第57講、直線的方程（學生版）

第57講直線的方程知識梳理知識點一：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減??；3、過兩點的直線斜率公式已知直線上任意兩點，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°4、三點共線．兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．知識點二：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）4、線段中點坐標公式若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.必考題型全歸納題型一：傾斜角與斜率的計算例1．（2024·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）已知是直線的傾斜角，則的值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．例3．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·全國·高二專題練習）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．變式2．（2024·全國·高二專題練習）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·全國·高二課堂例題）過兩點，的直線的傾斜角是135°，則y等于（

）A．1 B．5 C． D．變式4．（2024·高二課時練習）直線l經(jīng)過，兩點，那么直線l的斜率的取值范圍為（

）．A． B． C． D．變式5．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認識．題型二：三點共線問題例4．（2024·全國·高二專題練習）已知三點在同一條直線上，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12例5．（2024·遼寧營口·高二?？茧A段練習）若三點，，共線，則實數(shù)的值是（

）A．6 B． C． D．2例6．（2024·重慶渝中·高二重慶復旦中學?？茧A段練習）若三點（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為（）A．1 B． C． D．變式6．（2024·全國·高三專題練習）若平面內(nèi)三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或0【解題方法總結(jié)】斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．題型三：過定點的直線與線段相交問題例7．（2024·吉林·高三?？计谀┮阎c.若直線與線段相交,則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．例8．（2024·高三課時練習）已知點和，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．例9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或或變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．變式10．（2024·全國·高三對口高考）已知點，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為．變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知,，點是線段AB上的動點，則的取值范圍是.變式12．（2024·全國·高三專題練習）在線段上運動，已知，則的取值范圍是.【解題方法總結(jié)】一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．題型四：直線的方程例10．（2024·全國·高三專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（

）A． B．C． D．例11．（2024·全國·高三專題練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或例12．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預測）對方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（

）A．斜率為2的一條直線B．斜率為的一條直線C．斜率為2的一條直線，且除去點（,6）D．斜率為的一條直線，且除去點（,6）變式13．（2024·全國·高三專題練習）經(jīng)過點且傾斜角為的直線的方程是（

）A． B．C． D．變式14．（2024·全國·高三專題練習）方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．變式16．（2024·全國·高三專題練習）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題例13．（2024·全國·高三專題練習）若一條直線經(jīng)過點，并且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，直線l的方程為.例15．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．變式18．（2024·全國·高三專題練習）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.(1)當面積最小時，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時直線l的方程.變式19．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，直線過定點，且與軸的正半軸交于點，與軸的正半軸交于點.（1）當取得最小值時，求直線的方程；（2）求面積的最小值.變式20．（2024·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學校考期中）已知直線經(jīng)過點，為坐標原點．(1)若直線過點，求直線的方程，并求直線與兩坐標軸圍成的三角形面積；(2)如果直線在兩坐標軸上的截距之和為，求直線的方程．變式21．（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A?與y軸正半軸交于點B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.變式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習）過點的動直線交軸的正半軸于點，交軸正半軸于點.（Ⅰ）求(為坐標原點)的面積最小值，并求取得最小值時直線的方程.（Ⅱ）設是的面積取得最小值時的內(nèi)切圓上的動點，求的取值范圍.變式23．（2024·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點坐標；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；②當取最小值時，求直線的方程．變式24．（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知直線經(jīng)過定點P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．變式25．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點?交軸正半軸于點．點為坐標原點．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時直線的方程；（3）求的最小值，并求此時直線的方程．【解題方法總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．題型六：兩直線的夾角問題例16．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學?？计谀┲本€與直線所成夾角的余弦值等于例17．（2024·高三課時練習）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為.例18．（2024·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習）已知直線，則與的夾角大小是.變式26．（2024·重慶·高考真題）曲線與在交點處切線的夾角是．（用弧度數(shù)作答）變式27．（2024·全國·模擬預測）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為．變式28．（2024·全國·高三專題練習）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是．【解題方法總結(jié)】若直線與直線的夾角為，則.題型七：直線過定點問題例19．（2024·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則．例20．（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，則直線過定點.例21．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）直線恒過定點A，則A點的坐標為．變式29．（2024·遼寧營口·高二?？茧A段練習）直的方程為，則該直線過定點．變式30．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為.【解題方法總結(jié)】合并參數(shù)題型八：軌跡方程例22．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．例23．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.(1)求所在直線的一般式方程；(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.例24．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習）如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.(1)求動點的軌跡方程；(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程變式32．（2024·高二課時練習）在中，，求的平分線所在直線的方程.變式33．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知動點C到兩個定點的距離相等，求點C的軌跡方程．變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知是坐標原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.【解題方法總結(jié)】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩