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第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展)(核心考點(diǎn)精講精練)在向量的命題考查中,數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題,一般情況下,我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積,但有時(shí)會計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了向量的幾何屬性,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能,此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合,對于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題,從而用極化恒等式解決,需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的,恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點(diǎn),則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移,等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下,極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點(diǎn),連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);第二步:利用極化恒等式公式,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度,從而求出數(shù)量積如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍,可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊,兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)??键c(diǎn)一、極化恒等式求值1.(全國·高考真題)設(shè)向量滿足,,則A.1 B.2 C.3 D.52.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)正方形的邊長是2,是的中點(diǎn),則(
)A. B.3 C. D.51.(江蘇·高考真題)如圖,在中,是的中點(diǎn),是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),,,則的值是.
如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________考點(diǎn)二、極化恒等式求范圍(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn),且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.,則如圖所示,正方形的邊長為分別在軸,軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動,則的最大值是_________(全國·高考真題)已知是邊長為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是A. B. C. D.如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____設(shè)銳角的面積為1,邊的中點(diǎn)分別為為線段上的動點(diǎn),則的最小值為_______已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C.D.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1.(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校??寄M預(yù)測)如圖,已知的半徑為2,,則(
)
A.1 B.-2 C.2 D.2.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模)在矩形中,.若,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.3.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測)若等邊的邊長為2,平面內(nèi)一點(diǎn)滿足,則(
)A. B. C. D.4.(2023·福建泉州·泉州五中??寄M預(yù)測)在中,,,點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則(
)A. B. C. D.5.(2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測)若點(diǎn)是圓:上的任一點(diǎn),直線:與軸、軸分別交于兩點(diǎn),則的最小值為(
)A. B.2 C. D.86.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)在邊長為2的菱形中,,則的最小值為(
)A. B. C. D.7.(2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測)在矩形中,與相交于點(diǎn),過點(diǎn)作于,則(
)A. B. C. D.8.(2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)校考三模)以邊長為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧,三段圓弧圍成曲邊三角形,已知P為弧AC上的一點(diǎn),且,則的值為(
)
A. B.C. D.二、填空題9.(2023·河北·校聯(lián)考一模)已知O為的外心,若,且,則.三、雙空題10.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)??寄M預(yù)測)如圖,在平面四邊形中,,,,.若為線段中點(diǎn),則;若為線段(含端點(diǎn))上的動點(diǎn),則的最小值為.
【能力提升】一、單選題1.(2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??级#┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形,若,則的最大值為(
)A. B. C.2 D.2.(2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)??寄M預(yù)測)已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動點(diǎn)A,B,C,且,則的最小值為()A. B. C. D.3.(2023·湖南長沙·周南中學(xué)??级#┮阎庑蜛BCD的邊長為1,,G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若,則(
)A. B.1 C. D.24.(2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,已知是半徑為2,圓心角為的扇形,點(diǎn)分別在上,且,點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則的最小值為(
)
A. B. C. D.5.(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中,,點(diǎn)在線段上,,點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn),則最大值為(
)A. B. C. D.6.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)在中,已知,向量在向量上的投影向量為,點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn),則(
)A.3 B.6 C.7 D.97.(2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模)如圖所示,正方形的邊長為2,點(diǎn),,分別是邊,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),則的最小值為(
)
A. B.3 C. D.488.(2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模)已知菱形ABCD的邊長為2,,點(diǎn)E在邊BC上,,若G為線段DC上的動點(diǎn),則的最大值為(
)A.2 B.C. D.4二、填空題9.(2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測)半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),則的取值范圍為.10.(2023·湖北武漢·華中師大一附中??寄M預(yù)測)周長為4的,若分別是的對邊,且,則的取值范圍為.【真題感知】1.(天津·高考真題)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為A. B. C. D.2.(廣東·高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知四邊形是平行四邊形,,,則A. B. C. D.3.(2020·海南·統(tǒng)考高考真題)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B.C. D.4.(天津·高考真題)如圖,在中,,,,則A. B. C. D.5.(福建·高考真題)已知,,,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則的最大值等于(
).A. B. C. D.6.(山東·高考真題)已知菱形的邊長為,,則A. B. C. D.7.(天津·高考真題)是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為(
)A. B. C. D.8.(天津·高考真題)在如圖的平面圖形中,已知,則的值為A. B.C. D.09.(天津·高考真題)如圖,在平面四邊形ABCD中,若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn),則的最小值為A. B. C. D.10.(四川·高考真題)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,,.若點(diǎn)M,N滿足,則()A.20 B.15 C.9 D.611.(福建·高考真題)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn),則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.812.(重慶·高考真題)如圖,在四邊形中,,,,則的值為A. B. C. D.13.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)已知的半徑為1,直線PA與相切于點(diǎn)A,直線PB與交于B,C兩點(diǎn),D為BC的中點(diǎn),若,則的最大值為(
)A. B.C. D.14.(重慶·高考真題)如圖,在四邊形ABCD中,,則的值為A.2 B. C.4 D.
第05講平面向量之極化恒等式(高階拓展)(核心考點(diǎn)精講精練)在向量的命題考查中,數(shù)量積的運(yùn)算一直是熱點(diǎn)問題,一般情況下,我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標(biāo)法來求解數(shù)量積,但有時(shí)會計(jì)算量繁瑣、解題時(shí)間較長。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了向量的幾何屬性,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能,此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合,對于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題,從而用極化恒等式解決,需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的,恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點(diǎn),則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移,等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下,極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點(diǎn),連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);第二步:利用極化恒等式公式,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度,從而求出數(shù)量積如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍,可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊,兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)??键c(diǎn)一、極化恒等式求值1.(全國·高考真題)設(shè)向量滿足,,則A.1 B.2 C.3 D.5【答案】A方法一:基本方法【詳解】試題分析:因?yàn)?,所以………………①,又,所以…………②,②得,所以考點(diǎn):1.向量模的定義及運(yùn)算;2.向量的數(shù)量積.方法二:極化恒等式由極化恒等式可得:故選A.2.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)正方形的邊長是2,是的中點(diǎn),則(
)A. B.3 C. D.5【答案】B【分析】方法一:以為基底向量表示,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解;方法二:建系,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解;方法三:利用余弦定理求,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一:以為基底向量,可知,則,所以;方法二:如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則,可得,所以;方法三:由題意可得:,在中,由余弦定理可得,所以.方法四:極化恒等式設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn),由極化恒等式可得:故選:B.1.(江蘇·高考真題)如圖,在中,是的中點(diǎn),是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),,,則的值是.
【答案】方法一【詳解】因?yàn)?,,因此,【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積,一般有兩個(gè)思路,一是建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)研究向量的數(shù)量積;二是利用一組基底表示所有向量,兩種思路實(shí)質(zhì)相同,但坐標(biāo)法更易理解和化簡.對于涉及中線的向量問題,一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進(jìn)行求解.方法二:極化恒等式因?yàn)槭巧系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn),所以聯(lián)立解得:所以如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________解:取的中點(diǎn),連接,則,在中,,考點(diǎn)二、極化恒等式求范圍(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn),且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D方法一【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),表示出,,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】解:依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,因?yàn)椋栽谝詾閳A心,為半徑的圓上運(yùn)動,設(shè),,所以,,所以,其中,,因?yàn)?,所以,即;方法二:極化恒等式記AB的中點(diǎn)為M,連接CM,則由極化恒等式可得:即故選:D如圖所示,正方形的邊長為分別在軸,軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動,則的最大值是_________答案:2解:如圖,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,則(當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立.)由極化恒等式得(全國·高考真題)已知是邊長為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是A. B. C. D.【答案】B方法一【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系,以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則,,,設(shè),則,,,則當(dāng),時(shí),取得最小值,方法二:極化恒等式解:取的中點(diǎn),連接,取的中點(diǎn),連接,由是邊長為2的等邊三角形,為中線的中點(diǎn),則:所以.故選:.如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解:取的中點(diǎn),連接,由,由四點(diǎn)共圓,且直徑為.則.所以.設(shè)銳角的面積為1,邊的中點(diǎn)分別為為線段上的動點(diǎn),則的最小值為_______解:如圖所示,取的中點(diǎn)為點(diǎn)到的距離,由極化恒等式,,,則已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C.D.解:如圖所示,在Rt上,不妨取的中點(diǎn),則.設(shè)圓的半徑為,而,則,,則,因此的取值范圍是.故選:C【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1.(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校??寄M預(yù)測)如圖,已知的半徑為2,,則(
)
A.1 B.-2 C.2 D.【答案】C【分析】判斷形狀可得,然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知,為正三角形,所以,所以.故選:C2.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??级#┰诰匦沃校?若,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算數(shù)量積,由三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),故所以其中,由于,所以,故選:B
3.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測)若等邊的邊長為2,平面內(nèi)一點(diǎn)滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成,再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】,,.故選:C.4.(2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測)在中,,,點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先用,兩個(gè)向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到.【詳解】
,,因,所以,又,所以,故選:B5.(2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測)若點(diǎn)是圓:上的任一點(diǎn),直線:與軸、軸分別交于兩點(diǎn),則的最小值為(
)A. B.2 C. D.8【答案】C【分析】由于直線:與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),分別令,求得點(diǎn)坐標(biāo),再將圓:化成標(biāo)準(zhǔn)方程,由參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo),再代入中,由三角函數(shù)的最值即可求得的最小值.【詳解】令則,即,令,則,即,圓:,則設(shè)點(diǎn),當(dāng)時(shí)取得最小值.故選:C.6.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測)在邊長為2的菱形中,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】以為基底,求,利用函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】邊長為2的菱形中,,如圖所示,
則,,,,,由于,所以當(dāng)時(shí),有最小值.故選:B7.(2023·吉林長春·東北師大附中??寄M預(yù)測)在矩形中,與相交于點(diǎn),過點(diǎn)作于,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由和可列方程求出點(diǎn)E,再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系:
則,設(shè),則且,,解得,,在矩形中,為的中點(diǎn),所以,由,所以,,故選:D.8.(2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)??既#┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧,三段圓弧圍成曲邊三角形,已知P為弧AC上的一點(diǎn),且,則的值為(
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A. B.C. D.【答案】C【分析】如圖所示,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BC為x軸,過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,,由,得,所以,,所以.
故選:C.二、填空題9.(2023·河北·校聯(lián)考一模)已知O為的外心,若,且,則.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積公式進(jìn)行求解.【詳解】由圓的性質(zhì)可得,,故.故答案為:三、雙空題10.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)??寄M預(yù)測)如圖,在平面四邊形中,,,,.若為線段中點(diǎn),則;若為線段(含端點(diǎn))上的動點(diǎn),則的最小值為.
【答案】/5.25【分析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)椋?,所以為等邊三角形,因?yàn)?,,所以在和中,,,則,得,,因?yàn)樵谥?,,則,得,又,所以,以為原點(diǎn),以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,,,,,,,則;設(shè),,,則,因?yàn)椋詴r(shí),的最小值為.故答案為:;.
【能力提升】一、單選題1.(2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模)已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形,若,則的最大值為(
)A. B. C.2 D.【答案】A【分析】由題設(shè)易知且,,進(jìn)而求即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓,且,故,所以,,則,僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選:A2.(2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)??寄M預(yù)測)已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動點(diǎn)A,B,C,且,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo),用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.,轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)求參數(shù)最值問題.【詳解】因?yàn)?,又,所以,所以,以為原點(diǎn),所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系:
則,,設(shè),則,,,所以,設(shè),即,依題意直線與圓有公共點(diǎn),所以,得,所以的最小值為.
故選:A3.(2023·湖南長沙·周南中學(xué)??级#┮阎庑蜛BCD的邊長為1,,G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若,則(
)A. B.1 C. D.2【答案】A【分析】由題意可得出,點(diǎn)G為的重心,所以,,再由向量的數(shù)量及定義求解即可.【詳解】在菱形ABCD,菱形ABCD的邊長為1,,所以,所以,則為等邊三角形,因?yàn)椋?,設(shè)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),則,所以,所以G,A,M三點(diǎn)共線,所以AM為BC的中線,所以,同理可得點(diǎn)AB,AC的中線過點(diǎn)G,所以點(diǎn)G為的重心,故,在等邊中,M為BC的中點(diǎn),則,所以.故選:A
4.(2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,已知是半徑為2,圓心角為的扇形,點(diǎn)分別在上,且,點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則的最小值為(
)
A. B. C. D.【答案】A【分析】以為原點(diǎn),所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系
則,設(shè),則,所以,因?yàn)?,所以,又,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立則的最大值為,所以的最大值為,即的最小值為.故選:A.5.(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中,,點(diǎn)在線段上,,點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn),則最大值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先根據(jù)余弦定理求出線段的長度,再根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑,最后將寫成后再求,當(dāng)與同向時(shí),取得最大值.【詳解】在中,,,在中,由余弦定理得,,又因?yàn)椋?,解得,從而?設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理得,故.所以,當(dāng)與同向時(shí),取得最大值為.故選:A.【點(diǎn)睛】6.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)在中,已知,向量在向量上的投影向量為,點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn),則(
)A.3 B.6 C.7 D.9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到,然后利用向量的運(yùn)算將用表示,然后用向量的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】
根據(jù)投影向量的計(jì)算公式,向量在向量上的投影向量為,由題意,,于是,即.又,∴.故選:C7.(2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模)如圖所示,正方形的邊長為2,點(diǎn),,分別是邊,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),則的最小值為(
)
A. B.3 C. D.48【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,(),即可得到、,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè),,(),則,所以,所以,即,所以,,所以,又,所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.
故選:A8.(2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模)已知菱形ABCD的邊長為2,,點(diǎn)E在邊BC上,,若G為線段DC上的動點(diǎn),則的最大值為(
)A.2 B.C. D.4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知,如圖所示因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為2,,所以,,設(shè),則,因?yàn)?,所?,,當(dāng)時(shí),的最大值為.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算求出,結(jié)合向量數(shù)量積定義和運(yùn)算即可.二、填空題9.(2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測)半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,則點(diǎn)在圓上,計(jì)算可得出,求出的取值范圍,即可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,則點(diǎn)在圓上,所以,,因?yàn)椋?,,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí),,當(dāng)時(shí),則,所以,,所以,,所以,,因?yàn)?,則,故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí),,因此,.故答案為:.10.(2023·湖北武漢·華中師大一附中??寄M預(yù)測)周長為4的,若分別是的對邊,且,則的取值范圍為.【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得,再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹荛L為4的,分別是的對邊,且,所以,令,∴,∴,解得,又∵,∴,∴故,又在上遞減,∴,故答案為:.【真題感知】1.(天津·高考真題)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為A. B. C. D.【答案】B【詳解】試題分析:設(shè),,∴,,,∴,故選B.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量數(shù)量積,一般有兩個(gè)思路,一是建立直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積;二是利用一組基底表示所有向量,兩種實(shí)質(zhì)相同,坐標(biāo)法更易理解和化簡.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”,實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.2.(廣東·高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知四邊形是平行四邊形,,,則A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?,所以,故選D.考點(diǎn):1、平面向量的加法運(yùn)算;2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.3.(2020·海南·統(tǒng)考高考真題)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件,結(jié)合正六邊形的特征,得到在方向上的投影的取值范圍是,利用向量數(shù)量積的定義式,求得結(jié)果.【詳解】的模為2,根據(jù)正六邊形的特征,可以得到在方向上的投影的取值范圍是,結(jié)合向量數(shù)量積的定義式,可知等于的模與在方向上的投影的乘積,所以的取值范圍是,故選:A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體,考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及到的知識點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式,屬于簡單題目.
4.(天津·高考真題)如圖,在中,,,,則A. B. C. D.【答案】D【詳解】∵,∴,又∵,∴,∴,故選.5.(福建·高考真題)已知,,,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則的最大值等于(
).A. B. C. D.【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,即,所以,,因此,因?yàn)?,所以的最大值等于,?dāng),即時(shí)取等號.考點(diǎn):1、平面向量數(shù)量積;2、基本不等式.6.(山東·高考真題)已知菱形的邊長為,,則A. B. C. D.【答案】D【詳解】試題分析:由題意得,設(shè),根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則,可知,故選D.考點(diǎn):向量的數(shù)量積的運(yùn)算.7.(天津·高考真題)是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】試題分析:設(shè),,∴,,,∴.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積問題,一般有兩個(gè)思路,一是建立直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積;二是利用一組基底表示所有向量,兩種實(shí)質(zhì)相同,坐標(biāo)法更易理解和化簡.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”,實(shí)質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.8.(天津·高考真題)在如圖的平面圖形中,已知,則的值為A. B.C. D.0【答案】C【詳解】分析:連結(jié)MN,結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解:如圖所示,連結(jié)MN,由可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則,由題意可知:,,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得:.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)
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