高考數學大一輪復習核心考點精講精練(新高考專用)專題3.2函數的單調性與最值【原卷版+解析】

專題3.2函數的單調性與最值【核心素養(yǎng)】1.以常見函數為載體，考查函數的單調性，凸顯數學運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結合考查函數的單調性或求參數問題，凸顯分類討論思想的應用及數學運算的核心素養(yǎng)．3.與函數、不等式結合，考查單調性在求最值方面的應用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數的單調性1．增函數：若對于定義域內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有，那么就說函數在區(qū)間上是增函數；2．減函數：若對于定義域內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有，那么就說函數在區(qū)間上是減函數.3．單調區(qū)間的定義若函數y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，則稱函數y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做函數y＝f(x)的單調區(qū)間．4.【特別警示】（1）單調區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數，而只能寫成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數．（2）區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在單調問題，因此寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些點無意義時，單調區(qū)間就不包括這些點．知識點二知識點二函數的最值1.最大值：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數的最大值.2.最小值：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數的最小值.知識點三知識點三常用結論(1)函數f(x)與f(x)＋c(c為常數)具有相同的單調性．(2)k>0時，函數f(x)與kf(x)單調性相同；k<0時，函數f(x)與kf(x)單調性相反．(3)若f(x)恒為正值或恒為負值，則f(x)與具有相反的單調性．(4)若f(x)，g(x)都是增(減)函數，則當兩者都恒大于零時，f(x)·g(x)是增(減)函數；當兩者都恒小于零時，f(x)·g(x)是減(增)函數．(5)在公共定義域內，增＋增＝增，減＋減＝減，增－減＝增，減－增＝減．(6)復合函數y＝f[g(x)]的單調性判斷方法：“同增異減”．常考題型剖析常考題型剖析題型一：單調性的判定和證明【典例分析】例1-1.（2021·全國·高考真題）下列函數中是增函數的為（

）A． B． C． D．例1-2.（2023·河南·校聯考模擬預測）下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】掌握確定函數單調性(區(qū)間)的4種常用方法(1)定義法：一般步驟為設元→作差→變形→判斷符號→得出結論．其關鍵是作差變形，為了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關系及不等式的性質進行判斷．(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調性．（3）熟悉一些常見的基本初等函數的單調性.（4）導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性．【變式訓練】變式1-1.（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮抵?，在區(qū)間上是減函數的是（

）A． B． C． D．變式1-2.【多選題】（2021·全國高一課時練習）設函數f(x)在R上為增函數，則下列結論不一定正確的是（）A．y=在R上為減函數 B．y=|f(x)|在R上為增函數C．y=在R上為增函數 D．y=--f(x)在R上為減函數題型二：求函數的單調區(qū)間例2-1.函數f(x)=xA.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)例2-2.（2023·北京密云·統考三模）設函數.①當時，的單調遞增區(qū)間為___________；②若且，使得成立，則實數a的一個取值范圍________.【規(guī)律方法】確定函數的單調區(qū)間常見方法：1.利用基本初等函數的單調區(qū)間2.圖象法：對于基本初等函數及其函數的變形函數，可以作出函數圖象求出函數的單調區(qū)間.3.復合函數法：對于函數，可設內層函數為，外層函數為，可以利用復合函數法來進行求解，遵循“同增異減”，即內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相同，則函數在區(qū)間D上單調遞增；內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相反，則函數在區(qū)間D上單調遞減.4.導數法：不等式的解集與函數的定義域的交集即為函數的單調遞增區(qū)間，不等式的解集與函數的定義域的交集即為函數的單調遞減區(qū)間.【變式訓練】變式2-1.（2023·海南?？凇そy考模擬預測）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和變式2-2.函數y=logA(?∞,1)B(2,+∞)C(?∞,32題型三：利用單調性比較大小【典例分析】例3-1.（2023·全國·統考高考真題）已知函數．記，則（

）A． B． C． D．例3-2．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.一般地，比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數性質，轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數形結合的盡量用圖象法求解．2.先構造函數，確定函數的單調性，再比較函數值大?。咀兪接柧殹孔兪?-1.（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統考模擬預測）已知是函數的一個零點，若，則（

）A． B．C． D．變式3-2.（2023·新疆阿勒泰·統考三模）正數滿足，則a與大小關系為______．題型四：利用單調性確定參數取值范圍【典例分析】例4-1.（2023·全國·統考高考真題）設函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例4-2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.利用單調性求參數的范圍(或值)的方法（1）視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數；（2）需注意若函數在區(qū)間[a，b]上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的．（3）注意函數單調性呈現的三種方式：定義式、比值式（eq\f(fx2－fx1,x2－x1)）、x2－x1與f(x2)－f(x1)關系式.2.利用分離參數法；3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【變式訓練】變式4-1.若函數是上的增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．變式4-2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數，對都有成立，則實數的取值范圍是________________.題型五：利用函數的單調性解決不等式問題【典例分析】例5-1.（2020·北京·統考高考真題）已知函數，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．例5-2.（2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為______.【總結提升】1.給定具體函數，確定函數不等式的解，首先要判斷函數的單調性；2.求解含“f”的函數不等式的解題思路先利用函數的相關性質將不等式轉化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據函數的單調性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．【變式訓練】變式5-1.已知定義在上的函數滿足，對任意的實數，且，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．變式5-2.（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為______．題型六：函數的單調性和最值（值域）問題【典例分析】例6-1.（2023·全國·校聯考三模）已知函數在上的最小值為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6-2.（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【規(guī)律方法】1.函數最大值和最小值定義中兩個關鍵詞：①“存在”：M首先是一個函數值，它是值域中的一個元素，如函數y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.②“任意”：最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是說，函數y＝f(x)的圖象不能位于直線y＝M的上(下)方．2.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.3.已知函數最值（值域）求參數問題的解題步驟(1)調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域、值域（最值）問題轉化為方程或不等式的解集問題；(2)根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍．【變式訓練】變式6-1.（2021·北京·統考高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件變式6-2.（2023·北京·高三專題練習）已知函數的定義域為．能夠說明“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數”為假命題的一個函數是_________．題型七：抽象函數的單調性問題例7-1.函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數，對任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.例7-2.（2023·全國·高三對口高考）設定義在R上的函數，滿足當時，，且對任意，有．(1)求；(2)求證：對任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．【總結提升】1.所謂抽象函數，一般是指沒有給出具體解析式的函數，研究抽象函數的單調性，主要是考查對函數單調性的理解，是一類重要的題型，而證明抽象函數的單調性常采用定義法．2.一般地，在高中數學中，主要有兩種類型的抽象函數，一是“f(x＋y)”型[即給出f(x＋y)所具有的性質，如本例]，二是“f(xy)”型．對于f(x＋y)型的函數，只需構造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用題設條件將它用f(x1)與f(x2－x1)表示出來，然后利用題設條件確定f(x2－x1)的范圍(如符號、與“1”的大小關系)，從而確定f(x2)與f(x1)的大小關系；對f(xy)型的函數，則只需構造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．【變式訓練】變式7-1.（2021·海南高三其他模擬）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則關于的不等式（其中）的解集為（）A． B．或C． D．或變式7-2.函數的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：在上是單調增函數；（Ⅲ）若，且，求證：.一、單選題1．（2022秋·西藏林芝·高三校考階段練習）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三對口高考）下列函數中，在區(qū)間上是增函數的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023·北京通州·統考三模）設，，，則（

）A． B．C． D．5.（2023·黑龍江大慶·鐵人中學?？级＃┮阎瘮?，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三對口高考）設函數的定義域為R，對于給定的正數k，定義函數，給出函數，若對任意的，恒有，則（

）．A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1二、多選題7．（2022秋·福建龍巖·高三?？茧A段練習）下列函數中在區(qū)間內單調遞減的是（

）A． B．C． D．8．（2022秋·山東青島·高三青島二中校考階段練習）已知函數的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調遞減區(qū)間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調遞增區(qū)間為9．（2023·江蘇·校聯考模擬預測）若函數，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，對于任意兩個不相等的實數，都有不等式成立，則實數a取值范圍是________．11.（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數（a，b為常數）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為__________.四、解答題12．（2023·高一課時練習）已知函數的定義域是，滿足，時，對任意正實數x，y，都有．(1)求的值；(2)證明：函數在上是增函數；(3)求不等式的解集．專題3.2函數的單調性與最值【核心素養(yǎng)】1.以常見函數為載體，考查函數的單調性，凸顯數學運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結合考查函數的單調性或求參數問題，凸顯分類討論思想的應用及數學運算的核心素養(yǎng)．3.與函數、不等式結合，考查單調性在求最值方面的應用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數的單調性1．增函數：若對于定義域內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有，那么就說函數在區(qū)間上是增函數；2．減函數：若對于定義域內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有，那么就說函數在區(qū)間上是減函數.3．單調區(qū)間的定義若函數y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，則稱函數y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做函數y＝f(x)的單調區(qū)間．4.【特別警示】（1）單調區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數，而只能寫成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數．（2）區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在單調問題，因此寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些點無意義時，單調區(qū)間就不包括這些點．知識點二知識點二函數的最值1.最大值：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數的最大值.2.最小值：一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數的最小值.知識點三知識點三常用結論(1)函數f(x)與f(x)＋c(c為常數)具有相同的單調性．(2)k>0時，函數f(x)與kf(x)單調性相同；k<0時，函數f(x)與kf(x)單調性相反．(3)若f(x)恒為正值或恒為負值，則f(x)與具有相反的單調性．(4)若f(x)，g(x)都是增(減)函數，則當兩者都恒大于零時，f(x)·g(x)是增(減)函數；當兩者都恒小于零時，f(x)·g(x)是減(增)函數．(5)在公共定義域內，增＋增＝增，減＋減＝減，增－減＝增，減－增＝減．(6)復合函數y＝f[g(x)]的單調性判斷方法：“同增異減”．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：單調性的判定和證明【典例分析】例1-1.（2021·全國·高考真題）下列函數中是增函數的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據基本初等函數的性質逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數，不合題意，舍.對于B，為上的減函數，不合題意，舍.對于C，在為減函數，不合題意，舍.對于D，為上的增函數，符合題意，故選：D.例1-2.（2023·河南·校聯考模擬預測）下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函數的性質可判斷A，利用函數的導數可判斷BC，根據絕對值的意義結合條件可判斷D.【詳解】對于A，函數圖象的對稱軸為，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；對于B，當時，，所以函數在上單調遞增，故B正確；對于C，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，故C錯誤；對于D，當時，是常數函數，D錯誤，故選：B.【規(guī)律方法】掌握確定函數單調性(區(qū)間)的4種常用方法(1)定義法：一般步驟為設元→作差→變形→判斷符號→得出結論．其關鍵是作差變形，為了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關系及不等式的性質進行判斷．(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調性．（3）熟悉一些常見的基本初等函數的單調性.（4）導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性．【變式訓練】變式1-1.（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮抵校趨^(qū)間上是減函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據基本初等函數的單調性及對數型復合函數的單調性判斷即可.【詳解】對于A：在定義域上單調遞增，故A錯誤；對于B：在定義域上單調遞增，故B錯誤；對于C：定義域為，因為在上單調遞減且值域為，又在定義域上單調遞減，所以在上單調遞增，故C錯誤；對于D：，函數在上單調遞減，故D正確；故選：D變式1-2.【多選題】（2021·全國高一課時練習）設函數f(x)在R上為增函數，則下列結論不一定正確的是（）A．y=在R上為減函數 B．y=|f(x)|在R上為增函數C．y=在R上為增函數 D．y=--f(x)在R上為減函數【答案】ABC【解析】令可判斷出ABC不正確，利用單調函數的定義判斷可得結果.【詳解】對于A，若f(x)=x，則y==，在R上不是減函數，A錯誤；對于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數，B錯誤；對于C，若f(x)=x，則y==，在R上不是增函數，C錯誤；對于D，函數f(x)在R上為增函數，則對于任意的x1，x2∈R，設x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，對于y=—f(x)，則有y1-y2=[—f(x1)]—[—f(x2)]=f(x2)—f(x1)>0，則y=—f(x)在R上為減函數，D正確.故選：ABC題型二：求函數的單調區(qū)間例2-1.函數f(x)=xA.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)【答案】D【解析】x2?2x?8≥0得x≥4或令x2?2x?8=t，則∴t=x2?2x?8∴原函數的單調遞增區(qū)間為[4,+∞)，故選D.例2-2.（2023·北京密云·統考三模）設函數.①當時，的單調遞增區(qū)間為___________；②若且，使得成立，則實數a的一個取值范圍________.【答案】【分析】當時，作出的圖象，結合圖象，即可求得函數的遞增區(qū)間，由，得到的圖象關于對稱，結合題意，即可求得的取值范圍.【詳解】①當時，可得，函數的圖象，如圖所示，可得函數的單調遞增區(qū)間為.

②由，可函數的圖象關于對稱，若且，使得成立，如圖所示，則滿足，即實數的取值范圍為.

故答案為：；.【規(guī)律方法】確定函數的單調區(qū)間常見方法：1.利用基本初等函數的單調區(qū)間2.圖象法：對于基本初等函數及其函數的變形函數，可以作出函數圖象求出函數的單調區(qū)間.3.復合函數法：對于函數，可設內層函數為，外層函數為，可以利用復合函數法來進行求解，遵循“同增異減”，即內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相同，則函數在區(qū)間D上單調遞增；內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相反，則函數在區(qū)間D上單調遞減.4.導數法：不等式的解集與函數的定義域的交集即為函數的單調遞增區(qū)間，不等式的解集與函數的定義域的交集即為函數的單調遞減區(qū)間.【變式訓練】變式2-1.（2023·海南海口·統考模擬預測）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求【詳解】，則由二次函數的性質知，當時，的單調遞減區(qū)間為；當，的單調遞減區(qū)間為，故的單調遞減區(qū)間是和.故選：B變式2-2.函數y=logA(?∞,1)B(2,+∞)C(?∞,32【答案】A【解析】由題可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函數的性質和復合函數的單調性可得函數y=log故選：A．題型三：利用單調性比較大小【典例分析】例3-1.（2023·全國·統考高考真題）已知函數．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數性質知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數，故，即.故選：A.例3-2．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先構造函數，，由函數的單調性判斷，再結合不等式的性質，結合選項，即可判斷選項.【詳解】由題可得，，設，，因為增函數+增函數=增函數，即函數在上遞增，所以由可得：.對于A，由函數在上遞減，所以當時，，A錯誤；對于B，易知函數在上為增函數-減函數=增函數，所以當時，，即，B正確；對于C，當時，若，則，C錯誤；對于D，因為函數在上遞增，所以當時，，D錯誤.故選：B【規(guī)律方法】1.一般地，比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數性質，轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數形結合的盡量用圖象法求解．2.先構造函數，確定函數的單調性，再比較函數值大?。咀兪接柧殹孔兪?-1.（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統考模擬預測）已知是函數的一個零點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數及一次函數的單調性確定函數遞減，再由零點存在性確定零點范圍，結合單調性判斷大小.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞減，函數在區(qū)間上單調遞減，故函數在區(qū)間上單調遞減，又，所以，因為，，由單調性知，即．故選：B變式3-2.（2023·新疆阿勒泰·統考三模）正數滿足，則a與大小關系為______．【答案】/【分析】構造函數，并運用其單調性比較大小即可.【詳解】因為，所以，設，則，所以，又因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以.故答案為：.題型四：利用單調性確定參數取值范圍【典例分析】例4-1.（2023·全國·統考高考真題）設函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區(qū)間上單調遞減，則有函數在區(qū)間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D例4-2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件判斷函數的單調性然后轉化分段函數推出不等式組，即可求出a的范圍.【詳解】對任意的實數，都有,即成立，可得函數圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數是減函數；可得：，解得，故選：C【規(guī)律方法】1.利用單調性求參數的范圍(或值)的方法（1）視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數；（2）需注意若函數在區(qū)間[a，b]上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的．（3）注意函數單調性呈現的三種方式：定義式、比值式（eq\f(fx2－fx1,x2－x1)）、x2－x1與f(x2)－f(x1)關系式.2.利用分離參數法；3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【變式訓練】變式4-1.若函數是上的增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數是上的增函數，則，解得，即實數的取值范圍是，故選：B.變式4-2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數，對都有成立，則實數的取值范圍是________________.【答案】【分析】由的單調性可得，結合題意即可求解【詳解】在上單調遞減，所以，因為對都有成立，所以，故答案為：題型五：利用函數的單調性解決不等式問題【典例分析】例5-1.（2020·北京·統考高考真題）已知函數，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函數和的圖象，觀察圖象可得結果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.例5-2.（2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為______.【答案】【分析】先計算得到函數的圖象關于中心對稱，又由當時，，單調遞減，可得在上單調遞減，從而根據對稱性和單調性可得或或，求解即可.【詳解】依題意，，故，故函數的圖象關于中心對稱.當時，，單調遞減，故在上單調遞減，且因為函數的圖象關于中心對稱，所以在上單調遞減，且.而，故或或，解得或，故所求不等式的解集為.故答案為：【總結提升】1.給定具體函數，確定函數不等式的解，首先要判斷函數的單調性；2.求解含“f”的函數不等式的解題思路先利用函數的相關性質將不等式轉化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據函數的單調性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．【變式訓練】變式5-1.已知定義在上的函數滿足，對任意的實數，且，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，則，，對任意的，且，，得，即，所以在上是增函數，不等式即為，所以，.故選：B變式5-2.（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為______．【答案】【分析】分析函數的性質，借助函數單調性和代入求解不等式作答.【詳解】當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，是增函數，且，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，則當，即時，恒有成立，則，當時，，不等式化為，解得，則，所以不等式的解集為.故答案為：題型六：函數的單調性和最值（值域）問題【典例分析】例6-1.（2023·全國·校聯考三模）已知函數在上的最小值為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得當時，可得恒成立，通過分離變量，結合函數性質可求的取值范圍【詳解】因為，函數在上的最小值為，所以對，恒成立，所以恒成立，即恒成立，當時，，當時，可得恒成立.當或時，不等式顯然成立；當時，，因為，所以，，，所以；當時，，因為，所以，，，所以.綜上可得，實數b的取值范圍是.故選：D.例6-2.（2022·北京·統考高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據分段函數中的函數的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1【規(guī)律方法】1.函數最大值和最小值定義中兩個關鍵詞：①“存在”：M首先是一個函數值，它是值域中的一個元素，如函數y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.②“任意”：最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是說，函數y＝f(x)的圖象不能位于直線y＝M的上(下)方．2.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.3.已知函數最值（值域）求參數問題的解題步驟(1)調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域、值域（最值）問題轉化為方程或不等式的解集問題；(2)根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍．【變式訓練】變式6-1.（2021·北京·統考高考真題）已知是定義在上的函數，那么“函數在上單調遞增”是“函數在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若函數在上單調遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數，在為增函數，故在上的最大值為推不出在上單調遞增，故“函數在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.變式6-2.（2023·北京·高三專題練習）已知函數的定義域為．能夠說明“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數”為假命題的一個函數是_________．【答案】，（答案不唯一）【分析】利用二次函數的性質寫出一個函數即可【詳解】對于函數，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為，但是函數在上不具有單調性，故命題“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數”為假命題.故答案為：，（答案不唯一）題型七：抽象函數的單調性問題例7-1.函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數，對任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.【答案】(1)3.(2)(2,4]．【解析】(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5，∴f(2)＝3.(2)f(m－2)≥f(2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤2,m－2＞0))，∴2＜m≤4.∴m的范圍為(2,4]．例7-2.（2023·全國·高三對口高考）設定義在R上的函數，滿足當時，，且對任意，有．(1)求；(2)求證：對任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．【答案】(1)1(2)證明見詳解(3)(4)0【分析】（1）賦值，即可得結果；（2）由題意分析可得當時，，對于，令，結合題意分析證明；（3）根據題意結合單調性的定義可證在上單調遞增，結合單調性解不等式；（4）先通過賦值可得，進而解得，再結合單調性分析求解.【詳解】（1）因為，令，則，即，所以.（2）由題意可知：當時，；由（1）可知：當時，；當時，因為，令，則，且，所以，即；綜上所述：對任意，都有.（3）對任意，且，令，則，則，因為，則，可得，且，可得，即，所以在上單調遞增，又因為，可得，對于不等式，可得，解得，所以不等式的解集為.（4）由（3）可得，令，可得，令，可得，對于方程，即，則，解得或（舍去），又因為在上單調遞增，且，則，所以方程的解為0.【總結提升】1.所謂抽象函數，一般是指沒有給出具體解析式的函數，研究抽象函數的單調性，主要是考查對函數單調性的理解，是一類重要的題型，而證明抽象函數的單調性常采用定義法．2.一般地，在高中數學中，主要有兩種類型的抽象函數，一是“f(x＋y)”型[即給出f(x＋y)所具有的性質，如本例]，二是“f(xy)”型．對于f(x＋y)型的函數，只需構造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用題設條件將它用f(x1)與f(x2－x1)表示出來，然后利用題設條件確定f(x2－x1)的范圍(如符號、與“1”的大小關系)，從而確定f(x2)與f(x1)的大小關系；對f(xy)型的函數，則只需構造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．【變式訓練】變式7-1.（2021·海南高三其他模擬）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則關于的不等式（其中）的解集為（）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】先判斷函數單調遞減，再利用已知條件和函數的單調性得，解不等式即得解.【詳解】任取，由已知得，即，所以函數單調遞減．由可得，即，所以，即，即，又因為，所以，此時原不等式解集為．故選：A變式7-2.函數的定義域為，并滿足以下條件：①對任意，有；②對任意，有；③.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：在上是單調增函數；（Ⅲ）若，且，求證：.【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．【解析】解法一：(Ⅰ)令得：因為，所以；（Ⅱ）任取且設則因為，所以，所以在上是單調增函數；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因為又，所以所以解法二：(Ⅰ)因為對任意，有，且對任意，所以，當時故．（Ⅱ）因為，所以所以在上是單調增函數，即在上是單調增函數（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，而，所以所以一、單選題1．（2022秋·西藏林芝·高三?？茧A段練習）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定義域，在利用二次函數單調性判斷出結果.【詳解】函數的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故選：D.2．（2023·全國·高三對口高考）下列函數中，在區(qū)間上是增函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合指數函數的單調性判斷A，結合冪函數的單調性判斷B，結合二次函數性質判斷C，結合對數函數單調性判斷D.【詳解】因為是上的增函數，所以函數是上的減函數，A錯誤；函數在是減函數，C錯誤；因為，所以函數在是減函數，D錯誤；因為函數在是減函數，所以函數在是減函數，所以函數在區(qū)間上為增函數，所以函數在區(qū)間上為增函數，故選：B．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數單調性即可求出實數a的取值范圍.【詳解】由題意，，在中，函數單調遞增，∴，解得：，故選：C.4．（2023·北京通州·統考三模）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數的單調性估算的范圍，即可比較大小.【詳解】因為在上單調遞增，且，所以，化簡得；因為在上單調遞減，且，所以，化簡得；因為在上單調遞增，且，所以，化簡得；綜上，可知.故選：A5.（2023·黑龍江大慶·鐵人中學?？级＃┮阎瘮?，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論與0、1的大小關系，寫出的解析式，解出不等式后，再求并集即為答案.【詳解】因為.①當時，.②當時，.③當時，.綜上所述：.故選：D.6．（2023·全國·高三對口高考）設函數的定義域為R，對于給定的正數k，定義函數，給出函數，若對任意的，恒有，則（

）．A．k的最