第89講、古典概型與概率的基本性質(zhì)（學(xué)生版）

第89講古典概型與概率的基本性質(zhì)知識梳理知識點(diǎn)1、隨機(jī)事件的概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件的概率用表示．知識點(diǎn)2、古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；②等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個樣本點(diǎn)，事件包含其中的個樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．知識點(diǎn)3、概率的基本性質(zhì)（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個事件，則．【解題方法總結(jié)】1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個；（3）事件是什么．2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；（3）分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；（4）利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和．②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．必考題型全歸納題型一：簡單的古典概型問題例1．（2024·高一課時練習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為（

）①從區(qū)間內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任取一個數(shù)，求取到1的概率；③在正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（

）①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個樣本點(diǎn)，則.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)古典概型的四種說法：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④已知樣本點(diǎn)總數(shù)為，若隨機(jī)事件包含個樣本點(diǎn)，則事件發(fā)生的概率.其中所正確說法的序號是（

）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④變式1．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選6只小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）乒乓球是中國的國球，擁有廣泛的群眾基礎(chǔ)，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉．某小學(xué)體育課上，老師讓小李同學(xué)從7個乒乓球（其中3只黃色和4只白色）中隨機(jī)選取2個，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·河北保定·統(tǒng)考二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測試，每人要從跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個項(xiàng)目中選出兩個項(xiàng)目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．變式4．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將2個不同的小球隨機(jī)放入甲、乙、丙3個盒子，則2個小球在同一個盒子的概率為（

）A． B． C． D．題型二：古典概型與向量的交匯問題例4．（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正九邊形，從中任取兩個向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（

）A． B． C． D．例6．（2024·甘肅武威·甘肅省武威第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量與向量的夾角的概率是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）從集合中隨機(jī)抽取一個數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．變式6．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）從集合中隨機(jī)地取一個數(shù)，從集合中隨機(jī)地取一個數(shù)，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．變式7．（2024·湖北·高考真題）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（

）A． B． C． D．題型三：古典概型與幾何的交匯問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數(shù)；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數(shù)．現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個，則其中至少有1個也是三角形數(shù)的概率為（）A． B． C． D．例8．（2024·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時期的單檐建筑中存在較多的的比例關(guān)系，常用的紙的長寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對角線構(gòu)成的圖形），.圖二是長方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率為（

）A． B． C． D．例9．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個三角形區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A． B． C． D．變式8．（2024·江西·校聯(lián)考二模）圓周上有8個等分點(diǎn)，任意選這8個點(diǎn)中的4個點(diǎn)構(gòu)成一個四邊形，則四邊形為梯形的概率是（

）A． B． C． D．變式9．（2024·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)校考階段練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（

）A． B． C． D．變式10．（2024·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（

）A． B． C． D．變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》指出“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”意為將一個正方體斜切，可以得到兩個壍堵，將壍堵斜切，可得到一個陽馬，一個鱉臑（四個面都是直角三角形的三棱錐），如果從正方體的8個頂點(diǎn)中選4個頂點(diǎn)得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉臑的概率為（

）A． B． C． D．題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題例10．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知，從這四個數(shù)中任取一個數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四個函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個，則事件“所選個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點(diǎn)”的概率為.例12．（2024·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在，，0，1，2的五個數(shù)字中，有放回地隨機(jī)取兩個數(shù)字分別作為函數(shù)中a，b的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限的概率為．變式12．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的定義域和值域分別為和，則滿足的函數(shù)概率是．變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域?yàn)镽的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為．變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)椋瑒t函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是．變式15．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從3個函數(shù)：和中任取2個，其積函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是.題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題例13．（2024·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無窮大時，無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取2項(xiàng)，則抽取的2項(xiàng)至少有1項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．例15．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知某抽獎活動的中獎率為，每次抽獎互不影響．構(gòu)造數(shù)列，使得，記，則的概率為（

）A． B． C． D．變式16．（2024·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列共有10項(xiàng)，且滿足：，，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為或，從滿足上述條件的所有數(shù)列中任取一個數(shù)列，則取到的數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為的項(xiàng)都相鄰的概率為（

）A． B． C． D．變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．因n趨向于無窮大時，無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，若從該數(shù)列前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為.在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個數(shù)列，則是遞增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列滿足，從中任取兩個數(shù)，則至少一個數(shù)滿足的概率為（

）A． B． C． D．變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為-2，在該數(shù)列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)，，則的概率為（

）A． B． C． D．題型六：古典概率與統(tǒng)計的綜合例16．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考二模）2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮的“成績單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球新能源汽車市場銷量冠軍，為了解中國新能源車的銷售價格情況，隨機(jī)調(diào)查了10000輛新能源車的銷售價格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間（單位：萬元）的概率，以及中國新能源車的銷售價格的眾數(shù)；(2)現(xiàn)有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機(jī)抽取2輛，求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.例17．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．例18．（2024·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時間人數(shù)(1)估計這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時間在和，這兩組中抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時間都在的概率．變式21．（2024·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國家相關(guān)部門制定發(fā)布了《全民健身計劃（2021—2025年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了我國2018年至2022年（2018年的年份序號為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求；(2)由圖可知，我國健身人群數(shù)量與年份序號線性相關(guān)，請用相關(guān)系數(shù)加以說明.附：相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，.變式22．（2024·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某市教師進(jìn)城考試分筆試和面試兩部分，現(xiàn)把參加筆試的40名教師的成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100].得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)分別求成績在第4，5組的教師人數(shù)；(2)若考官決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名進(jìn)入面試，①已知甲和乙的成績均在第3組，求甲和乙同時進(jìn)入面試的概率；②若決定在這6名考生中隨機(jī)抽取2名教師接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名教師被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一。為了通過插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽。比賽按照百分制的評分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評分，評委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會代表組成，各參賽小組的最后得分為評委所打分?jǐn)?shù)的平均分.比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)151214431定義評委對插花作品的“觀賞值”如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間觀賞值123(1)估計甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來看該校會選哪一組，請說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)從40名評委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計其對乙組插花作品的“觀賞值”比對甲組插花作品的“觀賞值”高的概率.【解題方法總結(jié)】求解古典概型的交匯問題的步驟（1）將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；（2）判斷事件是否為古典概型；（3）選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個數(shù)；（4）代入古典概型的概率公式求解．題型七：有放回與無放回問題的概率例19．（2024·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有3個紅色球，2個白色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，則第2次摸到紅色球的概率為.例20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）已知紅箱內(nèi)有3個紅球、2個白球，白箱內(nèi)有2個紅球、3個白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，以此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．則第3次取出的球是紅球的概率為．例21．（2024·湖北·校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個紅球和三個白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是．變式24．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）袋中有形狀大小相同的球5個，其中紅色3個，黃色2個，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，則.變式25．（2024·全國·模擬預(yù)測）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍(lán)色.現(xiàn)將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.變式26．（2024·浙江·模擬預(yù)測）袋中有大小質(zhì)地均相同的1個黑球，2個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后一個球是白球的概率是．題型八：概率的基本性質(zhì)例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個工廠共生產(chǎn)一精密儀器件，其中甲工廠生產(chǎn)了件，乙工廠生產(chǎn)了件，為了解這兩個工廠各自的生產(chǎn)水平，質(zhì)檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件樣品，已知該精密儀器按照質(zhì)量可分為四個等級．若從所抽取的樣品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測，恰好抽到甲工廠生產(chǎn)的等級產(chǎn)品的概率為，則抽取的三個等級中甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有件．例23．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)校考階段練習(xí)）已知袋中有（為正整數(shù)）個大小相同的編號球，其中黃球8個，紅球個，