三”扇形的弧長公式及面積公式的應(yīng)用

［例3］若扇形的面積是4cm2,它的周長是10cm,則扇形圓心角(正角)的

弧度數(shù)為()

1n

A，22

C4

D.y

［解析］設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為a(0VaV2n),

5廠a=4,①

由題意，得

,2r+ra=10,②

由②得，一指

③

把③代入①，得2a2—170+8=0.

解得6(=］或a=8(舍去).

故扇形圓心角的弧度數(shù)為g.

［答案］A

關(guān)于弧度制下扇形問題的解決方法

⑴三個(gè)公式：@=；,S=qlr=,a/,要恰當(dāng)選擇公式，建立未知量、已知

量間的關(guān)系，通過解方程（組）求值；

（2）弧長、面積的最值：利用圓心角的弧度數(shù)、半徑表示出弧長（面積），利用

函數(shù)知識求最值，一般利用二次函數(shù)的最值求解.

5.2任意角的三角函數(shù)

5.2.1任意角三角函數(shù)的定義

第一課時(shí)用比值定義三角函數(shù)

知識點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，在角a的終邊0M上任取Mfr

_____P（即y）\

不同于原點(diǎn)。的點(diǎn)P,r=|OP|=yf+的,利用點(diǎn)尸的坐r：

標(biāo)定義sincosa="；tan。以上三個(gè)比值

分別稱為角a的正弦、余弦、正切.

對于任意的角a,sina,cos。都分別唯一對應(yīng)一個(gè)值；當(dāng)。工方+%冗（左￡2）

時(shí)，tan4也唯一對應(yīng)一個(gè)值，此時(shí)y=sina,y=cosy=tan。分別叫作

角a的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以上三種函數(shù)稱為三窗函數(shù).

?點(diǎn)一點(diǎn)?

對三角函數(shù)定義的再理解

(1)三角函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，符合函數(shù)的定義，是由角的集合(弧度數(shù))到一個(gè)比

值的集合的函數(shù)；

(2)三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)是一個(gè)比值，因此分母不能為零，所以正切函數(shù)的定義域

就是使分母不為零的角的集合.

。想一想I

對于確定的角。，請問三角函數(shù)的結(jié)果會隨點(diǎn)尸在a終邊上的位置的改變而

改變嗎？

提示：不會.三角函數(shù)也是函數(shù)，是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(坐

標(biāo)的比值)為函數(shù)值的函數(shù)：三角函數(shù)值只與角a的大小有關(guān)，即由角a的終邊

位置決定.

知識點(diǎn)二三角函數(shù)值的符號

如圖所示：

正弦：一二象限正,三四象限負(fù);

余弦：二B象限正，二三象限負(fù);

正切：二^象限正，二四象限負(fù).

簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

［例1］(1)已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4a,3a)(aW0),求sina,cosa,tan

a的值;

⑵己知角。的終邊落在直線小x+y=0上，求sina,cosa,tan。的值.

［解］(l)r=((-4〃)？+(3〃)2=5⑷.

若〃>0,則，，=5〃，故sin4=；=|^=］，cosx-4a4y

a=-=——=—7,tana==

r5a5'x

343

若。<0,則r=—5a同理可得sina=一予cosa=T,tan4=一不

(2)直線?§x+y=O,即》=一小.則直線通過第二和第四象限.

①在第二象限內(nèi)取直線上的點(diǎn)(一1,5

則r=7(-1)2+(#)2=2,

?

所以sina=2fcosa=~ytanQ=一小.

②在第四象限內(nèi)取直線上的點(diǎn)(1,一木),則r3T2+(一小)2=2,

巧]

所以sina=—^-fcos。tana=一小.

利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)有以下幾種情況：

(1)若已知角。終邊上一點(diǎn)P(x,y)是單位圓上的點(diǎn)(有時(shí)此點(diǎn)的坐標(biāo)需求出),

則sina=ytcosa=x9tana=%W0)；

(2)若已知角。終邊上一點(diǎn)P(x,y)不是單位圓上的點(diǎn)，則首先求r=對子,

yxy

則sincosa=",tana=；(xW0);

(3)終邊在已知直線(射線)上，可以在直線(射線)上取兩個(gè)(一個(gè))點(diǎn)，再利用定

義求解；

(4)參數(shù)問題：若點(diǎn)的坐標(biāo)、角的三角函數(shù)值中含有字母，則需要注意字母是

否需要分類討論.

題型二

[例2]⑴若角0同時(shí)滿足sin夕<0且tan8<0,則角0的終邊一定位于

)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)填空sin285°?cos(-105°)0(填“V”或“

[解析1(1)由sin6<0,可知。的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與

y軸的負(fù)半軸重合.由tan8<0,可知夕的終邊可能位于第二象限或第四象限，

故夕的終邊只能位于第四象限.

(2)因?yàn)?85°是第四象限角，所以sin285°<0.因?yàn)橐?05°是第三象限角，所以

cos(—105°)<0.所以sin285°?cos(—105°)>0.

［答案］(1)D(2)>

正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律

［1503］求函數(shù)段尸國春F的定義域.

"sinx2O,

cosx>0,

［解］要使/U)有意義，則，tan#O,

n

x手女n+了，kGZ,

+n,keZ,

nn

所以《2ATT—E<XV2GTI+5，kGZ,

n

x=^knI-y,x*An,kUZ.

解得2%nVxV2女n+5,k^Z.

所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2火nVxV2Zn+￡,kGZ.

求三角函數(shù)定義域的方法

(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過

解不等式或不等式組求得.對于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身

定義域的限制；

(2)要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí)，可以取

特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集.

第二課時(shí)用有向線段表示三角函數(shù)

知識點(diǎn)有向線段與三角函數(shù)線

I.有向線段的概念

規(guī)定了方向（即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)）的線段稱為有向線段.

規(guī)定：以坐標(biāo)軸的方向?yàn)橛邢蚓€段的正方向.

2.三角函數(shù)線

有向線段以，Q2,也分別叫作角a的正弦線、余弦線和正切線.

其中有向線段。尸，OD,AT的方向和K度分別代表了sina,cosa,tana

的符號和絕對值、正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.

??＞點(diǎn)一點(diǎn)?

1.三條有向線段與工軸或y軸正方向同向的為正向線段，為正值；與x軸或

y軸負(fù)方向同向的為負(fù)向線段，為負(fù)值.

2.單位圓中的三角函數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的有效工具，借助它，不但可以解決

比較大小、解三角方程、解三角不等式等問題，而且可以直觀地研究同角三角函

數(shù)間的基本關(guān)系.

題型一三角函數(shù)線的作法

［例1］作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：

5n

(1)70°;(2)-110°;0)—.

［ft?］(1)如圖①，有向線段MP為70°角的正弦線，有向線段OM為70°角的

余弦線，有向線段A7為70°角的正切線.

(2)如圖②，有向線段MP為一110°角的正弦線，有向線段OM為一110°角的

余弦線，有向線段AT為一110。角的正切線.

(3)在平面直角坐標(biāo)系中作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓，如圖)

③所示，以x軸的正半軸為始邊作斗的終邊，與單位圓交于點(diǎn)P,\5

作PM_Lx軸于點(diǎn)M,過單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)4作工軸的

Hi(3?

垂線，與。尸的反向延長線交于點(diǎn)r,則有向線段MP,OM,AT分別為牛角的

正弦線、余弦線、正切線.

三角函數(shù)線的作法

(D作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)

作X軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線；

(2)作正切線時(shí)，應(yīng)從A(l,0)點(diǎn)引單位圓的切線交角的終邊于一點(diǎn)T,即可

得到正切線AT,要特別注意，當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時(shí)，應(yīng)將角的終邊

反向延長，再按上述作法來作正切線.

題型二三角函數(shù)線的應(yīng)用

角度一利用三角函數(shù)線比較大小

［例2］利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小:

2n4冗廠、2n4n

①sin?一與sin有一；②tan飛一與tan;一.

［解1如圖所示，角乎的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,其反向延長線與單位圓

的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T,作軸，垂足為M,則sin^~=MP,tan

4n

=AT;角行-的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,其反向延長線與單位圓的過點(diǎn)4的切

4n4n

線的交點(diǎn)為『，作P'M'_Lx軸，垂足為M，,則sin—Pl,tan—=Ar,

由圖可知，PfI,且MP與M'P'都與y軸正方向相同，所以

①sin竽Asin手:|A71>|AT'且4T與AF都與y軸正方向相反，所以②tan竽

4n

角度二利用三角函數(shù)線解不等式

［例引在單位圓中畫出適合下列條件的角。的終邊的范圍，并由此寫出角a

的集合：

（l）sina2;⑵cos。忘一

［解］（1）作直線y=5-交單位圓于A,B兩點(diǎn)、,連接。4,OB,則Q4與03

圍成的區(qū)域（圖①陰影部分）即為角a的終邊的范圍，故滿足條件的南口的集合為

n2n

2knaW2ZTT左￡Zj.

圖①圖②

（2）作直線x=一;交單位圓于C,。兩點(diǎn)，連接OC,OD,則0C與OO圍成

的區(qū)域（圖②中陰影部分）即為角a終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為

2n4nI

a2&n+-^-WaW2及nRCZj.

角度三利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域

［例4］求函數(shù)段）=同1—2cosx+ln（sinx—乎）的定義域.

［解］由題意，得自變量x應(yīng)滿足不等式組

」一2cosx，0,cos

J-乎>0,即.也

I2[sinx>2?

則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，

,n3n1

即定義域?yàn)椴?&n+g_Wx<2火n+7",%￡Zj.

i.利用三角函數(shù)線比較大小的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

⑴三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出

三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值；

(2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向.

2.利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法

對于sinx2。，cos丁2a(sin%W力,cosx^a),求解關(guān)

正弦、余弦型不等式的解鍵是尋求恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，只需作直線y=b或x=a與單位

法圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，

此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍

對于tanx>c,取點(diǎn)(1,c)連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長，

正切型不等式的解法即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范

困

3.利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域

解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時(shí)角a的三角函數(shù)線,

然后運(yùn)用運(yùn)動的觀點(diǎn)，找出符合條件的角的范圍.在這個(gè)解題過程中實(shí)現(xiàn)了一個(gè)

轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

知識點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

關(guān)系式文字表述

平方sin2a+cos2a=

同一個(gè)角。的正弦、余弦的平方和等于1

關(guān)系1

商數(shù)sina同一個(gè)角。的正弦、余弦的商等于角a的

—tana

關(guān)系cos。正切

?點(diǎn)一點(diǎn)?

基本關(guān)系式的變形公式

sin2a=1—cos2a,

sin2a4-cos2a=1=>cos2a=1—sin2a,

(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

sina=tan^cosa,

sina

tana=--------0sina

cosacosa=-------

tana

利用同角基本關(guān)系式求值

角度一已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值

[1501](鏈接數(shù)科書第164頁例5、例6)(1)己知sin。，求cosa,tana

的值;

(2)已知\

tana=2,求cos。的值.

[解](l)：sina=1>0,.二。是第一或第二象限角.

T2^6sina

當(dāng)a為第一象限角時(shí),cosa~a,tanCt=

25.5cosa

=必

12,

當(dāng)a為第二象限角時(shí)，cosa=-2爭，tan。=一杏?

sina

=2①

(2)由已知得cosa

sin2a+cos2a=l,②

由①得sina=2cosa代入②得4cos2a+cos2a=l,

、1（3n1

Acos-a=^,又cc￡（n,,Acosa<0,

.」_亞

??cosQ——§.

求三角函數(shù)值的方法

⑴已知sin。（或cosJ）求tan。常用以下方法求解:

⑵已知tan。求sin。（或cos。）常用以下方法求解:

［注意］當(dāng)角。的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號問題而

對角。分區(qū)間（象限）討論.

角度二已知tana的值，求關(guān)于sina,cos。齊次式的值

［例2］己知tan。=2.

」、sina—3cosa

（1）^R———T-------的值;

smo+cosa

⑵求2sin2a—sin^cosa+cos2a的值.

［解］⑴法一（代入法）：VtanQ=2,

sina

--------=2,/.sina=2cosa.

cosa

.sina-3cosa2cosq-3cosa1

**sina+cosa2cosa+cosa3'

法二（弦化切）：Vtana=2.

sina

-3

.sina-3cosacosa'tana-32-3j_

??sina+cosasina.tana+12+13'

-------------4-1

cosa

(2)2sin2a-sinacosa-Feos2a

2sin2a-sinacosa+coCa

sin2a+cos2a

2lan%—tana+12X4-2+17

tan2a+14+15,

已知角a的正切求關(guān)于sina,cos。的齊次式的方法

(1)關(guān)于sina,cos。的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sina,cosa

的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為〃次，將分子、分母同除以cos。的〃次嘉,

其式子可化為關(guān)于tan。的式子，再代入求值;

(2)若無分母時(shí)，把分母看作1,并將1用siMo+cos?。來代換，將分子、分

母同除以cos?。，可化為關(guān)于tan。的式子，再代入求值.

題型二sinaicos。與sinacosQ關(guān)系的應(yīng)用

［例3］(鏈接教科書第164頁例8)己知sina+cosa=—y0<a<n.

⑴求sinacos。的值;

⑵求sina—cosa的值.

［解］(1)由sina+cos。=-g得(sina+cosa)2=1,

sin2a+2sinacosa+cos2a=^,sinacosa=—

(2)因?yàn)镺VaVn,sinacosa<0,

所以sina>0,cosa<0=>sina_cosa>0.

17

(sina-cosa)2=1-2sinacosa=豆,

所以sina—cosa

sina+cosa,sina—cosa,sinacos。三個(gè)式子中，已知其中一個(gè),

可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin。土cos4)2=

l±2sinacosa.

［注意］求sina+cosa或sina—cosa的值，要注意根據(jù)角的終邊位

置，利用三角函數(shù)線判斷它們的符號.

題型三利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡與證明

角度一三角函數(shù)式的化簡

sinasina

［例4］化簡

1+sina1—sina

sinasina

〔］1+sina1—sina

sina(1-sina)—sina(1+sina)

(1+sina)(I—sina)

-2sin2a_2sin2a,

\~2=?=—2tan，ct.

1-sinzacosa

三角函數(shù)式的化簡技巧

(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到

化繁為簡的目的；

(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到

化簡的目的；

(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sidt+cos?

。=1,以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.

角度二三角恒等式的證明

4十l+2sinacos。tan。+1

［例/T15］(鏈接教科書笫164頁例7)求證：—-------s—=;------------

□」''sin2a—cos2atano—\

sin?a+cos?Q+2sinacosa

［證明］法一:左邊=

sin2a-cos2a

(sina4-cosa)2sina4-cosatana+l-

=嬴-=右邊.

si?n2a—cos2a-sina-cosa

所以等式成立.

sina

1

cosasina+cosa

法二:右邊=而下

sina-cosa

cosa

(sina4-cosa)2

(sina-cosa)(sina+cosa)

l+2sinacosa

=左邊.

sin2a-cos2a

所以等式成立.

證明三角恒等式常用的方法

⑴從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡；

(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；

⑶化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對地變形，以消除差異;

(4)變更命題法，如要證明￡=宗可證ad=bc,或證"='等；

左邊

(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊—右邊=0"或“昔=1”.

5.2.3誘導(dǎo)公式

第一課時(shí)誘導(dǎo)公式一至四

知識點(diǎn)誘導(dǎo)公式一至四

1.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相笠.

公式一：sin(a+2-n)=sina,cos(a+2R兀)=cos。，tan(a+2Z:n)=tan

外其中kGZ.

公式二：sin(—a)="sing,cos(-a)=coso,tan(—a)=—tang.

公式三：sin(n+a)=-sin一a,cos(n+a)=-cos。,tan(叮+a)=tana.

公式四：sin(n—g)=sina,cos(n-a)=-cos。，tan(n—a)=-tana.

2.公式一至四的法則

2?！?（keZ）的三角函數(shù)值，等于角。的回笠函數(shù)值，前面添上一個(gè)把角。

看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.

記憶口訣：“函數(shù)名不變，符號看象限”.

?點(diǎn)一點(diǎn)?

誘導(dǎo)公式的作用

⑴絕對值大于2冗的角公式二（0,2元）范圍的角公絲至四（0,冗）范圍的角;

⑵負(fù)角公式三正角.

。想一想

誘導(dǎo)公式中角a必須是銳角嗎？

提示:誘導(dǎo)公式中角a可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求aWAn+3,

k《Z.

給角求值問題

［例I］求下列三角函數(shù)值：

17n仆03n,11H

(1)cos6；(2)tan(—855)；"Nan-^+sirr

6.

［解］(1)cos^n=cos(2n+5n5n

"6"=cos"6"

nn

=cos(n=_C0Sy=-2.

(2)tan(-855°)=一tan855°=—tan(2X3600+135°)

=-tan135°=一tan(l800-45°)=tan45°=1.

(3)原式=tan(n—高+sin(2n—

1

nn-

-62

t3a4

-

才

利用誘導(dǎo)公式解決給角求值問題的步驟

［例2］化簡:

cos(—a)tan(7n+?)

⑴sin(f~~

sin(1440°+ct)-cos(?~1080°)

(2)cos(-180°-a)-sin(-a-180°),

cos4tan(n+o)cosa?tana31na

(1)原式=

sinasinasina

=1.

sin(4X3600+a)?cos(3X360°-a)_sina?cos(—a)

cos(180°+a)-[—sin(180°+a)](—cosa)sina

cosa

1.

—cosa

利用誘導(dǎo)公式一?四化簡應(yīng)注意的問題

⑴利用誘導(dǎo)公式主要是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到統(tǒng)一角的目的；

(2)化簡時(shí)函數(shù)名沒有改變，但一定要注意函數(shù)的符號有沒有改變;

(3)同時(shí)有切(正切)與弦(正弦、余弦)的式子化簡，一般采用切化弦，有時(shí)也

將弦化切.

題型三給值(式)求值問題

［例3］已知cos修一ab坐，求cos作-+J的值?

3,

［母題探究］

1.（變設(shè)問）在木例條件下，求：

⑴cos'—今一）的值；（2）52（4—總的值.

2.（變條件）若將本例中條件“cos管一1=坐”

改為aa

“sin3，

e,如何求得?

2n7n，則。一點(diǎn)￡管，口）

解：因?yàn)閪f~6

?,(5n

所以cosl--+G)=~cos^—a^=-cos(a-總

1-9坐

1-sin2a—

解決條件求值問題的兩技巧

第二課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六

知識點(diǎn)誘導(dǎo)公式五、六

公式五：sin^jy-=cos^g

5+a=-sina.

JI

歸納了土。的正弦（余弦）函數(shù)值，等于角a的余弦（正弦）函數(shù)值,前面添上一

個(gè)把角a看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.

記憶口訣：“函數(shù)名改變，符號看象限”或“正變余，余變正，符號象限定”.

碓f)

sinry+a

cosa1/冗，)

公式六：tan———=；----二，tank+a=

cos侍-a)sincitana12)cosg+；

cosaIn

嬴二“‘女人且儀"火兀+彳（火￡Z）.

-sina

利用誘導(dǎo)公式求值

sin(a-n)+cos(n-a)

[例1]⑴已知tana=3,求的值;

sin總-J+cosQ+a)

(2)已知sing_j=T,求cosf^+aj?sinl?"+a)的值.

…sin(a—n)+cos(n—a)

解a)—fnUfn)

sin(爹一aj+cos(爹

-sina-cosa-tanQ—1

cosa-sina1—tana

-3-1

1-3=2

fn,A(2n,

(2)cosl-^-4-aI?sinry+a

6

=cos

=sin信一J?sin停一JK

用誘導(dǎo)公式化簡求值的方法

（1）對于三角函數(shù)式的化簡求值問題，一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則，即先用

誘導(dǎo)公