高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展)（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第05講平面向量之極化恒等式（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）在向量的命題考查中，數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時(shí)會(huì)計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長(zhǎng)。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對(duì)角線交于點(diǎn),則對(duì)于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍)?？键c(diǎn)一、極化恒等式求值1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．52．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．51．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是.

如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________考點(diǎn)二、極化恒等式求范圍（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．，則如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為分別在軸,軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則的最大值是_________（全國(guó)·高考真題）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____設(shè)銳角的面積為1,邊的中點(diǎn)分別為為線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_______已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點(diǎn),則的取值范圍是（）A.B.C.D.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┰诰匦沃?，.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若等邊的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）若點(diǎn)是圓：上的任一點(diǎn)，直線：與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．86．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．二、填空題9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知O為的外心，若，且，則.三、雙空題10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點(diǎn)，則；若為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【能力提升】一、單選題1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．24．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn)，則最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．97．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B．3 C． D．488．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4二、填空題9．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為.10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）周長(zhǎng)為4的，若分別是的對(duì)邊，且，則的取值范圍為．【真題感知】1．（天津·高考真題）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為A． B． C． D．2．（廣東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則A． B． C． D．3．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（天津·高考真題）如圖，在中，，，，則A． B． C． D．5．（福建·高考真題）已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（

）.A． B． C． D．6．（山東·高考真題）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則A． B． C． D．7．（天津·高考真題）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（

）A． B． C． D．8．（天津·高考真題）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A． B．C． D．09．（天津·高考真題）如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．10．（四川·高考真題）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．611．（福建·高考真題）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的最大值為A．2 B．3 C．6 D．812．（重慶·高考真題）如圖，在四邊形中，，，，則的值為A． B． C． D．13．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．14．（重慶·高考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，則的值為A．2 B． C．4 D．

第05講平面向量之極化恒等式（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）在向量的命題考查中，數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積，但有時(shí)會(huì)計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長(zhǎng)。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對(duì)角線交于點(diǎn),則對(duì)于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍)?？键c(diǎn)一、極化恒等式求值1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法【詳解】試題分析：因?yàn)椋浴?，又，所以…………②，②得，所以考點(diǎn)：1．向量模的定義及運(yùn)算；2．向量的數(shù)量積．方法二：極化恒等式由極化恒等式可得：故選A．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.方法四：極化恒等式設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn)，由極化恒等式可得：故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是.

【答案】方法一【詳解】因?yàn)?，，因此，【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積，一般有兩個(gè)思路，一是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種思路實(shí)質(zhì)相同，但坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn).對(duì)于涉及中線的向量問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進(jìn)行求解．方法二：極化恒等式因?yàn)槭巧系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn),所以聯(lián)立解得:所以如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________解：取的中點(diǎn),連接,則,在中,,考點(diǎn)二、極化恒等式求范圍（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D方法一【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；方法二：極化恒等式記AB的中點(diǎn)為M，連接CM，則由極化恒等式可得：即故選：D如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為分別在軸,軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則的最大值是_________答案:2解:如圖,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.)由極化恒等式得（全國(guó)·高考真題）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B方法一【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，方法二：極化恒等式解：取的中點(diǎn),連接,取的中點(diǎn),連接,由是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為中線的中點(diǎn),則：所以.故選：．如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解：取的中點(diǎn),連接,由,由四點(diǎn)共圓,且直徑為.則.所以.設(shè)銳角的面積為1,邊的中點(diǎn)分別為為線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_______解：如圖所示,取的中點(diǎn)為點(diǎn)到的距離,由極化恒等式,,,則已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點(diǎn),則的取值范圍是（）A.B.C.D.解：如圖所示,在Rt上,不妨取的中點(diǎn),則.設(shè)圓的半徑為,而,則,,則,因此的取值范圍是.故選：C【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【分析】判斷形狀可得，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┰诰匦沃?，.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算數(shù)量積，由三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，故所以其中，由于，所以，故選：B

3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若等邊的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】，，.故選：C.4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用，兩個(gè)向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到.【詳解】

，，因，所以，又，所以，故選：B5．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）若點(diǎn)是圓：上的任一點(diǎn)，直線：與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【分析】由于直線：與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，分別令，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程，由參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入中，由三角函數(shù)的最值即可求得的最小值.【詳解】令則，即，令，則，即，圓：，則設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：C.6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為基底，求，利用函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】邊長(zhǎng)為2的菱形中，，如圖所示，

則，，，，，由于，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B7．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由和可列方程求出點(diǎn)E，再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

則，設(shè)，則且，，解得，，在矩形中，為的中點(diǎn)，所以，由，所以，，故選：D.8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.二、填空題9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知O為的外心，若，且，則.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積公式進(jìn)行求解.【詳解】由圓的性質(zhì)可得，，故.故答案為：三、雙空題10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點(diǎn)，則；若為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【答案】/5.25【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，因?yàn)?，，所以在和中，，，則，得，，因?yàn)樵谥?，，則，得，又，所以，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，則；設(shè)，，，則，因?yàn)?，所以時(shí)，的最小值為.故答案為：；.

【能力提升】一、單選題1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由題設(shè)易知且，，進(jìn)而求即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)求參數(shù)最值問題.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，則，，，所以，設(shè)，即，依題意直線與圓有公共點(diǎn)，所以，得，所以的最小值為.

故選：A3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得出，點(diǎn)G為的重心，所以，，再由向量的數(shù)量及定義求解即可.【詳解】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則，所以，所以G，A，M三點(diǎn)共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點(diǎn)AB，AC的中線過點(diǎn)G，所以點(diǎn)G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點(diǎn)，則，所以.故選：A

4．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.故選：A.5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn)，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)余弦定理求出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑，最后將寫成后再求，當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值.【詳解】在中，，，在中，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所以，解得，從而?設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，故.所以，當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到，然后利用向量的運(yùn)算將用表示，然后用向量的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，向量在向量上的投影向量為，由題意，，于是，即.又，∴．故選：C7．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（），即可得到、，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，，（），則，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.

故選：A8．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，，所以,，設(shè)，則，因?yàn)?，所?,,當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運(yùn)算即可.二、填空題9．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，計(jì)算可得出，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，所以，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí)，，因此，.故答案為：.10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）周長(zhǎng)為4的，若分別是的對(duì)邊，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹荛L(zhǎng)為4的，分別是的對(duì)邊，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上遞減，∴，故答案為：.【真題感知】1．（天津·高考真題）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴，故選B.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量數(shù)量積，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．2．（廣東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，故選D．考點(diǎn)：1、平面向量的加法運(yùn)算；2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．3．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.

4．（天津·高考真題）如圖，在中，，，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，故選．5．（福建·高考真題）已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以的最大值等于，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．6．（山東·高考真題）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，可知，故選D.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的運(yùn)算.7．（天津·高考真題）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積問題，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．8．（天津·高考真題）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A． B．C． D．0【答案】C【詳解】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，連結(jié)MN，由可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，由題意可知：，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)