第40講、數(shù)列的基本知識(shí)與概念（學(xué)生版）

第40講數(shù)列的基本知識(shí)與概念知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)列的分類（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無(wú)限分：（2）按單調(diào)性來(lái)分：知識(shí)點(diǎn)三、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【解題方法總結(jié)】（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對(duì)的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則必考題型全歸納題型一：數(shù)列的周期性例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對(duì)所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．例3．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的第100項(xiàng)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式1．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對(duì)任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5變式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式4．（2024·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型二：數(shù)列的單調(diào)性例4．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對(duì)任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式7．（2024·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式9．（2024·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號(hào)判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)例7．（2024·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于______.例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的最小值為_(kāi)_____．例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_(kāi)________變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為_(kāi)_____．變式11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式為若是中的最大項(xiàng)，則a的取值范圍是______．變式12．（2024·北京·高三北京八中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是__________．變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若數(shù)列中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則______．變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為_(kāi)__________.【解題方法總結(jié)】求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)．（2）通過(guò)通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．（3）比較法：若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；若有或時(shí)，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖．若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89例11．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個(gè)三角形數(shù)為.記第n個(gè)k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開(kāi)始用數(shù)字來(lái)表達(dá)這個(gè)世界．在《乾坤譜》中，作者對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論，用來(lái)解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解題方法總結(jié)】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五：數(shù)列的恒成立問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和是，對(duì)于，都有，則k＝______．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi)_____．例15．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足(，且)，，對(duì)于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對(duì)任何正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．題型六：遞推數(shù)列問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項(xiàng)之和為_(kāi)_____.例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列中，，，猜想通項(xiàng)公式為_(kāi)________．例18．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______.變式21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項(xiàng)．變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將一個(gè)2021邊形的每個(gè)頂點(diǎn)染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一，使得相鄰