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[在此處鍵入]第17講冪指對比較大小知識梳理（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?）指、對、冪大小比較的常用方法：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大??；③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進行大小關(guān)系的判定．（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標（4）特殊值法（5）估算法（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：①②③④⑤⑥必考題型全歸納題型一：直接利用單調(diào)性【例1】（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上遞增可得，；根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上遞增可得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上遞減和值域可得，，∴．故選：D【對點訓(xùn)練1】（2024·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，則，，大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，因為，，，且在上單調(diào)遞減，所以，即．故選：A．【對點訓(xùn)練2】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在上單調(diào)遞減，所以，即．因為在上單調(diào)遞增，所以，即．因為在上單調(diào)遞增，所以，即．綜上，．故選：D【對點訓(xùn)練3】（2024·天津·統(tǒng)考二模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，，由于為上的單調(diào)增函數(shù)，故，故，故選：C題型二：引入媒介值【例2】（2024·天津河北·統(tǒng)考一模）若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，而，即，所以，，的大小關(guān)系為．故選：B【對點訓(xùn)練4】（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，，且，則，因為，則，所以．故選：B．【對點訓(xùn)練5】（2024·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則三者的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，即又由，可得，因為，即，所以．故選：C．【對點訓(xùn)練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得，，，所以．故選：D．題型三：含變量問題【例3】（理科數(shù)學(xué)-學(xué)科網(wǎng)2021年高三5月大聯(lián)考（新課標Ⅲ卷））已知，，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可設(shè)，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱．因為，當時，，所以，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，由對稱性可知在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以；又，，由對稱性可知，且，因為，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：A．【對點訓(xùn)練7】（云南省大理市轄區(qū)2024屆高三畢業(yè)生區(qū)域性規(guī)?；y(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題）已知實數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，由，得，設(shè)，則，當時，單調(diào)遞增，因，當且僅當時取等號，故，又，所以，故，∴，則，即有，故．故選：C．【對點訓(xùn)練8】（江西省宜春市2024屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知實數(shù)x，y，，且滿足，，則x，y，z大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因，，則，即，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，從而當時，，令，，在上單調(diào)遞減，則由，得，所以．故選：A【對點訓(xùn)練9】（山東省青島市2024屆高三下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以在上是奇函數(shù)．所以對求導(dǎo)得，令，則當時，，所以在上單調(diào)遞增，則時，，即，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以．令，則所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以，而，即，所以，即．所以，即，則所以所以，即．故選：A【對點訓(xùn)練10】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)且，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，則因為，所以，則，因為，所以．故選：A．題型四：構(gòu)造函數(shù)【例4】（2024·山東濰坊·三模）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，故．故選：D．【對點訓(xùn)練11】（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由指數(shù)冪的運算公式，可得，所以，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，當且僅當時取等號，由于，則，則，所以，所以，所以．故選：C．【對點訓(xùn)練12】（2024·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，設(shè)，則在恒成立，所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，所以．因為，所以，即，所以，即，所以，綜上，．故選：A【對點訓(xùn)練13】（河北省唐山市開灤第二中學(xué)2024屆高三核心模擬（三）數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則，令且，則為減函數(shù)，所以，而，故，故在上遞增，則，即在上恒成立，所以，即，由，令且，則，所以在上遞增，則，即在上恒成立，所以，即．綜上，．故選：C【對點訓(xùn)練14】（湖北省武漢市2024屆高三5月模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，，又，則，，所以，對于，令，則，此時，所以．故選：A．【對點訓(xùn)練15】（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，設(shè)，函數(shù)定義域為，則，故在上為增函數(shù)，有，即，所以，故．設(shè)，函數(shù)定義域為，則，，解得；，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，取最大值，所以，即，時等號成立，所以，即，又，所以．故選：D．【對點訓(xùn)練16】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞減，當時，，則，于是，即，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當時，，則，于是，即，當時，，，則，即，而，于是，即，所以a，b，c，d的大小關(guān)系是，C正確．故選：C題型五：數(shù)形結(jié)合【例5】（廣東省六校2024屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，為函數(shù)的零點，，若，則（

）A． B．C． D．與大小關(guān)系不確定【答案】C【解析】易知為函數(shù)的零點，又解之：，負根舍去；又，即與有三個交點，交點橫坐標分別為，如下圖先計算過原點的切線方程，不妨設(shè)切點為切線方程為：過原點，此時的斜率比切線斜率小，結(jié)合圖像容易分析出，故選：C【對點訓(xùn)練17】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知：把的值看成函數(shù)與圖像的交點的橫坐標，因為，，易知；把的值看成函數(shù)與圖像的交點的橫坐標，，易知；把的值看成函數(shù)與圖像的交點的橫坐標，，與，易知．所以．故選：B．【對點訓(xùn)練18】（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c大小為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】可以看成與圖象的交點的橫坐標為，可以看成與圖象的交點的橫坐標為，可以看成與圖象的交點的橫坐標為，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，．故選：D．【對點訓(xùn)練19】（江蘇省南通市海門市2022-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知正實數(shù)，，滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故令，則，．易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．∵，故由題可知，，即，則．易知，，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩圖象交點橫坐標在內(nèi)，即，，．故選：B．【對點訓(xùn)練20】（河南省洛平許濟2022-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題）已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因為，所以，即，所以，所以，又遞增，所以，即；，在同一坐標系中作出與的圖象，如圖：由圖象可知在中恒有，又，所以，又在上單調(diào)遞增，且所以，即；綜上可知：，故選：A【對點訓(xùn)練21】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知y＝（x－m）（x－n）＋2023（n>m），且α，β（α<β）是方程y＝0的兩個實數(shù)根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是（

）A．α<m<n<β B．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n【答案】C【解析】∵α，β為方程y＝0的兩個實數(shù)根，∴α，β為函數(shù)y＝（x－m）（x－n）＋2023的圖像與x軸交點的橫坐標，令y1＝（x－m）（x－n），∴m，n為函數(shù)y1＝（x－m）（x－n）的圖像與x軸交點的橫坐標，

易知函數(shù)y＝（x－m）（x－n）＋2023的圖像可由y1＝（x－m）（x－n）的圖像向上平移2023個單位長度得到，∴m<α<β<n．故選：C．【對點訓(xùn)練22】（2024·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實數(shù)根x叫做函數(shù)的“躺平點”．若函數(shù)，，的“躺平點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)“躺平點”定義可得，又；所以，解得；同理，即；令，則，即為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在有唯一零點，即；易知，即，解得；因此可得．故選：B題型六：特殊值法、估算法【例6】若都不為零的實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，滿足，但，A錯誤；當，滿足，但，B錯誤；因為，所以，所以，C正確；當或時，無意義，故D錯誤．故選：C【對點訓(xùn)練23】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取，則，，，所以．故選：B．【對點訓(xùn)練24】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是得，即，函數(shù)在單調(diào)遞增，并且有，則，于是得，即，則，又函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則有，所以．故選：C【對點訓(xùn)練25】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，可知，又由，從而，可得，因為，所以；因為，從而，即，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，綜上所述，．故選：B．【對點訓(xùn)練26】（2024·全國·高三專題練習(xí)）三個數(shù)，，的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以．故選：D題型七：放縮法【例7】（百師聯(lián)盟2024屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)（理）全國Ⅰ卷試題）已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，則m，n，p的大小關(guān)系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【解析】由題意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝，∴n＜m＜p．故選：C．【對點訓(xùn)練27】（四川省綿陽市2024屆高三上學(xué)期第二次診斷性測試理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，，令，，∴在上遞減，則，∴，故，，，故，故選：A．【對點訓(xùn)練28】（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)領(lǐng)航卷（三））已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得：，所以，即，所以．又，所以．故選：D．【對點訓(xùn)練29】（2024屆新高考Ⅰ卷第三次統(tǒng)一調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題）下列大小關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項，因為，所以，則，又因為，則有，所以，故選項錯誤；對于選項，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故，故選項正確；對于選項，構(gòu)造函數(shù)，則，由選項可知：當時，，所以，則有，因為函數(shù)在上恒大零，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故選項錯誤；對于選項，因為，令，則，令，則，令，解得：，因為，所以在上單調(diào)遞減，故，即，所以，故選項錯誤，故選：．【對點訓(xùn)練30】（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，故，即，又，，故，則，而，故，所以，則，所以，故選：B．【對點訓(xùn)練31】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴，∴．令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，∴．故選：D．【對點訓(xùn)練32】（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】要比較，，等價于比較的大小，等價于比較，即比較，構(gòu)造函數(shù)，，令得，令得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．所以，因為，所以最大，即，，中最大，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性得，，先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，所以，當時，，則有，由可知，所以，因為，所以即，因為，在單調(diào)遞增，所以，即，因為所以所以，即，因為，在單調(diào)遞減．所以，即，即，綜上，．故選：D【對點訓(xùn)練33】（2024·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，則，因為，所以，，則，所以因為，即，因此，．故選：C．【對點訓(xùn)練34】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，，，故．故選：A．題型八：不定方程【例8】（黑龍江省哈爾濱德強學(xué)校2022-2024學(xué)年高三下學(xué)期清北班階段性測試（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試卷）已知a、b、c是正實數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，a、b、c是正實數(shù)，所以，因為，所以，對于A，若，則，滿足題意；對于B，若，則，滿足題意；對于C，若，則，滿足題意；對于D，若，則，不滿足題意．故選：D．【對點訓(xùn)練35】（湖南省長沙市長郡中學(xué)、河南省鄭州外國語學(xué)校、浙江省杭州第二中學(xué)2024屆高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)實數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法比較【答案】C【解析】假設(shè)，則，，由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；即有與假設(shè)矛盾，所以，故選：C【對點訓(xùn)練36】已知實數(shù)、，滿足，，則關(guān)于、下列判斷正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】先比較與2的大小，因為，所以，所以，即，故排除，，再比較與2的大小，易得，當時，由，得與矛盾，舍去，故，則有，得，令，，令，則，故，故，從而．故選：．【對點訓(xùn)練37】已知實數(shù)，滿足，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】，故，，，故，即，，且，，，令，則，故，即，故，故選：．【對點訓(xùn)練38】若且，且，且，則A． B． C． D．【答案】【解析】令，則．由得：．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．，，，，，，（4）（a），（5）（b），（6）（c）．，（6）（5）（4），（c）（b）（a），又，，，，，都小于，．故選：．題型九：泰勒展開【例9】已知，則（

）【答案】A【解析】設(shè)，則，，，計算得，故選A．【對點訓(xùn)練39】設(shè)，則的大小關(guān)系為___________．（從小到大順序排）【答案】【解析】，由函數(shù)切線放縮得，因此．故答案為：【對點訓(xùn)練40】設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故選【對點訓(xùn)練41】，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故選B題型十：同構(gòu)法【例10】（貴州省畢節(jié)市2024屆高三診斷性考試（二）數(shù)學(xué)（理）試題）已知，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【解析】，又，則，設(shè)，顯然為增函數(shù)，因為，所以又，，則令，設(shè)，則，當時單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故，解得．故選：B【對點訓(xùn)練42】（四川省德陽市2024屆高三下學(xué)期4月三診考試理科數(shù)學(xué)試題）已知實數(shù)x、y滿足，則x、y的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，因為，，所以，所以，則，所以，令，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；則當時，，即，一定有，所以，則，又因為，所以，令，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；