高考數(shù)學大一輪復習核心考點精講精練(新高考專用)專題2.2基本不等式及其應(yīng)用【原卷版+解析】

專題2.2基本不等式及其應(yīng)用【核心素養(yǎng)】1．通過基本不等式證明過程，進一步了解“差比法”的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．以求函數(shù)最值問題為載體，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合實際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一重要不等式當a、b是任意實數(shù)時，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．知識點二知識點二基本不等式1.當a>0，b>0時有，當且僅當a=b時，等號成立．2.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．知識點三知識點三基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值（簡記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值（簡記：積定和最?。貏e提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！知識點四知識點四常用推論（1）（）（2）（，）；（3）?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：利用基本不等式證明不等式【典例分析】例1-1.【多選題】（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．例1-2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，證明：(1)；(2)．【規(guī)律方法】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等．【變式訓練】變式1-1.【多選題】（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．變式1-2.（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學?？茧A段練習）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.題型二：“定和”條件下求最值例2-1.（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36例2-2.（2023·北京東城·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，則的最大值為______.例2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，求的最大值.【規(guī)律方法】1.“定和”求最值有如下情形：一是條件直接給出和為定值；二是“配湊”可出現(xiàn)和為定值.從所求最值的表達式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.2．“配湊”方法下，常數(shù)代換求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3．常數(shù)代換求解最值應(yīng)注意的問題(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；(2)已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵；(3)利用基本不等式求最值時，注意基本不等式的前提條件．【變式訓練】變式2-1.（湖南省多校2022-2023學年高一下學期期中）若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（

）A． B． C． D．變式2-2.（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．變式2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最大值為__________題型三：“定積”條件下求最值【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·廣東深圳·深圳中學統(tǒng)考模擬預測）已知a，b都是正實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．例3-2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）當時，的最小值為_________.例3-3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．【規(guī)律方法】1．“定積”求最值有如下情形：一是條件直接給出積為定值；二是可“配湊”可出現(xiàn)積為定值.從所求最值的表達式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.2．技巧：觀察積與和哪個是定值，不滿足形式的可以進行拼湊變形；與函數(shù)有關(guān)的題型還會用到配系數(shù)法、正負變法、添項法、拆項法等．3.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．4.利用基本不等式求最值時，要注意以下兩點：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.【變式訓練】變式3-1.（2023·全國·模擬預測）已知為非零實數(shù)，，均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式3-2.（2023·全國·高一專題練習）若，且，則的最小值為______.變式3-3.（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．題型四：“和、積關(guān)系”條件下求最值【典例分析】例4-1.（2023·全國·高一專題練習）已知，，若，則的最小值為______.例4-2．（2023春·廣東廣州·高二廣東實驗中學?？计谥校┮阎?，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．例4-3（2023·全國·高一專題練習）已知.(1)當時，求的最小值；(2)當時，求的最小值.【規(guī)律方法】1.結(jié)合基本不等式，通過“放縮”“化積為和”，構(gòu)建關(guān)于目標的不等式，解不等式求得最值或范圍，如例4-1，例4-2（1）；2.變換已知等式，轉(zhuǎn)化成“和”為定值，如例4-2（2）；3.注意：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【變式訓練】變式4-1.（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．變式4-2.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍________．變式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晉江市第一中學?？茧A段練習）已知為正實數(shù)，若滿足；則的最小值為_______；若，則的取值范圍是_______．題型五：“平方關(guān)系”條件下求最值【典例分析】例5-1.【多選題】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．例5-2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．【規(guī)律方法】1.直接利用等不等式放縮，如例5-1，要特別注意，逐次放縮下等號成立條件一致；2.應(yīng)用換元法.常見代數(shù)換元和三角換元兩種.（1）代數(shù)換元：先對等式進行拆、拼、湊等變形，再進行換元，利用函數(shù)、導數(shù)確定單調(diào)性進而求解最值；（2）三角換元：結(jié)合三角函數(shù)知識，將已知多個變量轉(zhuǎn)化為三角變量，進而化歸為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)最值求法來求解，如例5-1；3．應(yīng)用“消元法”.對含有多元變量的函數(shù)求最值時，通常要減少變量的個數(shù)加以轉(zhuǎn)化，如例5-2.【變式訓練】變式5-1.（2023·全國·高三專題練習）設(shè)、且，求的取值范圍是________.變式5-2.（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）若，且，則的最大值為________.題型六：基本不等式的實際應(yīng)用【典例分析】例6-1.（江蘇高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是.【規(guī)律方法】1.用基本不等式解決實際問題步驟：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2.利用基本不等式求解實際應(yīng)用題注意點：(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解．(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯警示】忽視不等式等號成立的條件！【變式訓練】變式6-1.（2023·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為（）．（本題中取進行計算）A．6 B． C．3 D．9題型七：基本不等式與其它知識“交匯”問題【典例分析】例7-1.（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．例7-2.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6例7-3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓柱的兩個底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________．例7-4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【規(guī)律方法】1.基本不等式作為工具，應(yīng)用非常廣泛，它與數(shù)學的其它知識交匯考查更為普遍，從近幾年高考命題看，命題交匯有：與簡易邏輯用語交匯、與函數(shù)交匯、與三角函數(shù)交匯、與解三角形交匯、與平面向量交匯、與立體幾何交匯、與平面解析幾何交匯、與概率統(tǒng)計交匯等.2.解決“交匯”問題的策略是：(1)先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點；(2)要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式；(3)檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．【變式訓練】變式7-1.（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學?？寄M預測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.變式7-2.（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為___________．變式7-3.（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）在三角形中，角、、的對邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.變式7-4.（2023·全國·高三專題練習）一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，，且，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2，則的最小值為______．一、單選題1．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南長沙·長郡中學?？家荒＃┮阎?，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．3．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三5月三模文科數(shù)學試題）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題4.（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若x，y滿足x2+xy+y2=3，則（

）A．2x+y≤ B．2x+y≥-1C．x2+y2-xy≤8 D．x2+y2-xy≥15．（2023·河北·校聯(lián)考二模）已知a，b為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）若，則的最小值為__________．7．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．8．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．9．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┰O(shè)，，且，則當取最小值時，______.10．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知，則的最大值為__________．11.（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知中，，M為線段BN上的一個動點，若（x、y均大于0），則的最小值______．四、解答題12．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．專題2.2基本不等式及其應(yīng)用【核心素養(yǎng)】1．通過基本不等式證明過程，進一步了解“差比法”的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．以求函數(shù)最值問題為載體，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合實際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一重要不等式當a、b是任意實數(shù)時，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．知識點二知識點二基本不等式1.當a>0，b>0時有，當且僅當a=b時，等號成立．2.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．知識點三知識點三基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值（簡記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值（簡記：積定和最?。貏e提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！知識點四知識點四常用推論（1）（）（2）（，）；（3）?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：利用基本不等式證明不等式【典例分析】例1-1.【多選題】（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD例1-2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)柯西不等式或基本不等式證明不等式.（2）根據(jù)基本不等式證明不等式.【詳解】（1）當時，等號成立．即．（2）解法一：由及．即．當時，等號成立．所以.解法二：因為，所以：．又，，所以：，當時，等號成立．所以，．【規(guī)律方法】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等．【變式訓練】變式1-1.【多選題】（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用基本不等式可判斷ABD選項，利用特殊值法可判斷C選項.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，因為，則，當且僅當時，等號成立，B錯；對于C選項，當，時，，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，D對.故選：AD.變式1-2.（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學?？茧A段練習）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件；（2）利用基本不等式求、、，即可證結(jié)論，注意等號成立條件.【詳解】（1）由，所以，即，僅當時等號成立，綜上，的最大值為.（2）由，僅當，即時等號成立，由，僅當，即時等號成立，由，僅當，即時等號成立，綜上，，僅當時等號成立.題型二：“定和”條件下求最值例2-1.（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；【詳解】解：因為，所以．因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以，的最小值為27．故選：C例2-2.（2023·北京東城·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，則的最大值為______.【答案】【分析】由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【詳解】因為取最大值時為，所以，，故，當且僅當時取等號，的最大值為.故答案為：.例2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，求的最大值.【答案】【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，當時，的最大值為【規(guī)律方法】1.“定和”求最值有如下情形：一是條件直接給出和為定值；二是“配湊”可出現(xiàn)和為定值.從所求最值的表達式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.2．“配湊”方法下，常數(shù)代換求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3．常數(shù)代換求解最值應(yīng)注意的問題(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；(2)已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵；(3)利用基本不等式求最值時，注意基本不等式的前提條件．【變式訓練】變式2-1.（湖南省多校2022-2023學年高一下學期期中）若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式等號成立的條件可求得取最大值時的值.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，當且僅當時，即當時，等號成立.故選：A.變式2-2.（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用條件進行指對數(shù)轉(zhuǎn)換，得到，從而有，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．變式2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最大值為__________【答案】【分析】先利用指數(shù)的運算得到，再利用基本不等式求最值.【詳解】,，即，，當且僅當時等號成立.則的最大值為.故答案為：.題型三：“定積”條件下求最值【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·廣東深圳·深圳中學統(tǒng)考模擬預測）已知a，b都是正實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】AB選項，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯誤；C選項，作差法比較出大小關(guān)系；D選項，先變形后利用基本不等式進行求解.【詳解】A選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，當且僅當，即時，等號成立，A正確；B選項，因為a，b都是正實數(shù)，故，當且僅當，即時，等號成立，B錯誤；C選項，，故恒成立，C正確；D選項，a是正實數(shù)，故，其中，故，當且僅當，即時，等號成立，D錯誤.故選：AC例3-2．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）當時，的最小值為_________.【答案】0【分析】代數(shù)式湊配后利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求解．【詳解】，當且僅當，時，，所以的最小值為0.故答案為：0.例3-3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【規(guī)律方法】1．“定積”求最值有如下情形：一是條件直接給出積為定值；二是可“配湊”可出現(xiàn)積為定值.從所求最值的表達式看又有兩種情形，即求“積”的最值和求“和”的最值.2．技巧：觀察積與和哪個是定值，不滿足形式的可以進行拼湊變形；與函數(shù)有關(guān)的題型還會用到配系數(shù)法、正負變法、添項法、拆項法等．3.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．4.利用基本不等式求最值時，要注意以下兩點：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.【變式訓練】變式3-1.（2023·全國·模擬預測）已知為非零實數(shù)，，均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因為為非零實數(shù)，，，均為正實數(shù)，則，當且僅當且，即時取等號，則的最大值為．故選：B．變式3-2.（2023·全國·高一專題練習）若，且，則的最小值為______.【答案】5【分析】由，且，得到,進而有，利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，且，所以,則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5，故答案為：5變式3-3.（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當且僅當=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：題型四：“和、積關(guān)系”條件下求最值【典例分析】例4-1.（2023·全國·高一專題練習）已知，，若，則的最小值為______.【答案】3【分析】先移項，結(jié)合基本不等式把積化為和，可求答案【詳解】因為，，，所以，即；因為，當且僅當時取到等號，所以，解得或（舍）所以當時，有最小值3.故答案為：3例4-2．（2023春·廣東廣州·高二廣東實驗中學校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】或【分析】根據(jù)對進行消元后，轉(zhuǎn)化為求單變量函數(shù)的最小值問題進行求解.【詳解】當時，不成立，所以.由得.因為，，所以，解得，即.所以，令，則，于是.令，，則.由對勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞減，故.所以，即的最大值為.故答案為：.例4-3（2023·全國·高一專題練習）已知.(1)當時，求的最小值；(2)當時，求的最小值.【答案】(1)16(2)【分析】（1）由，得到，進而解不等式即可求解；（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】（1）當時，，即，即，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為16.（2）當時，，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.【規(guī)律方法】1.結(jié)合基本不等式，通過“放縮”“化積為和”，構(gòu)建關(guān)于目標的不等式，解不等式求得最值或范圍，如例4-1，例4-2（1）；2.變換已知等式，轉(zhuǎn)化成“和”為定值，如例4-2（2）；3.注意：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【變式訓練】變式4-1.（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【分析】將條件轉(zhuǎn)化為，然后利用“1的代換”和基本不等式可得.【詳解】因為，變形得.由題意，當且僅當，即時，等號成立．故選：B.變式4-2.（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍________．【答案】【分析】由均值不等式“1”的代換求出，則，解不等式即可求出答案.【詳解】解析：由題，則，∴，解得:．故答案為：.變式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晉江市第一中學?？茧A段練習）已知為正實數(shù)，若滿足；則的最小值為_______；若，則的取值范圍是_______．【答案】；.【分析】由題意得，，根據(jù)乘“1”法計算的最小值，同時判斷取等的條件；根據(jù)基本不等式得，通過換元，求解不等式，從而求解出的取值范圍.【詳解】由題意得，，因為為正實數(shù)，根據(jù)乘“1”法得，，當且僅當時取等號，所以的最小值為；由基本不等式得，，當且僅當時取等號，所以，令，則，解得，即，.所以的取值范圍是.故答案為：；題型五：“平方關(guān)系”條件下求最值【典例分析】例5-1.【多選題】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．例5-2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當且僅當，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.【規(guī)律方法】1.直接利用等不等式放縮，如例5-1，要特別注意，逐次放縮下等號成立條件一致；2.應(yīng)用換元法.常見代數(shù)換元和三角換元兩種.（1）代數(shù)換元：先對等式進行拆、拼、湊等變形，再進行換元，利用函數(shù)、導數(shù)確定單調(diào)性進而求解最值；（2）三角換元：結(jié)合三角函數(shù)知識，將已知多個變量轉(zhuǎn)化為三角變量，進而化歸為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)最值求法來求解，如例5-1；3．應(yīng)用“消元法”.對含有多元變量的函數(shù)求最值時，通常要減少變量的個數(shù)加以轉(zhuǎn)化，如例5-2.【變式訓練】變式5-1.（2023·全國·高三專題練習）設(shè)、且，求的取值范圍是________.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進而可確定的范圍．解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：變式5-2.（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）若，且，則的最大值為________.【答案】/【分析】將變?yōu)?，則可將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由，且可得，則，當且僅當，結(jié)合，即時取等號，即的最大值為，故答案為：題型六：基本不等式的實際應(yīng)用【典例分析】例6-1.（江蘇高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是.【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.【規(guī)律方法】1.用基本不等式解決實際問題步驟：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2.利用基本不等式求解實際應(yīng)用題注意點：(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解．(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯警示】忽視不等式等號成立的條件！【變式訓練】變式6-1.（2023·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為（）．（本題中取進行計算）A．6 B． C．3 D．9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面積和周長的計算,可得,根據(jù)基本不等式即可求解最大值.【詳解】圓弧的半徑為，則，．所以周長，面積．所以．當且僅當，時等號成立．故選：B題型七：基本不等式與其它知識“交匯”問題【典例分析】例7-1.（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.例7-2.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．例7-3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓柱的兩個底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________．【答案】【分析】先求出半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系，即可得到側(cè)面積表達式，然后用基本不等式即可求解最大值.【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線為l，由題意可知，，又圓柱的兩個底面的圓周都在球面上，則滿足，而圓柱的側(cè)面積，，因為，當且僅當，即，時等號成立，所以，，故答案為：例7-4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.【規(guī)律方法】1.基本不等式作為工具，應(yīng)用非常廣泛，它與數(shù)學的其它知識交匯考查更為普遍，從近幾年高考命題看，命題交匯有：與簡易邏輯用語交匯、與函數(shù)交匯、與三角函數(shù)交匯、與解三角形交匯、與平面向量交匯、與立體幾何交匯、與平面解析幾何交匯、與概率統(tǒng)計交匯等.2.解決“交匯”問題的策略是：(1)先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點；(2)要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式；(3)檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．【變式訓練】變式7-1.（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學?？寄M預測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再利用均值不等式即可求解.【詳解】由，得，令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為是正實數(shù)，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：變式7-2.（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為___________．【答案】52π【分析】先分析正六棱柱的體積最大時底面邊長和高的值，再求解其外接球的半徑進而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則，正六棱柱的體積，當且僅當，即時，等號成立，此時正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點，其半徑為，∴外接球的表面積為．故答案為：．變式7-3.（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）在三角形中，角、、的對邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.【答案】9【分析】根據(jù)面積關(guān)系建立關(guān)系式，結(jié)合基本不等式進行求解.【詳解】因為AD平分∠BAC，所以，，即，整理得，得，又，則，所以，當且僅當，即，時等號成立，則的最小值是9．故答案為：9變式7-4.（2023·全國·高三專題練習）一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，，且，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2，則的最小值為______．【答案】/【分析】先根據(jù)題意得出，再結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．【詳解】因為一位籃球運動員投籃一次得3分概率為，得2分概率為，不得分的概率為c，，且，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2，則，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．故答案為：．一、單選題1．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由均值定理即可求得的最小值.【詳解】，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：A.2．（2023·湖南長沙·長郡中學?？家荒＃┮阎瑒tm，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.3．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三5月三模文科數(shù)學試題）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化