第58講、兩條直線的位置關(guān)系（教師版）

第58講兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．知識(shí)點(diǎn)二：三種距離1、兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．【解題方法總結(jié)】1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程5、常見的一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．6、過定點(diǎn)直線系過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點(diǎn)的直線系過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．必考題型全歸納題型一：兩直線位置關(guān)系的判定例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】易知直線的斜率為，由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；聯(lián)立，解得；即交點(diǎn)為故選：C.例2．（2024·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)校考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解得，又，所以，解?所以.故選：A.例3．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)，則，所以，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：C.變式1．（2024·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（

）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以或，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí)直線與直線平行，滿足題意，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí)直線與直線平行，滿足題意，故選：A.變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，則條件“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件【答案】B【解析】若，則，解得或.故是的充分不必要條件.故選：B變式3．（2024·黑龍江牡丹江·牡丹江一中?？既＃┮阎本€，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因?yàn)橹本€，且，則，所以.故選：B變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故選：D.變式5．（2024·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【解析】為的垂心

，又，直線斜率存在且，設(shè)，則，解得：

本題正確選項(xiàng)：變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點(diǎn)到的距離為3【答案】B【解析】對(duì)A，要使，則，所以，解之得，此時(shí)與重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，要使，，，解之得，所以B正確；對(duì)C，過定點(diǎn)，該定點(diǎn)在上，但是當(dāng)時(shí)，與重合，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，化簡得，此方程，無實(shí)數(shù)解，所以D錯(cuò)誤.故選：B.變式7．（2024·全國·高三對(duì)口高考）設(shè)分別為中所對(duì)邊的邊長，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合【答案】B【解析】由題意可知直線與直線的斜率均存在且不為0，直線的斜率，直線的斜率，由正弦定理可得，所以兩直線垂直，故選：B【解題方法總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：當(dāng)時(shí)，直線相交；當(dāng)時(shí)，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；當(dāng)時(shí)，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.法二：由題意，直線l過定點(diǎn)，設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為.如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在第一象限，易知，∴的傾斜角為，的傾斜角為.∴直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：D例5．（2024·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┮阎龡l直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可將平面分為六個(gè)部分，聯(lián)立與，解得，則將代入中，，解得，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，綜上，滿足條件的的值共有3個(gè).故選：C例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】三條直線不能構(gòu)成三角形至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).若∥，則；若∥，則；若∥，則的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.故實(shí)數(shù)的取值最多有個(gè).故選:C變式8．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)在直線上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】由題意可知，OP的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，則.故選：C變式9．（2024·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎c(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.變式10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、、，且，則.【答案】【解析】已知點(diǎn)、、，且，則，解得.故答案為：.變式11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則．【答案】9或【解析】由，得，即，解得或．故答案為：9或.變式12．（2024·全國·高二課堂例題）已知點(diǎn)，，，則的面積為．【答案】5【解析】設(shè)邊上的高為，則就是點(diǎn)C到AB所在直線的距離．易知．由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為．故答案為：5變式13．（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.【答案】/4.5【解析】依題意，直線，而點(diǎn)，所以.故答案為：變式14．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校c(diǎn)到直線的距離的最大值是．【答案】【解析】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，記，直線為直線，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：.故答案為：.變式15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為．【答案】或【解析】解析：由解得所以l1，l2的交點(diǎn)為.顯然，直線滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，依題意有，解得.所以所求直線方程為或．故答案為：或．變式16．（2024·江西新余·高二?？奸_學(xué)考試）若點(diǎn)到直線的距離為3，則.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，可得，即，解得或，又因?yàn)?，所?故答案為：.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個(gè)滿足條件的直線l的方程：.【答案】或或（填其中一個(gè)即可）【解析】設(shè)，，連接MN，則.以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，顯然公切線的方程為.當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為，則有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切線方程為或.綜上，直線l的方程為或或.故答案為：或或變式18．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是.【答案】/【解析】兩條直線與平行,解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，,兩直線不重合；所以，則與間的距離,故答案為：.變式19．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．【答案】/0.3【解析】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：變式20．（2024·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．【答案】【解析】直線不過原點(diǎn)且與平行，可設(shè)直線，與之間的距離，解得：或（舍），直線的一般式方程為：.故答案為：.【解題方法總結(jié)】兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．題型三：有關(guān)距離的最值問題例7．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【解析】如圖，設(shè)．根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式為M，則，等號(hào)當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點(diǎn)時(shí)取得．因此所求最小值為13．故選：C.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是．【答案】/【解析】依題意，方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心，2、3為半徑的圓，令，即點(diǎn)分別在、上，如圖，顯然，，即有，，取線段中點(diǎn)，連接，則，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍，過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點(diǎn)，于是，，，原點(diǎn)到直線的距離，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為：例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．【答案】【解析】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時(shí)直線為.過作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點(diǎn)共線時(shí)最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.故答案為：.變式21．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【解析】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，故，且到直線的距離等于到的距離，設(shè)，則，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，顯然，故的最小值為．故答案為：．變式22．（2024·全國·高二課堂例題）已知直線過定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以直線l過定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【解析】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.變式24．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)?，所以的最小值?故選：B．變式25．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4，故選：B.變式26．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為,如圖所示，若點(diǎn)不在直線上則,連接并延長交x軸于點(diǎn)P，即為最大值．直線的方程是，即.令，得．則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.變式27．（2024·天津和平·高二天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到和的距離之差最大；(2)P到和的距離之和最小.【解析】（1）畫出直線和點(diǎn)和，如圖：在兩側(cè)，作B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，設(shè)D為l上異于P的一點(diǎn)，則,故,故最大，即此時(shí)P到和的距離之差最大，設(shè)，則，解得，故直線方程為，聯(lián)立，解得，即；（2）如圖：在同側(cè)，作C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，設(shè)E為l上異于P的一點(diǎn)，則,故,故最小，即此時(shí)P到和的距離之和最小.，設(shè)，則，解得，故直線方程為，聯(lián)立，解得，即即；變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上的兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知A為(0，1)，且P、A、Q三點(diǎn)共線，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為E(x，y)，連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，∴，由此可得E的軌跡方程為，即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)直線l為，則E到l的最小距離為．過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點(diǎn)，則ER是直角梯形的中位線，∴，即，即．故選：C．變式29．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，因?yàn)?，，，所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，因?yàn)?，所以，故，則，故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，因?yàn)?，所以，同理得：，，，故的最小值?故選：B變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，由可看作與的距離和與的距離之和，設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C變式31．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【解析】顯然過定點(diǎn)，直線可化成，則經(jīng)過定點(diǎn)，根據(jù)兩條直線垂直的一般式方程的條件，，于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點(diǎn)，則，又，由勾股定理和基本不等式，，則，當(dāng)時(shí)，的最大值是.故選：C變式32．（2024·全國·高二專題練習(xí)）過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】由題意知過定點(diǎn),動(dòng)直線即過定點(diǎn)，對(duì)于直線和動(dòng)直線滿足，故兩直線垂直，因此點(diǎn)M在以為直徑的圓上，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選：C【解題方法總結(jié)】數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型四：點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則.【答案】【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.故答案為：.例11．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長度為.【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故.故答案為：例12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于【答案】【解析】根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，所以，所以，故答案為：變式33．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．【答案】【解析】設(shè)，則．由點(diǎn)Q在直線上，得，．故．所以直線l的斜率為，所以故答案為【解題方法總結(jié)】求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得題型五：點(diǎn)線對(duì)稱例13．（2024·湖南長沙·高一周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.例14．（2024·全國·高二專題練習(xí)）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故直線恒過定點(diǎn).故選：C例15．（2024·全國·高二假期作業(yè)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線即，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，解得，則，故選：A．變式34．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點(diǎn)，則總路徑長即總長為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，由光線反射知識(shí)可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，故四點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，所以，又，所以.故選：C.變式35．（2024·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C變式36．（2024·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過的重心，代入化簡可得，解得：或舍，即，故，故選：C．【解題方法總結(jié)】求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對(duì)稱軸的斜率之積為－1，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得題型六：線點(diǎn)對(duì)稱例16．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：例17．（2024·全國·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱直線為，則有，即解這個(gè)方程得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程中.故答案為：.例18．（2024·河北廊坊·高三?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.【答案】【解析】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程可設(shè)為，其中又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等所以，即，所以或（舍）.故所求直線方程為：.故答案為：.變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】由得：，當(dāng)時(shí)，，；設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，，解得：或（舍），直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.故答案為：.變式38．（2024·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）若直線：與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，此時(shí)和都在直線上，由直線方程的兩點(diǎn)式可得，即，所以點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．變式39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，則直線l的方程是.【答案】6x－8y＋1＝0【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對(duì)稱解得b＝，計(jì)算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b取直線l上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對(duì)稱點(diǎn)為，，解得b＝.∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.故答案為：6x－8y＋1＝0【解題方法總結(jié)】求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．題型七：線線對(duì)稱例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點(diǎn)到直線l的距離即得解.依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：A.例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A變式41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)所求直線上的任意一點(diǎn)為則關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)在直線上滿足直線方程，即直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為故選：C變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上取一點(diǎn)，則由題意可得其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以，得，在上取一點(diǎn)，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以，得，綜上，故選：A變式43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【解析】設(shè)對(duì)稱直線方程為，，解得或（舍去）.所以所求直線方程為.故選：B變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€：與：，所以，又兩條平行直線：與：之間的距離是，所以解得即直線：，：，設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為，則，解得，故所求直線方程為，故選：A變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)所